Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(93.27) а)2 При использовании окна Парзена надо заменить 0,063 в (9.3.27) на 0,152. Из (9.3.27) видно, что смещение состоит из двух слагаемых, первое из которых пропорционально второй производной фазового спектра, а второе — произведению производной фазового спектра на пронзводнуко логарифма взаимного амплитудного спектра. Для двумерных процессов, имеющих большие относительные задержки компонент, величина ор)2 будет, по-видимому, превосходить величину )р12). Однако из-за гого, что )р)))2) умножается на гг'(!и аг)2)/е(1", результирующее полное смешение может оказаться незначительным.
Такой случай имеет место в примере с линейной системой, изображенном на рис. 9.11, где показаны теоретический и средние сглаженные спектры. Видно, что они очень хорошо согласуются уже при Ь =!6. Глава 9 9.3.4. Формулы дискретного оцениваиия для выравненных процессов Предположим, что выборочная взаимная ковариационная функция имеет пик в точке 5, причем 5 может быть и положительным, и отрицательным. Тогда в выравнеиных выборочных оценках используется центрнрованная взаимная ковариационная функция, имеющая пик в нуле. Таким образом, выравнснная выборочная оценка взаимной ковариациониой функции имеет вид с" ,(й) = с, (5 + А).
(9.3.28) Если для выравненной выборочной оценки используется корреляционное окно длины 7., то — 7. й+5(7., и, следовательно, нужно вычислять см(А) для следующих значений аргумента: — Ь вЂ” 5 ~ <й < 1. — 5. Далее можно пользоваться формулами, приведенными в разд.9.3.1, применяя их к выравнеиным выборочным оценкам взаимной ковариации. Формулы (9.3.6) и (9.3.7) для четной и нечетной частей выборочной взаимной ковариационной функции переходят в 1",а (й) = з (с „(5 + я) + см (5 — й)1.
(9.3.29) 4,", (й) = — [с„(5 + й) — с„(5 — й)1, (9.3.30) и далее можно применять формулы (9.3.8) — (9.3.!3) без измепений. 9.3.6. Примеры взаимного спектрального анализа с выравниванием На рис. 9.16 показаны средине сглаженные спектры когерент. ности при 7. = 8, !6 и 32 для примера с шумом, пропущенным через линейную систему с применением выравнивания. Параметр выравнивания 5 = 10 был найден по пику взаимной корреляционной функции на рис. 9.!3. На рис. 9.12 соответствующие сглаженные спектры приведены до выравнивания.
Сравнение рис. 9.16 и 9.12 показывает, что выравнивание приводит к существенному уменьшению смещения, т. е. к уменьшению степени искажения. На рис. 9.17 показаны средние сглаженные фазовые спектры при 7. = 4 и 32 после выравнивания, а на рис.9.!1 — до выравнивания. Сравнение этих рисунков показывает, что выравнивание сильно ускоряет сходимость к истинному значению. яи О Х х о~ О х О в зх х ох ох 3 во, О, з х з ю О -о о в ь О вт х; 3 о О а8 ю Ох Ю „. а х ы о .о о о. х оо бо Ю а х лл вч х о х "о х О Ю йх о о охла ох х ох 3 х,х х х'ю х х ОХВ очх О $- х л оьх О. О О О Я О О.
х ыо Х о в а Оценивание взаижнаие спектров 1бб 164 Глава 9 бо ов 09 ог ог ог о,г о" оз ог На рнс. 9.!8 приведены сглаженные выборочные оценки когерентности после выравнивания для шума, пропущенного через линейную систему. На рис. 9,14 даны соответствугошие оценки до выравнивания. Сравнение рис. 9.18 и 9.!4 показывает, что выравни- о йггг ого огтг г)г г ец Р ис. 9.18. Сглаженные выборочные оценки спектра когерентности линейного процесса (8.1.22) (ЛГ 100, после выравнивания, о = 10). ванне заметно улучшило выборочные оценки. Заметим, что при ь = 16 начинаются осцилляции выборочной оценки на рис. 9.18, и, следовательно, нужно остановиться на значении ь' = 8 или, возможно, Ь = 12.
Отметим, что при Е = 8 наблюдается очень хорошее согласие с теоретическим спектром когерентности. Выборочные оценки фазового спектра после выравнивания не показаны, поскольку они почти совпадают со средними сглаженными спектрами на рис. 9.17. Как отмечалось в равд. 9.3.3, смещение оценки фазы обычно мало, так что отличие выравненцых выборочных фазовых оценок от невыравненных не так существенно, как для оценок когерентности. оегг азт огнг в)г р ец Р и с. 9,19.
Выборочные оценки спектра преобразованной когерентностн линей- ного процесса (8.!.22) (Ф !00, после выравнивании, 5 = 10). Таким образом, приведенные примеры показывают, что с помощью выравнивания очень плохие выборочные оценки когерент. ности можно преобразовать в хорошие. Доверительные интервалы для коэффициентов когерентиости и фазы. Сглаженные выборочные оценки когерентности, показанные на рис. 9.18, вновь изображены на рис. 9.19 в масштаое, соответствующем преобразованию Уга = Аг1)з!Кгз). Кроме того, указаны доверительные пределы, не зависящие от частоты, которые были вычислены по формуле (9.2.23).
Поскольку до выравнивания смещение для фазы было очень мало, то допустимо считать, что доверительные интервалы можно применять к выравненным спектрам, показанным на рис. 9.1?. Взяв в качестве средней величины квадрата когерентности во всем частотном диапазоне значение 0,8, получаем при Е = 4 и 32 с помощью рис, 9.3 95о)о-ные интервалы "=5н н 15".
|66 Глава 9 !62 Ояеншванае азаал|нмх саек| рав 94. ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОЦЕНИВАНИЯ ВЗАИМНЫХ СПЕКТРОВ В этом разделе обсуждаются практические вопросы„возникающие при оценивании взаимных спектров. Они аналогичны вопросам, обсуждавшимся при оценивании автоспектров в равд. 7.3, 9.4.1. Планирование анализа взаимных спектров Как и в анализе автоспектров, при анализе взаимных спектров желательно выбрать длину записи до начала сбора данных. Во всех вычислениях такого рода нельзя сделать никаких точных утверждений, поскольку наилучший выбор длины записи может быть только тогда, когда точно известны спектры.
Однако если имеются предположения о поведении спектра, то в основу сбора данных можно положить полуколичественные рассуждения, а не слепые догадки. В равд. 7.3.1 указывалось, что имеются четыре стадии в планировании анализа автоспектров. 1. Выбор интервала отсчета, который должен быть не больше 1/2)ы где !а — максимальная интересующая нас частота. 2. До перевода записи в цифровую форму может потребоваться аналоговая фильтрация, пабы устранить все составля|ощие с частотами выше )а на непрерывных записях.
3. Нужно сделать предположение относительно ширины а самой тонкой из представляющих для нас интерес деталей когерентности. В равд. 9.3 показано, что спектр когерентности обычно труднее оценивать, чем фазовый спектр. Поэтому планирование должно исходить полностью из спектра когерентности. Малую степень искажения прн оценивании спектра когерентности можно получить, выбрав ширину спектрального окна меньше и — ширины самой тонкой детали. Следовательно, число запаздываний 7. можно найти по формуле (7.3.2), а именно Ь| аа где Ь| — стандартизованная ширина полосы частот окна. Заметим, что в вышеупомянутых выкладках предполагается, что выравнивание двух рядов уже произведено. Поскольку сдвиг 5, требуемый для выравнивания двух рядов, будет обычно мал по сравнению с их полной длиной, то на стадии планирования этого можно не учитывать.
4. Чтобы тонкие детали спектра когерентности можно было считать реальными, доверительный интервал должен быть достаточно мал. В равд. 9.2,3 было показано, что доверительные интервалы для спектра когерентности можно вычислять по формуле — г ! б 'т'аг !АгФ ! К|х |! = 2Т т 2Ь!У ' где Ь~ — стандартизованная ширина полосы частот окна. Для Аг(п(й|,! 95$,-ные доверительные пределы задаются по формуле (9.2,23), т. е.
~ 1,961/ — = +. — ' (9.4.1) г 2Ь!М Ут Следовательно, если мы хотим, чтобы доверительные пределы равнялись .+ с, то для этого в среднем надо взять следующее количество точек записи: (9.4.2) или с помощью (7.3.2) это можно переписать в виде (9.4.3) Пример. Предположим, что спектры когерентности и фазы нужны для частот до !а = 2 ги. При этом требуется еще оценить пик ширины а = 0,20 ги с такой точностью, чтобы 95%-ный доверительный интервал для преобразования спектра когерентности равнялся -+ 0,2 при использовании окна Тычки.
В таком случае Л= — =0,25 сек, ! 2А !,333 О,2 ° О,26 А = 2 62 626 ! 62 ) = 960. Число степеней свободы для каждой точки, где вычисляется выборочная спектральная оценка, равно приблизительно 95, а длина записи должна быть по крайней мере 240 сея. 9.4.2. Практическая методика оценивания взаимных спектров Мы предлагаем проводить оценивание взаимных спектров в пять последовательных этапов: 1. Стадия предварительных решений в) Ряды проверяются визуально с целью обнаружения очевидных треидов. Если имеются тренды, то от ннх можно избавиться, используя выборочные оденки ковариаций, сосчитанные по первым разностям каждого из рядов или же по записям, профильтрованным с помощью одного нз цифровых фильтров, указанных в равд, 7.3.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
