Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Опо справедливо для очень малых значений ((Ее( — [[2)(. Если разность частот больше 1ЕТ, то эти ковариации приблизительно равны нулю. Более строгии вывод этих формул приводигся в Приложении П9.!. Отметим одно обстоя- Следовательно, воспользовавшись (8.4.17), мы будем иметь Е[С» (Е)[ = [Н» (Е) ~гет"-, + ~ Н,„(Е)['о,'=Г» (1), (9,1,19) Е [Сгг (Е) [ = ( Н„([) [2 о' + ! Н,„([) !2 о,'- = Ггг (Е), (9,1,20) Е [С!2())[ = Н;, (Е) Нг! (Е) о(+ Н!2 (Е) Нег(Е) огг = Г!2(1), (9.!.21) Ковариациониая матрица величин Си(1) легко получается из равенств (9.1.!6) — (9.!.18) и из ковариациониой матрицы (9.1.15). Например, учитывая, что ковариационная матрица приблизительно равна нулю для всех частот, кроме [~ .— -12, получаем из (9.!.!6) и (9.1.17) СОЧ [С» ([), С„([2)[ = [Н» (Е!) [2/ Нм ([ал) [2 о!1()рг (-) + )Тле (+)) + +[Н ([)[2~Н ([)[гол()р'(-)+В"(+))+ +Н»([,) Н„ЯН;,([,) ЕЕм([2) и';о',-рЕ (+)+ Члены )рг(+) малы по сравнению с Тгг( — ), и имп можно пренеб ечь.
Воспользовавшись для 1! =- 12 приближенным равенством м([2) .= Ни([е) н записывая Нет(Е!) в виде Нп, получаем Сот [С»([!), С„([)[ = ([Н» [2[Н, [го', +[Н.!2[Н [гол+ Поэтому, опуская аргумент 1» обобщенную ковариационную матрицу величии С», Сгь Е»2 и Фг на частотах 1! и Ег ([! = Ег) для произвольного процесса можно записать в виде тельство, которое нам пригодится впоследствии: )Тлг( — ) стремится ! к --б(е!-ег) длЯ иепРеРывных пРоцессов и к —,б(Е,— Ег) длЯ дискретных процессов при очень больших Т. 9.2.
СВОЙСТВА СГЛАЖЕННЫХ ОЦЕНОК ВЗАИМНЫХ СПЕКТРОВ 9.2.!. Сглаженные оценки взаимных спектров В равд, 9.!.3 было показано, что выборочные оценки взаимных спектров обладают тем же нежелательным свойством, что и выборочный автоспектр: главный член их дисперсии не стремится к нулю с увеличением длины записи.
Поэтому оценки взаимных спектров необходимо сгладить с помощью спектрального окна точно так жг, как нужно было сгладить оценки автоспектров. Сглаженная сценка взаимного спектра определяется следую1цим образом; с 2 д) Г и, (и) с,(и) е-мн1н аеи -т (9.2.!) где корреляционное окно ш(и) обладает обычными свойствами (6.3.29). Разлаеая см(и) на четную и нечетную части [см. (83.19), (8.3.20) ), получаем т т С!2(Е) = [ и (и) Ем(и) сов 2п(ил(12 — Е Г ти (и) е)!2(и) зеп 2п(ил(и = -т -т Е !2 (е) Я!2 (е) (9.2.2) где Еег(Е) и Дег(Е) — сглаженные сценки коспектра и квадратур- ного спектра. Ее математическое ожидание можно найти с помощью (8.3.2!) Е[С!2(1))= [ [1 Га ) у!2(и)а Математическое ожидание сглаженных оценок взаимных спектров. Оценка, соответствующая выборочному взаимному спектру Сег(Е), определяется следующим образом: т С!2([)= Гс12(и)е-12аг Еи, -т Оцепавапав вэаиапых спектров 137 Глава 9 [" )Р(8)Г„([ 8)дд=Г„(!).
(9.2.4) (9.2.7) Отсюда (9.2.6) Отсюда т !" (н))р (с'+и (9.2.9) Последнее выражение можно переписать в виде Е[См(1)]= ~ Т( '"т ) Гм(~ — д)асд = Гм(1). (9.2,3) Приближенное равенство в (9.2.3) справедливо из-за того, что при большом Т спектральное окно становится очень узким. Таким образом, с хорошей степенью приближения можно считать, что См(1) является несмещенной оценкой Г„()). Взяв математическое ожидание от обеих частей (9.2.1) и воспользовавшись равенствами (8.3.2!) и (9.2.3), получим среднее значение сглаженной оценки взаимного спектра: Е [Си(1)] = ) ге(и)11 — — ") ум(и)е-глпга с(и = -т функцию Гм(!') назовем средним селаженнььи взаимным спектром. Так как Е[См(!)] = Е[Ьи(!)] — !Е[глм([)], то средние сглаженные коспектры и квадратурный спектр можно записать в виде т ЕК,э([)] = ] ис(и)[1 — — ) Х,в(и) соэ2я!ив(и = [и[! -т = ~ )Ут(8)Л„(]-8)ей=К„Д (9.2.5) Е ф, (7)] = ] ге (и) [1 — — ) ф„(и) з(п 2л(и с(и = -т ) )Р(8)Р У-а)г!8=Чт Ч) Равенства (9.2.4) — (9.2.6) по виду похожи на равенства (6.3.35)— (6.3.37) для математического ожидания оценки автоспектра.
Однако имеется и существенное отличие, состоящее в том, что антоковариационная функция уп(и) в (6.3.37) является четной. Поэтому можно ожидать, что если [уи(и) [- 0 достаточно быстро при и- оо, то смещение Ви([) = Гп()) — Ги([) также будет стремиться к нулю весьма быстро с увеличением значения М точки отсечения корреляционного окна. Для оценки взаимного спектра ситуация меняется, так как взаимная корреляционная функция не является четной.
Таким образом, в том крайнем случае, когда один процесс в точности повторяет другой, но с некоторой задержкой т во времени, взаимная корреляционная функция будет равна автокорреляционной функции, сдвинутой по времени на величину т. Из-за этого среднее значение (9.2.4) сглаженной оценки взаимного спектра будет иметь заметное смещение, если точка отсечения М меныпе задержки т. При этом, если т велико, то при и = т значения корреляционного окна ш(и) будут малы. Поэтому для того, чтобы смещение было невелико, потребуются очень большие значения точек отсечения. Мы продемонстрируем этот эффект в разд.
9.3. Там же будет показано, что от такого нежелательного эффекта можно избавиться с помощью вьсравнивания двух рядов, после которого их взаимная корреляционная функция принимает максимальное значение при малом значении аргумента. Ковариационная матрица сглаженных оценок взаимных спектров и автоспектров. Используя свойство свертки (П2.1.8), сглаженную оценку взаимного спектра (9.2.!) можно записать в другом виде: Соч[Сп(1,), Схс(1в)].= ) Соч[СиЦ,— д), СвД,— Ь)]Ж'(д) Ю'(й)суйс(Ь.
(9.2.8) Ковариационную матрицу сглаженных спектральных оценок можно вывести с помощью матрицы (9.1.22). !!апример, для больших Т из (9.1.22) следует, что оч [Сп Дс), См (7з)] [ Гм (~1) [ Соч [Си ф), См (6в)] = )' ~ Г„([, — д) ~" !й ' ~+") 97 (д) УР(й) да дй = !зв Гааза 9 139 0петтивааие взаимных спектров Предполагая, что Гм([) мало меняется в полосе спектрального окна, и делая в (9.2.9) замену !'т — д = Л, получаем Соч[СпД,), См(М] = "у,' ] )Р Ж Л))хт()з й)аттт (92 10) При [, =)з =) равенство (9.2.10) сводится с помощью (6.4.13) к Соч[Сп (!), См())] = ". ] Ф" (и) атд =[Ге()) !з —.
(9 2,11) 9.2.2. Сглаженные оценки взаимного амплитудного и фазового спектров и квадрата спектра когерентности Как показано в разд. 8.4.4 для описания корреляции двух случайных процессов, в частотной области можно воспользоваться их взаимным амплитудным и фазовым спектрами. Однако удобнее взять квадрат спектра когерентности и фазовый спектр. Имеется несколько способов определения сглаженных оценок этих спектров.
Один простой способ состоит в том, чтобы в теоретические выражения для этих спектров подставить сглажештые оценки коспектра и квадратурного спектра. В результате с помощью (8.3.28) сглаженная оценка взаимного амплитудного спектра будет иметь вид А м (!) = ] Е[з ([) + Я(а (1) Аналогично с помошью (8.3.29) можно определить сглаженную оценку фазового спектра Е1з (!) = агс!ц [ в = —" Ђ !2 (й с.„(!) /' (9.2.13) Аналогичные выражения можно получить и для других спектральных оценок.
Таким образом, эффект сглаживания состоит в уменьшении дисперсий н коварпаций несглажснных оценок в !!Т раз. Следовательно, ковариационпая матрица сглаженных оценок получается из ковариационной матрицы (9.1.22) несглаженных оценок с помощью замены множителя 1Рз( — ) на ПТ. Более строгий вывод этих результатов приведен в приложении П9.1. Сама ковариационная матрица сглаженных спектральных оценок непосредственно не представляет особого интереса. Она нужна лишь как промежуточная ступень при выводе коварнацнонной матрицы сглаженных оценок взаимно~о амплитудного спектра, спектра когерентпости и фазового спектра.
Эта последняя матрица выводится в следуюшем разделе. Наконец, пользуясь раве:ютвом (8А.!8), определяем сглаяееттную оценку квадрата спектра когерентпости з 2 )м= хнз+Ф2 Рассмотрим теперь малые возмушения 6Ет н 6Дтз около математических ожиданий Е[Ьа] = Леь ЕЯтз] = фтз, с помощью которых можно записать = Л„+ И.„, +Йм = 0 = Е [6ф,], ьте !1а ЕЯм] Аналогично получаем Е[6Е]з1=Ча [Е ], Е [6Яй] = Уаг [Т1п] Е [И „6Я,з] = Сои [Т-м, Ям]. Разлагая !9.2.!2) в ряд Тейлора, имеем Ам —— ]' (Ла+И,з)з+(Чем+ба,)з = ад(1 + " ",, " ").
а,з Отсюда Е[А„] = агм — Л,з'хат [Ьм]+ зт|з'хв" [~~~з]+2дмпт)з Сои [и,з, Я,з] Чаг[А„] = (9.2.15) (9.2.16) — Х~з (!) + Ю!з У) Км(тт) ==, (9.2.14) с„(!) с. Е Заметим, что, даже если бы оценки Х,тз()) и (7~з(!) были несмещенные, оценки (9.2.!2) — (9.2.14) все равно имели бы смещение. Однако это сметцснпе было бы мало но сравнению со смещением, вызванным отсечением концов взаимной корреляционной функции и ее несиммстричностью относительно нуля.
Поэтому можно считать, что среднеквадратичная ошибка из-за этого не увеличится, Так как все оценки (9.2.12) — (9.2.14) являются нелинейными функцнямп от оценок Еа(1), (7тз(1), С1т()), Сзз([), то для нахождения их моментов нужно разложить эти нелинейные функции в ряд Тейлора, как показано в равд. 3.2.5 и в [2]. В качестве примера найдем среднее значение и дисперсию сглажетптой оценки взаимного амплтпудного спектра (9.2.12).
Для удобства записи опустим аргумент [, так что (9.2.12) запишется в виде ыо Глава й Оценивании взаимных еаектрав Заменяя в ковариационной матрице (9.1.22) )Ттг( †) на 1/Т, получаем Чаг [т !2[ 2т [Г~!Ггг+Л!г — Чт22[, 2 2 Чаг Я12[ — — т !ГнГгг — Л!г + Ч 2 2 — 1 Сок[1-~2, Яа[ = — Л12Ч !г Подставляя этп выражения в (9.2.16), находим дисперсию сгла- женной оценки взаимного амплитудного спектра Чаг [Ам[ = — ам [! + —,). 1 2 1 ! 2т [ хг!г ) (9.2,17) Заметим, что, когда процессы Х, и Хг одинаковые, Ап = ьн, ам = Гп и хг„= 1. Следовательно, в этом случае (9.2.17) имеет вид Чаг [Сн[ = — Ги, 1 г что совпадает с формулой (6.4.13), полученной ранее. Аналогичным образом можно получить формулы для дисперсий и ковариаций оценок Ам, Р~г и Ка.
Они будут следующими. Дисперсия сглаженной оценки спектра когерентности и его квадрата Чаг [ ! Км [ [ = 21, (1 — х!2)', Чаг [К!2[ = — 4х!2(1 — хй)~. (9.2.18) (9.2.! 9) Дисперсия сглаженной оценки фазового спектра 1 1 ! Чаг [Р!2[ = — ~ —, — 1 2т х~г (9.2.20) Соч[Р!2, А!2[ = О, Соч[рм, Кю] = О. (9.2.21) Полученными формулами мы воспользуемся в следующем разделе при выводе доверительных интервалов для фазового спектра и спектра когерентности. Отметим, что эти дисперсии не зависят от теоретической функции фазового спектра. Свойства ковариаций: 9.2.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
