Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Доверительные интервалы для квадрата спектра когерентности и для фазового спектра В этом разделе мы обсудим некоторые практические применения формул, выведенных в равд. 9.2.2, и используем их при построении доверительных интервалов для спектра когерентности и фазового спектра. Из формул (9.2.!7) †(9.2.20) видно, что дисперсии этих оценок зависят от фактора сглаживания 1/Т, которым можно управлять с помощью стягивания окна, и от спектра когергнтности хг (/) двух процессов Х1(1) и Х,(1): Кроме гого, мы видим, что во всех случаях, кроме (9.2.!7), дисперсия оценки равна нулю, когда коэффициент когерентности равен единице, и возрастает, когда этот коэффициент стремится к нулю.
В действительности дисперсии оценок взаимного амплитудного и фазового спектров стремятся к бесконечности, когда коэффициент когерентности обращается в нуль. Этого следовало ожидать, так как малые значения когерентности соответствуют большому уровню шумов и, следовательно, неэффективной оценке.
Таким образом, мы получаем важный практический вывод; вьеборочныг свойства оценок фазового и взаимного амплитудного спектров могут зависеть в большей степени от спектра коггргнтности, которым мы нг можем распоряжаться, чем от находящегося в нашем рас!горяжгнии фактора сглаживания 1/Т, Доверительные интервалы для спектра когереитности.
Из свойства ковариаций (9.2.21) следует, что оценки фазы и когерентности некоррелированы, и, следовательно, доверительные интервалы для соответствующих спектров можно строить по отдельности. Формула (9,2.18) для дисперсии величины [Кзг(/) [ похожа, если не учитывать эффект сглаживания, на формулу для дисперсии обычного коэффициента корреляции. Поэтому можно применить г-преобразование Фишера [3[. Таким образом, с помощью (3.2.28) получаем, что оценка Уп (/) = Аг(Ь [ [ К!г П = — 1п 2 ! — [Км[ имеет дисперсию Чаг Р !г(/)[ = 2т (9.2.22) не зависящую от частоты, Это наводит на мысль о том, что лучше строить график выборочной оценки величины гтг(/), чем график самого коэффициента когерентности, поскольку для этой величины доверительный интервал будет постоянным, Чтобы получить этот доверительный интервал, естественно предположить, что случайная величина Утг(/) имеет приближенно !43 Опенаванае взаимных таентров !42 Глава и бв пб и,'и 3й— еа нормальное распределение.
В таком случае приблизительный 100(! — са) %-ный доверительный интервал для Аг(11 х12(1) имеет вид !712 (П вЂ” т) (1 2 )Ь' 27 (9,2.23) Предполо>кнм, например, что наблюденная величина коэффициента когерснтности [К12(1) [ = 0,8 и что !/2Т = 0,09. То~да 1/12(1) = = 1,099 и 95%-ный доверительный интервал для Аг()> [к12(1)) имеет вид 1,099-1- 1,96 )/0,09, т. е. (0,511; 1,687).
Возвращаясь к исходным величинам, получаем 95%-ный доверительный интсрвал для к', (1): (0,22; 0,87). Для практических целей удобней построить график преобразованного спектра когерснт. ности у и затем нанести иа этот график постоянный доверительный интерва.п (9.2.23). Примеры преобразований коэффициента когерентности будут приведены в равд.
9.3. Доверительные интервалы для фазового спектра. Приближенное распределение для оценки фазы получить труднее, чем для оценки когерентиости. В [!) получено довольно точное приближение распределения этой оценки, но оно очень громоздко. Однако можно воспользоваться формулой (9.2.20), чтобы получить грубые доверительные интервалы для фазового спектра [2]. Более точные совместиыс интервалы для усиления и фазового сдвига будут даны в гл. 10. В равд. 9.!.! было показано, что если истинный коэффициент когерептиостн равен нулю, то оценка, соответствующая выборочному фазовому спектру, распределена равномерно иа интервале ( — л/2, и/2). Далее, формула (9.2.20) показывает, что влияние сглаживания сводится к уменьшению дисперсии оценки фазы. Поэтому следует ожидать, что сглаживание приведет к тому, что распределение оценки фазы будет сосредоточено в более узком интервале, чем ( — и/2, и/2).
Чтобы упростить задачу, желательно найти такое преобразование фазы, чтобы преобразованная величина имела приближенно нормальное распределение. Мы предлагаем преобразование 1ИГ12, так как при этом интервал изменения преобразованной величины будет простираться от — оо до + оо. С помощью (9.2,20) и (3.2.26) получаем — г г ! Уаг [1д и'12) = зес'1р„— ( 2 — 1).
(9.2.24) Отсюда, аппроксимируя распределение величины 18712 нормальным распределением, получим приближенные 100(1 — сс) о>о-ные довери- тельные интервалы для 1В гр121 !и Р12(1) и- т1 (1 — — ) г т зесв,р1 ~ !) (9 2 25) Н12 Заметим, что истинные коэффициенты когерентиости х12 и фаза гр12 в (9,2.24), (9.2.25) неизвестны и их надо заменить иа выборочные оценки.
Так как из (9.2.20) следует, что дисперсия величины р'12 ие зависит от гр12, то можно ожидать, что интервал (9.2.25) после обратного преобразования, переводящего его в интервал для гр12, почти не будет зависеть от гртг. ГЛ =-" ей ВО бб бй ттаелв слтвленей стабвсЪ Р и с 9.3. 95%.ные иовер1пельные интервалы иля фазового спектра, Па рис.
9.3 показаны 95%-ные доверительные пределы для различного числа степеней свободы выборочпои' спектральной оценки, Зги значения взяты из [4). Например, при х = 27 п К12 = 0,5 получаем доверительный интервал (и -ь 17'). 9.3. ВЗАИМНЫЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИСКУССТВЕННЫХ РЯДОВ В этом разделе мы проиллюстрируем понятия, иведенные в предыдущих разделах, сравнивая сглаженные выборочные оценки спектров фазы и когерентиости искусственных рядов с соответствующими 11звестныа1и теоретическими спектрами.
В первом разделе приведены формулы для вычисления дискретных сглаженных выборочных ош:иок. Раздел 9,3.2 предназначен для того, чтобы !44 Глава 3 145 Оценивании вэаилнмх снек2рав читатель приобрел некоторый опыт в интерпретации выборочных взаимных спектральных оценок. После этого станет ясно, что методы, описанные' до настоящего момента, нужно видоизменить, чтобы получить удовлетворительные выборочные спектральные оценки, В равд. 9.3.3 показано, что этого можно добиться с помощью вырпвниванин двух рядов, т.
е. сдвига по времени одного ряда относительно другого так, чтобы их взаимная корреляционная функция достигала своего максимального значения при нулевом запаздывании. 9.3.1. Формулы для дискретного оценивания Формулы для оценивания сглаженных взаимных спектров по дискретным данным аналогичны формулам для автоспектров, описанным в равд. 7.1.!. Как и там, мы предположим, что ряды х2ь х„,/ = 1, ..., Л), получены прн отсчете по времени с интервалом Л сгк и что выборочные спектральные оценки вычисляются лишь для положительна)х частот.
Для удобства записи предположим также, что Л = 1, так что 0 4/ (!/э гц. Если Л Ф 1, то сосчитанную по приводимым ниже формулам выборочную оценку надо умножить на Л и построить график ее в интервале частот 0 (/ < (1/2Л гц. Как и в равд. 7.!.1, число запаздываний коварнационных функций, используемых в спектральных оценках, обозначается через /.. Сглаженные выборочные спектральные оценки нужно вычислять в точках 0,1/2Р, ..., !/э, где Р в два-три раза больше Ь.
Корреляционное окно может быть одним из трех окон, описанных в разд. 7.1.1. Если присутствуют тренды, то могут получаться ложные связи между рядами. В таких случаях желательно взять первые разности от обоих рядов. Как показано в разд. 8.4.5, операция взятия разностей не изменит теоретические спектры фазы и когерентности. Всюду далее мы будем предполагать, что ковариации относятся либо к исходным рядам, либо к профильтрованным, если зто требуется. Ниже приведены необходимые формулы и указан порядок вычислений. !.
Вычисления для ряда хн. а) Выборочная оценка автоковариационной функции 1 %н сн (й) = — г„(хн — х,) (хн+н — х,), 0 «( й (/. — 1, (9.3 1) 1 %~ где х, = — х хн. Л ?4 б) Сглаженная выборочная спектральная оценка с-! С„)г)=2[ ч)0).|2«2 а)2) !9) '], 0<)<9. !932) Н-1 2. Вычисления для ряда хае а) Выборочная оценка автоковариационной функции Ж-й с!э(й) = у г (хм — ха)(ха!ен — хэ), 0(~й(~/. — 1, (9.3.3) 1 %9 1 9~3 где х,= — «4 хан 2 )у Д4 3!' 1-1 б) Сглаженная выборочная спектральная оценка с-! С„)2) = 2 [ „)О) 0 2 ~, 12) )2) — „]. 0 < ) < Р. 193Л) А 1 3. Совместные вычисления для рядов хн и хм.
а) Выборочная оценка взаимной ковариационной функции у-н ! Ън с э (й) = — х (хн — х!) (ха!+и «3), 0 ( й ( Ь вЂ” 1, ! 1 1 "%1' св( — й)= —, р,(хнен — х,)(х„-х,), 0 й~~/.— !. (9.3.5) ! 1 б) Четная н нечетная части выборочной взаимной ковариационной функции !м(й) = — (см(й)+ с„( — й)), 0(й~(/. — 1, (9 3 6) 1 г/!3(й)= ~ (с!3(й) — см( — й)]2 0~(й~(/.— 1. (9.3,7) 1 Заметим, что с/1 (0) = 0 в) Сглаженные выборочные оценки коспектра и квадратурного спектра Е-1 Х!э(!) =2 1„(0)+2 ~~1)г(й) ш(й) соз — „, 0~(1(Р, (9 3 8) Н-1 С-1 ()!3(!) =4 ~~2/!9(й) в(й)з!п — ', 1~~1(Р— 1, (9,3.9) 3-1 1Оц(О)=д„(й) =О. (чсь |"лава и !47 Оченинание вэаилньи саекгаав г) Сглаженная выборочная оценка взаимного амплитудного спектра Л|е(1) = 1' Е',, (1) +ф„(1), 0(1(Р.
(9.3.10) д) Сглаженная выборочная оценка фазового спектра Гм(1) =асс!и [ — —" ~, 0-:.1( Г. (9.3.11) — Г а,(1)1 1 |2 (!) е) Сглаженная выборочная оценка квадрата спектра когерентности К'|а (1) =, 0(~1(Г. л|2 (!) (9.3.12) С || (|) С|| (1) Мно!китель 2 в ураапениях (9.3.2), (9.3.4), (9.3.8), (9.3.9) поставлен для того, чтобы сохранить соотлюшепие преобразований Фурье между выборочными спектрами н выоорочнымн коварпациями, как и в разд. 7.1.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
