Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Как и раньше, процессы белого шума мы обозначим через Л,(1) и Хг(1). Предполагается, что они имеют нулевые средние значения. Преобразования Фурье отрезков этих процессов обозначим через га Л;(1) = ~ Л;(1)е 1гпг'с(1= А;(1) — 1В;(1), — г!г где Ае([), В;(1) — синус- и косинус-преобразования Хе(1). Опуская аргумент [ в этих преобразованиях, можно записать случайные функции, соответствующие авто- и взаимным спектрам, в виде !Л,(1) ]г А;+В! Си(1)= т = т с=1 2 )2',(1) 2,(1) [ Си(1) = т т [(А~ +1В,) (Аг — 1Вг)] = = г [(А,Аг+ В~Вг) — 1(ВгА~ В,Аг)], (9.!.2) Отсюда случайные функции, соответствующие коспектрам и квад.
ратурным спектрам, имеют вид Ем(() = Г (А,Аг+ В,Вг), 1 фг([) = — (В,А, — В,Аг). 1 (9.1.4) Далее, если Л,(1) — гауссовские процессы, то, как было показано в равд. 6.3.1, А; и В; являются гауссовскими случайными величинами. Было показано такл1е, что если процессы Я;(1) имеют нулевые средние значения, то Е[А;] = Е[В,] =-О, (9.!.5) и для гармонических частот 1 = т[Т имеют место равенства Ъ'аг [А,] = Ъ'аг [В;] =- — о'„ Соч [Ао В ] = О, с' = 1, 2.
Если, кроме того, процессы Л1(1) и Хг(1) некоррелированы, то Соч [А„Аг] = О = Соч [Вп В,], Соч [Ап Вг] = О =Соч [Во А,]. (9.!.7) Моменты выборочного коспектра и квадратурного спектра. С помощью этих формул можно вывести моменты выборочного коспектра н квадратурного спектра. Например, с помощью (9.1.3) и (9.1.7) получаем Е [1. 1г (1)] = — (Е [А, А,] + Е [В, Вг]) = О„ а с помощью (9.1.6)— Чаг[Е„(7)] = —., Е[АгА;-+ В',В,'+2В,В А,А1= г г о; ог о; ог о,ог 2 2+2 2 2 Аналогично Е [Яцг (1)] = О, 'г г о,о ~'аг Ы г(1')] = —, Соч [1.м(!'), Фг(1)! — О. Можно показать, что 1.м([) и Я1г(1) некоррелнровапы с Сп([) и С ()).
Поэтому ковариационная матрица оценок Сп([), Сгг([), 1.1г(1) и фг(1) бУдет иметь вид ое О О О о,,' ΠΠΠ— ого (9.1.8) — о ог 1 2 ! г [о о о Распределение оценок, соответствующих выборочному взаимному амплитудному спектру. Случайная оценка, соответствующая выборочному взаимному амплитудному спектру, по определению равна Аа(1) = [С~г(1) [, так что се квадрат, используя (9.!.1), можно записать в виде А1г()) =]С1г(1) [ = 11г(1)+Юг()) =( 'г ) ~ 'г ) = Си (1)См(7).
Удобнее сейчас ввести случайную величину 4А[г (1) 1 2сп Оо 1 1 2с г 69 'г оо, [, о,][, о- ) Используя независимость процессов Л~(1) и Хг(1) и тот факт, что Сц([) с точностью до множителя имеет Хг-распределение (равд. 6.3.3), получаем, что случайная величина уг(1) равна произведению двух независимых величин (1, )т, нмеюпгпх (27 Оценивание вааалтньм спектров Глава р )(а-распределение с двумя степенями свободы.
Отсюда с помощью (3.3.6) получаем Е [Ус(/)] = Е [(/! Е [»т] = 4, Е [У' (/)] = Е [(/а] Е [Уа! = (8) (8) = 64. Следовательно, »/аг [Уа (/)] = 48, Е[А (/)]=( ' )Е[У (/)]=нева (9.1.9) т 4 4т 'ттаг [А (/)] [ ' ) 'ьтаг [Уа (/)] Зачал Распределение оценки, соответствующей выборочному фазовому спектру. Из (9.1.3) и (9.1.4) получаем случайную оценку, соответствующую выборочному фазовому спектру: Ры(/)=агс1д[ — " ]=агс18~ — ' ' ' '].
Рассмотрим теперь случайную величину сна(/). Случайные величины Аь В, распределены по нормальному закону, так что область изменения величины А,Аа+ В,В, простирается от — оо до +оо и, следовательно, ее естествешю аппроксимировать с поэтощьк> нормального распределения. Аналогичные соображения применимы и к случайной величине Ята(/). Таким образом, можно считать, что Ета(/) и Ота(/) распределены приблизительно нормально, независимо друг от друга и с одинаковой дисперсией.
Отсюда Ем(/) имеет приблизительно равномерное распределение на интервале ( — и/2, и/2). Мы воспользуемся этим фактом в следующем разделе при выводе критерия корреляции двух временных рядов. 9.1.2. Критерии корреляции двух временнйх рядов Часто встречаются ситуации, когда бывает нужно проверить, коррелировапы два временных ряда или нет.
Например, может возникнуть необходимость проверки корреляции двух управляющих переменных пли остаточных шумов двух экономических временных рядов после подгонки соответствующей модели. Из Отметим, что, в то время как дисперсия выборочного спектра равна квадрату его среднего значения, дисперсия выборочного взаимного амплитудного спектра равна утроенному квадрату своего среднего значения.
Это увеличение дисперсии произошло из-за того, что при оценке амплитудного спектра изменчивость создается двумя процессами, а не одним. р азд. 8.2,2 следует, что если оба врегаеннйх ряда профильтровать так, чтобы опи превратились в белые шумы, то для проверки корреляции этих рядов можно будет использовать их выборочную взаимную корреляционную функцию. Однако эта функция полезна лишь для выявления корреляции определенного типа.
Например, если коррелированы соседние точки двух временных рядов, то следует ожидать, что выборочная взаимная корреляционная функция будет велика при малых значениях аргумента н мала при больших значениях. С другой стороны, если есть подозрение, что взаимная корреляционная функция содержит гармоническую компоненту, то этого, возможно, нельзя будет выявить с помощью выборочной корреляционной функции.
Поэтому нужно построить частотный критерий корреляции двух временных рядов, который был бы обобщением критерия белого шума, приведенного в равд. 6.3.2, Этот частотный критерий следует использовать в сочетании с критерием, основанным на выборочной взаимной корреляционной функции. Выбор функций для критерия. Обсуждение в равд. 8.4.4 наводит на мысль о том, что в качестве исходных количеств для частотного коитерия корреляции двух временных рядов можно было бы использовать случайные функции, соответствующие выборочному спектру когерентности К]а (/) и выборочному фазовому спектру Е,а(/). Заметим, однако, что Х, (1) х (1) гт [С!2 (1) ) Т м ' Сн (1) Ста(1) ) х1(1) )т ) ха (1) )а Т Таким образом, независимо от того, каков двумерный случайный процесс, выборочный спектр когерентности тождественно равен единице.
Следовательно, необходим другой подход, использующий выборочную коспектральную функцию и выборочный фазовый спектр. Эти функции характеризуют два различных типа взаимной корреляции процессов. 1, Выборочная коспектральная т/тункция ((п1едга(ед эатр!е созрес1гшп). Рассмотрим коспектральную функцию /„(/)= ) л„(й)йй, характеризующую полную синфазную ковариацию двух процес. сов для всех частот, не превосходящих /в). Тогда оценка /м(/) ") Более естественно и приведенном интеграле положить нижний предел равным — ю. В этом случае определение коспектральиой функции соотаетстиоиало бы обычному определению спектральной функции.
— Прим. перев, Глава 9 128 Оценивание влааииых спектров 129 процессами. При рав(0) = 0,20 выборочная коспектральная функция систематически возрастает до значения 0,20 при !' = 0,5 гц, что говорит о корреляции двух процессов. Так как У!т(1/2Л) = гш(0), то значение 0,20 при 1* = 0,5 гц является в этом случае хорошей выборочной оценкой величины р,в(0) = 0,20. При рш(0) = 0,55 корреляция двух рядов становится весьма заметной.
Таким образом, поведение трех функций на рис. 9.1 подтверждает то, что используемый критерий очень хорошо обнаруживает корреляцию двух временных рядов. Значения выборочного коспектра и квадратур. ного спектра для случая рш(0) = 0 приведены в табл. 9.1. Читатель может воспользоваться ими для вычисления выборочной коспектральной функции, изображенной на рис. 9.1. (9.!.10) Таблица 9,! Выборочные коспектр и кввдрвтурныб спектр для двух некоррелнроввнных белых шумов Ог !" 1а (!ь) аа (!в) Ьаа (!л) Оаа (!в) ' и (!ь) ~ы (!в) 2, Фазовый спектр. Другой функцией, которая может указывать на корреляцию двух рядов, является оценка фазового спек.
тра Р!т(!'), В разд. 9.1.1 было показано, что если два процесса некоррелированы, то эта оценка фазового спектра будет распределена приблизительно равномерно в интервале ( — и/2, я/2), 5 зал. Отв определится как случайная величина, соответствующая выборочной коспектральной функции 1 чьч ! л~л лы ~!т('!)' а! мб ' ас Удобнее, однако, использовать нормированную оценку 2 ~м()е) З!3,3,8 А ~!т(!!)' ! О где 5а, Зе — оценки стандартных отклонений двух процессов. Если процессы некоррелированы, то Лат(!) тождественно равно нулю и, ст бгц Рис.
9.1. Выборочные коспектральиые функции трех двумерных рядов. следовательно, л'!т(!ь) тождественно равно нулю, но если процессы коррелированы, то уас(!ь) отлично от нуля, Используя (8.3.16), получаем, что из-за нормировки (9.!.!0) Уат((ь) = гав(0) при )л = = 1(2Ь гц. На рис. 9.1 показаны выборочные оценки, соответствующие (9.1.10), сосчитанные по выборке объема Ж = 100 из трех двумерных гауссовских процессов. Эти процессы имели вид Хи = Ха!+ аЯтс, Хт! —— ахи + Явь где 2!, Хс — случайные нормальные числа и а принимало значения 0; 0,1 и 0,3. Таким образом, взаимные корреляции равнялись нулю для всех ненулевых запаздываний, а для ну.тевого запаздывания рш(0) = 0; 0,20 и 0,55 соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
