Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 22
Текст из файла (страница 22)
На рис. 9.1 видно, что при рш(0) = 0 выборочная коспектральная функция колеблется около нуля и не указывает на существование корреляции между двумя 0,0! 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 О,!О 0,1! 0,12 0,13 О,!4 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,08 0,03 0,71 — О,!Π— 0,39 — О,!9 0,63 0,00 — 0,03 — 0,79 О,!7 — О,!5 — 0,27 0,09 — 0,40 — 0,42 0,21 0,49 — О,!5 — 0,79 0,23 — 0,08 0,02 0,90 0,21 1,53 — 1,44 — 0,57 — 0,78 — 1,!7 0,38 0,8! — 0,04 0,28 — 0,15 0,43 — 0,35 О,!8 — О',!6 0,79 0,78 0,31 0,04 — 0,76 1,!9 1,49 — 0,31 0,04 0,61 0,2 1 1,52 — 1,35 — 0,75 1,44 — 1,25 — 1,!О О,О! 1,47 — 1,47 О,!9 1,19 — 1,!7 — 0,57 — 1,09 — 1,10 — 1,08 0,97 0,08 1,38 — 0,98 1,42 1,31 1,06 0,60 0,78 0,26 0,27 0,28 0,29 О,ЗО 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 — 1,20 — 0,38 0,22 — 0,21 — 0,15 0,26 0,12 0,37 0,02 0,01 0,16 — 0,86 0,39 — 1,05 — 0,63 — 0,50 — 0,53 0,23 — 0,41 1,71 0,04 — 0,52 1,39 — 0 67 О,!Π— 0,47 0,08 1,24 0,05 — 0,45 0,08 — 0,14 — 052 — 0,48 1,1! — 0,60 — 0,54 0,3! 0,29 0,78 — 0,45 О,!8 0,03 2,42 — 1,00 1,23 — 0,25 1,36 0.08 — 0,9! 0,39 — 0,22 1,40 — 0,22 1,25 0,32 — 0,89 — 0,96 — 1,54 1,56 — 1,32 0,56 0,67 — 0,27 — 0,89 0.73 — 0,32 0,11 — 1,40 — 0,53 1,54 0,45 0,77 — О,!2 0,00 Оиениеанее взанлгных спектров 1ЗО Глава 9 Следовательно, функция распределения фазового угла будет выглядеть как наклонный отрезок прямой в этом интервале.
Численные значения выборочных оценок фазы для двух белых шумов [случай рм(0) = 022 приведены в табл. 9.1 вместе с выборочными коспектром и квадратурным спектром. Выборочная функция распределения фазы показана на рис. 9.2. Мы видим, что имеется хорошее согласие между выборочной и теоретической функциями распределения. Чтобы увидеть, значимы ли отклонения от линейности, можно нанести на рисунок 95ого-нь4е доверительные -'Уг в Р и с. 9.2. Выборочная функция распределения фазы дая одного двумерного процесса.
пределы на расстоянии н- 1,361')2 У/2 от теоретической функции распределения и 75%-ные пределы на расстоянии 4- 1,02/ [2Л/2. Мы видим, что выборочная функция распределения лежит целиком внутри этих пределов при р4г(0) = О. При р4г(0) = 0,20 и 0,55 выборочная функция распределения также лежит вблизи теоретическои прямой. Такиаг образом, при рм(0) = 0 ни выборочная коспектральная функция, ни выборочный фазовый спектр не обнаруживают корреляции двух рядов. Когда р,г(0) = 0,20 и 0,55, поведение выборочной коспсктральной функции указывает на корреляцию рядов, но выборочный фазовый спектр ведет себя так же, каки вслучае некоррелированных рядов. Этого следовало о>кидать, так как теоретический фазовый спектр при этом равен нулю.
Конечно, в общем случае коррелированные двумерные процессы будут иметь как отличный от нуля коспектр, так и ненулевой фазовый спектр. В таких случаях можно ожидать, что корреляция будет обнаружена как с помощью выборочной коспектральной функции, так и с помощью выборочного фазового спектра. 4тл Г(424+ о 4 О + ол (Ц22 ( ) + и 2 (+ )) в~(в2 Π— 14гл2 ( — ! 2 + 1Глг( ЬВ О о!о 2 11Р' ( — ) + + Плг (+)) (9.1,1 2) 9.1.3. Общие свойства моментов оценок, соответствующих выборочным взаимным спектрам В этом разделе мы обобщим результаты равд.
9.1.1 на случай коррелироваиных процессов, ие являющихся белыми шумами. Строгий вывод этих результатов довольно сложен, и мы поместили его в Приложении П9.1. В настоящем же разделе мы воспользуемся эвристическими методами, которые являются обобщением методов, применявшихся в разд. 6.4.1 для одномерных спектров. Вычисление ковариационной матрицы величин Си(!), Сгг(!), 1.42([) и 4г42([) для коррелированных цегауссовских процессов проводится в три этапа. Сначала вычисляется ковариационная матрица каждой из этих оценок на двух различных частотах для случая негауссоеских некоррелированпых белых шумов. Затем можно найти коеарнацнонную матрицу величин Сгг()), См([), С42([), См([) С помощью этой матрицы можно выписать такую же матрицу, но уже для произвольного двумерного процесса, И наконец, из коеариационной матрицы величин С44()), Сгг([), С42(1), См([) получается ковариационная матрица величин С4,(1), Сгд(1), йгг([).
1)42(1) для произвольного процесса. Обобщенная ковариационная матрица взаимных спентральных оценок для некоррелированных белых шумов. Формулы разд. 9.1 ! были выведены для гаргнонических частот 1 = т)Т и для некоррелиронанных гаиссовских белых шумов. В Приложении П9.1 аналогичные формулы получены в более общем случае: для всех частот и для нскоррелированных, нггауссовских белых шумов. Из этих формул следует, что Е[7.м([)1 = Лма=о, Е [д ([)[= Ч' ([) =0.
Лалее, коварпацин оценок Си([), Сгг([), 1.42(1), 1,242([) на двух частотах 14 и )г можно получить из матрицы О О О + О 4 (агг ( — ) + ат (+ )) 132 Глава р ОЧенивание вэаиннмх спектров 133 л 5!и пЛсл (й и) гЧ 51а ятг (и — Уг) )3'(+) = ""' '+ ' (9,1 13) сЧ гса ла (гс + 12) для дискретных процессов. Аналогичным образом Ч7о = 11Т и 5!п п7 (11-12) )рс( 1 ) 51аггт 1)с+15) (9 ! ! 1) гсТ Рй — 12) нт Чс+Н) для непрерь.нных процессов. Буквами К51'1 и К5121 обозначены четвертые кумулянты процессов Ег(1) и Яг(1) соответственно (для гауссовских процессов они равны нулю). Из (9.1.12) видно, что каждая из спектральных оценок некоррелирована с любой другой оценкой на одной и той же или на разных частотах.
Кроме того, значения любой из этих оценок на достаточно разнесенных частотах также некоррелированы. Отметим, что при )г = 12 дисперсии оценок не зависят от Т вЂ” длины записи. В этом смысле взаимные спектральные оценки обладают теми же нежелательными свойствами, что и оценки автоспектров. Отметим еще, что коварнации оценок коспектра и квадратурного спектра не содержат членов с четвертым кумулянтом, так что они всегда имеют порядок 1/Тг для больших [12 — Ц. Обобщенная ковариацнонная матрица величин Сп(1), Сгг([), С~г®, Сг~(~).
Поскольку Сг(1')=~- ([)-1"ч ([), См ([) - 1-12([)+ )Я12([) ковариационную матрицу величин Сгг, Сгг, Сгг и См нетрудно по- лучить из матрицы (9.1.12). Например, Соч[сюг([ю) См(12)) =Е[(се(12) ХФ2Ю)(с ~2(12)+Усе12(12))[= = Соч ны(сг), Ем(тг)1+ Соч !1 )гг(12), Ягг()2)~ = ого,,'-Ф'(-) . Например, элемент из первой строки и первого столбца равен Соч[спф), Сп([2)), элемент из первой строки и второго столбца равен Соч[сгг(12), Сгг([г)) и т. д. Матрица (9.1.12) называется обобщенной ковариационной матрицей оценок. При [, = [2 = [ она переходит в обычную ковариационную матрицу величин Сп ([), Сгг([), Т-гг(1) и Яд(1).
В (9.1.12) использованы следующие обозначения: ))св = ЬЧАс и Окончательное выражение для обобщенной ковариацнонной ма- трицы величин Сн([), Сгг([), Сгг([), См([) имеет вид В'оКг + +ое(юг( — )+ )Рг(+)) О О О Мы воспользуемся сейчас этим выражением, чтобы получить ковариационную матрицу взаимных спектральных оценок для процессов, отличных от белого шума. Отметим, что если расстояние между частотами ), и )2 не является достаточно малой величиной, то все эти ковариацин приблизительно равны нулю.
Обобщенная ковариационная матрица взаимных спектральных оценок для произвольных процессов. Воспользуемся теперь тем, что двумерный случайный процесс с произвольными спектрами мощности Гц([), Ггг(1), Гм([) можно получить, пропуская два процесса белого шума через цепь, состоящую из четырех линейных систем (равд. 8.1.4). Таким образом, беря преобразования Фурье от равенств (8 !.14) и делая те же приближения, что н в (6.4.3), получаем где ХстЯ вЂ” преобразование Фурье от ас(1) на интервале — Т[2 (! -Т!2. Отсюда получаем Сп(Е) = [Ни(0Рсеы,([)+[НмУ) Рсзгхг([)+ +И;,ОН„ОСзг(0+НпВН;2ТСхг й, (9.!.!8) Сгг ([) ! Н21 ([) )2 Сх,з, Д) + ! Наг Я Р Сзгт, ([) + + Н;, (1) Нег (Т) Сз з (7) + Н,, ([) Нм (1) Сз 3 (!), (9.1.17) С12 ([) = н"и ([) н21 ([) с„([) + Н;2 ([) наг ([) С„([) + + Н;,(7) Н2ЯСг г (1)+ Н12(Т) Нг,(Т)Сга (!). (9.1.18) О О )гтОК4 + +о'(юг(-)+ Жег(+)) О О огог)рг (+ ) О отогни'2 ( ) Х, а = Нп([) Х„([)+ Н„([) г„([), Хг(1) = Н21(Оагт(1) + Нгг(1) агт(1) о ог)Р2 ( ) огоев 2 ( ! ) ) (9.1,18) !34 Глава Э Оценнванае вваниних еаектггав 135 1» 1Г!2!2 ! Г!2 !2 Г»Л,2 Г22Л|2 —, (Г»Г,„+ Л,г — Ч,г[ л, ч', Г»Чт!2 Г,гч' Ю'2 ( — ) Г»Л!2 Г22Л12 Л!2 1 !2 ! — (г»ггг — лВ + Ч" ы[ 2 (9.1.22) 1221!2 [! !!Ч'12 Выражение (9.1.22) для ковариациоиной матрицы спектральных оценок приведено в [1, 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
