Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Следовательно, взаимная корреляционная функция в этом примере равна р (О) = йауы (о) йа Р~г ]> Уп (о) [лот п (о) + Угг (о)[ ]' й„,'+ Угг (о)(ты (о) р„(ь) =о, ь,=о. (8.1.7) Таким образом, корреляция между входом и выходом зависит от отношения сигнал)шум уп(0)/угг(0), т. с. от отношения дисперсий входа и шума. Если это отношение велико, то р,г(0) близко к единице, а если отношение мало, то шум доминирует и р„(0) соответственно мало. Пример 2.
В качестве менее тривиального примера рассмот. рим процесс Хм =йоХи+ЬаХи- +Хе где Хп и Х> — некоррелированные процессы белого шума с оди- наковой дисперсией ог. Тогда ум(0) =Е[Хи(ЬоХи+Ь,Хи, +Х,)] = Ь,о', у г(1) =Е [Хи(Ьохпе~ + Ь|хи+ Хьы)] = Ь!ог, ум (1г) = О, Ь ~ О, 1. Дисперсии этих двух процессов равны Угг(0) = Е [(Ьох>а + Ьа Хи-а + Ха) (ЬвХп + Ь Хи а + Х>)] = (Ьо + Ь[+ 1] ог, уп (0) = о'.
84 Глава З Вваамная корреляционная функция и вхаамньха спектр зз Отсюда взаимная корреляционная функция имеет вид /хО !Ом (0) = ]/1+ Ь,'+ Ь' /и р/х(1) = ]/ ! + ьх'+ ь-', рт(Ь)=О, ЬМО, !. Если веса Ьо в (8,!.6) положительны, то два процесса Х1(1), Хх(1) будут «выглядеть похожими», а взаимная корреляционная функции будет положительной. Наоборот, если веса отрицательны, то зги два процесса будут выглядеть как зеркальные отражения друг друга, т.
е. увеличения одного процесса будут сопровождаться уменьшениями другого и наоборот. Взаимная корреляционная функция произвольного линейного процесса. Общее выражение для взимной корреляционной функции процесса (8.!.5) можно получить, умножая (8.1.5) на Х,(! — и) и беря математические оисидання от обеих частей ра. венства.
Если средние значения процессов Х1(1) и Я(1) равны нулю, то при условии, что у з(и) = 0 для всех и, взаимная кор. реляционная функция равна т„(,! = е [х,(~ †,! ! х ! ! х,(~ — ! х ;- х, Π— ! х Е!1 .= о = [ Ь(о)уп(и — о)с/о, — аа(и~~во. (8.1.8) о Ниже нам понадобится выражение для автоковариационной функции выхода. Его можно получить, перемножив почленно два равенства (8.1.5), относящиеся к разным моментам времени, н взяв математические ожидания.
Предполагая, что Е(Х!(1)] = = Е(Х(1)] = 0 и уха(и) = О, в качестве окончательного результата будем иметь у,о(и)= [ [ Ь(о)Ь(о')ун(и+о — о')а/ос/о'+у (и), — оп а 'и ао, о о (8.1.9) что является простым обобщением формулы (5.2.9) Теперь нетрудно получить взаимную корреляционную функцию р,а(и) = ™ (8.1.!0) Ууо !о) у„!о) ' где ухх(0) получается из (8.1.9), если положить и = О. Для дискретных процессов формулы, соответствующие (8.!.8), (8.!.9) и (8.!.10), легко получаются из (8.1.6). Таким образом, мы имеем у„(Ь)= ~ Ь,ун(Ь вЂ” г), Ь=О, -«1, -«2,... (8.1,11) т О ум(Ь) = Х ~ Ь,Ь,ун(Ь+г-з)+узх(Ь), г О х=-О Й=О, «1, +2, ..., (/) уп (ь) Уу„(о) у„(о) ' (8.! .! 2) (8.!.1 3) Х! (1) = [ Ь!! (о) Х! (1 — о) /Ко + [ Ьм (о) Я.
(1 — о) с/о, о о х! о (1) = [ Ьх! (о) Х> (1 — о) /1о + [ Ьхо (о) Хх (1 — о) с/о. 0 о (8.1,14) 8.1.4. Двумерные линейные процессы В модели (8.1.5) предполагалось, что флуктуации процесса Х,(1) вызь/воют флуктуации процесса Хх(1). Более общая модель взаимной корреляции двух случайных процессов получится, если предположить, что флуктуации процессов Хх(1) и Хх(1) вызы- ваются двумя другими источниками Хх(1) и Хх(1), которые вли- яют на зги процессы по-разному. Например, в простейшем случае Х, (1) = Ьн Х, (1) + Ь „Яо (1), Хо(1) = Ьх!Х! (1) + ЬООЯО (1), где Хх(1), Хо(1) — некоррелированные процессы белого шума с ди- сперсиями о'„о',.'.
Отсюда получаем ум (О) = Е [(Ь, !Х! (1) + Ь/ОХО (1)) (Ь„Л ! (1) + ЬООЛО (1))] = Ь! А!о! + Ь мЬхго! у„(Ь) = О, Ь М О. Переходя к более общему случаю, предположим, что двумерный случайный процесс (Х!(1), Х,(1)) порождается так, как указано на структурной схеме на рис, 8.5. Два источника белого шума Хх(1), 1 = 1, 2, подаются на входы четырех линейных систем с функциями отклика на единичный импульс Ь,!(и), Ь!О(и), Ьо,(п) и Ьм(и) соответственно. Выходы от первой и третьей систем складываются и образуют процесс ХО(1), а выходы от второй и четвертой систем, складываясь, дают процесс Хо(1). Таким обра- зом, мы имеем Глааа 8 Вэаимная корреляционная функция и еэаилгнвм спектр Случайный процесс (8.1.!4) называется двулсе1гнылг линейноглг ггрои ассом.
Ковариационные функции двумерного линейного процесса. Если источники белого шума взаимно некоррелированы, т. е. Е[Хс(с)Хс(!')) =0 для всех 1, !', г'=1, 2, 1=1, 2, то, используя (5.2.10), получаем в уп(и) = о', ~ Ьц (о) Ьп(о+и)сто+о,'~ Ь,а(о) Ь„(о+ и) с(о, о а в У„(и) = О', ! Ь„(о) Ь„(о+ и)сто+ аг) Ьа,(о) Ь,г(о+и)с(о, (8.1.!5) у , (и) = ог ) Ь , (о) Ьп (о + и) с(о + ог ) Ь ,(о) Ьа (о + и) с(о, е о в У~э(и) = 01 ~ Ь~ (О) Ьм (О+ и) с(О+ Ог ~ Ь~г(О) Ьгг(О + и) с(О.
е е Для дискретных процессов формулы получаются из приведенных выше с помощью замены интегралов на соответствующие суммы. л (г! Р и с. 8.5. Схематическое представление двумер- ного линейного процесса. Формулы (8.1.! 5) показывают, что, подбирая соответствующие функции отклика на единичный импульс Ь„(и), можно получить двумерный случайный процесс (Хг(1), Хх(1)) с любыми наперед заданными взаимной ковариационной и автоковариационнымн функциями. Можно получить еще более общую модель, если допустить возможность корреляции белых шумов в (8.1.!4) в одинаковые моменты времени, т, е. Е(Х,(!), Х,(1)) =о„б(! — 1).
8.1.5. Двумерные процессы авторегрессин и скользящего среднего Простейший тип двумерного линейного процесса получается, когда функции отклика на единичный импульс Ьц(и) равны нулю вне некоторого интервала. Рассмотрим, например, дискретный процесс Двумерные процессы авторегрессии. Для этих процессов функ- ции отлика на единичный импульс Ьм(и) в (8.!.14) не обращают- ся в нуль вне какого-то ни было конечного интервала.
Можно, например, определить непрерывный процесс первого порядка, ко- торый будет обобщением процесса (5.2,24). Так если Л,(1) и Хх(1) — процессы белого шума, коррелированные только в одина- ковые моменты времени, то двумерный процесс авторегрессии для непрерывного времени определяется с помощью равенств и +апХ, (1)+а„Хг(1) = Х, (1), ссх~ (с) Ихе 01 +агсХ, (1) + аггХа(с) ог(с), (8.1.17р а для дискретного времени — равенствами Хн = а„ХИ, + ааХгг, + 21г, Хгс = аг,Х,г, + аггХм, + Хгс (8.!.1 8) Хн = Хн + 8~1ХИ 1+ 8 гХгг (8.1.!6) Хм = Угс + рг1о1г-1+ рггогг-о Если Хгс, Хгс — некоррелированные процессы белого шума с ди- сперсиями О', и о;', то взаимная ковариационная функция двумер- ного процесса (Х,г, Хгс) равна у, ( — !) =8ао'-, Уа(0) =~, йг,о1!+Ц(1гагог, у„(!) = 8г,ого у„(Ь)=0, Ь, -0, Отметим, что в отличие от примера 2 из равд.
8.1.3 зта взаимная ковариационная функция отлична от нуля как для положитель- ного запаздывания, так и для отрицательного. йзоаоиния корреляиионния фуюгяия и изин«иный спектр 88 Глаза Е где без ограничения общности мы предположим, что процессы имеют нулевые средние значения. Вычисление авто- и взаимных ковариаций непрерывного процесса (8.1.17) с помо|цью равенств (8.1.!5) довольно трудоемко, и его можно проделать изящнее, используя матричные методы, которые будут описаны в гл. 11. Сейчас мы лишь отметим, что авто- и взаимные коварнации процесса (8.!.!7) можно записать в виде (|а) Ь е-и„и ! Ь и-иии узз (и) = Ь,ае ~и + Ь !ге ум(и) = Ьме ' и+Ьззе '"", уа! (и) = Ь»е иг'и .!. Ь |е — а„и где Ьп — некоторые функции от ап.
Интересно, что автокорреляционная функция двумерного процесса первого порядка имеет такой же вид, что и корреляционная функция (5.2,35) одномерного процесса авторегрессин еторого порядка. Явные выражения для авто- и взаимных ковариаций дискретного процесса (8.!.18) вьшодятся очень просто в гл. 11 с помощью теории матриц. Однако их можно также получить рекур. сивно с помощью скалярного рекуррентного соотношения для ковариаций, аналогичного соотношению (5.2.43).
Так, умножая первое уравнение в (8.1.18) на Хз| — «и беря математические ожи. дания от обеих частей равенства, мы получим Е [Х ! «Хп) = а»Е [Ха! «Х,| !)+ амЕ[Хм-«Хз|-!) + Е [Хм — «Хп) или же Ум (й) = а»У2! (й — 1) + аазУта ((г — 1), (г ) 1, Аналогично У|2 ((г) |22|У|! ((г 1) + а22Ум ((г — 1), й )~ 1, У|, (!г) = а»У» (й — 1) +а|«Ум (Ь вЂ” 1), й ) 1, У22 ((г) с«2|У2! ()г 1) + аззу22 ((г 1) (г ) 1, (8.1.1 9) Следовательно, значения ковариаций для запаздывания й легко получаются из значений для запаздывания (г — 1. Чтобы начать этот процесс, нужно знать значения для й = О. Их можно получить, возводя в квадрат и перемножая равенства (8.!.18) и беря затем мате|магические ожидания.
Таким образом, мы получаем у» (О) = аз у» (0) + а'-„у„(0) + 2а»а„у, (0) + о'» у, (0) = аз,у» (0) + а.'„у„(0) + 2а,а„у„(0) + а.,"-, у|2 (0) = са! |с!а!у! | (0) + а|асаззу22 (0) + (а! |ам + |а!ге|2!) у! 2 (0) + с!|2, где о; '= Е [Х-,'а1, о~ а= Е !л,~ и о„= Е [7||72!~. Значения у» (0), у,а(0) и уаа(0) можно при этол! выразить через известные параметры а|р о'-,', о.-', и 0,2, решая приведенные выше уравнения, Пример !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
