Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 2) (1044214), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Видно, е„(д) что эти средние сглаженные спектры заметно отличаются от теоретического даже при 6 =- 32 и что это отличие нельзя с)а приписать недостаточной гладкости теоретического з)г Ю спектра. Причина в том, что сме!цепке появляется из-за большой задержки между входом и выходом, как было предсказано в равд. 9.2.1. При Л = 8 средний сглаженный спектр когерентности приблизительно равен нулю, как можно было бы предвидеть, поскольку задержка между двумя рядами пре- восходит максимальное запаздывание ковариаций. Следовательно, в этом случае смешение равно самой функции и-,'з()). Из теоретических рассмотрений ясно, что немногое могкно узнать из спектрального анализа реализации этого процесса, содержащей около 100 членов, если только не проводить этот анализ очень тщательно, Чтобы проиллюстрировать этот вывод, мы сосчитали авто- и взаимные корреляции по реализации, состоящей из Ф =!00 членов.
Опи приведены в табл. П9.2 и изображены на рис. 9.13. Исходные данные для этого примера взяты из табл. П8.2. На рис. 9,! 1 показаны выборочные оценки спектра когереитности, сосчитанные по реализации из йг = 100 членов при Е. = 8, !6 и 32 Риенивание еваиетных спектров 157 о о я О О О О Ъ 4 Я о О я сн сн ООЕ Ы а о О Н яио О он и О ОО Оо О в аа О О 2( о О Н,О се О .О ие 1 ы~ 1 ~ 1 О О а Ы ООГ Ои О О й~ О- Оо сн С'4 О со з ы ОО о ОО ООО аЦ ы ООО 3 а О ООХ ой ОО'" ЯОЗ О О и М 4 ОЧ се- 8 сп' о Оа о мы Видно, что они нс сходятся к какой-либо функции и что при Ь=32 выборочная оценка начинает резко «скакать». Поэтому нельзя получить никаких удовлетворительных выводов относительно выборочных оценок когерентности.
Выборочные оценки фазового спектра показаны иа рис. 9.15 при Ь = 4, 8, 16 и 32. Видно, что они очень плохи, когда Ь меньше или сравнимо с величиной задержки (т = 10). Но когда Ь становится больше !О, выборочные оценки быстро улучшаются, и при Ь = 32 наблюдается превосходное согласие с теоретическим фазовым спектром. Примеры этого раздела иллюстрируют то общее положение, что хорошие выборочные оценки фазового спектра можно получить и в тех случаях, когда спектр когерентности оценивается плохо. В следующем разделе мы покажем, что обычне можно значительно улучшить выборочные оценки спектров когерентностн и фазы с помощью выравнивания двух рядов. 9.3.3.
Улучшение выборочных взаимных спектральных оценок В последнем равд ле было показано, что при оценивании спектра когереитности может получаться значительное смещение, особенно когда имеется большая относительная задержка рядов. В настоящем разделе мы вычислим смещение спектральных оценок когерентности и фазы и покажем, что это смещение можно существенно уменьшить с помощью вьсравниванця.
Выравнивание заключается в центрировании взаимной корреляционной функции таким образом, чтобы ее наибольшее абсолютное значение приходилось на нулевое запаздывание. Смещение оценок когерентности. Првближенпые выражения для смещения сглаженных оценок когерентности можно получить с помощью метода, подобного тому, который мы использовали в разд, 6.3.5, Например, смещение сглаженной оценки спектра когерентности равно В(г) Ег — 2 ()) ())~ Е!" )с (9!' )г (1)!' 1 (9317) 1 сн (1) с22 (1) гп (1) г22 у) ~ ' С помощью (3.2.23) это смещение можно аппроксимировать выражением В (1) = 2222 (1) " — " — — ") 1 (9.3.! 8) ) ид(1) )п (1) Г22(В з где В22(~), Вп((с), В22()) — смещение оценок ) С22(1) 1', Со ()) и С22((с) соответственно.
Предположим на время, что автоспектры почти не меняются на частотном интервале, равном ширине спектрального окна, так что смещением оценок автоспектров можно пренебречь, 158 г нар 0))ее))ванне азанлнын снннгроа 159 В)аЯ = Е !Ам(?) — а;',(К)], Мы имеем Так как ?[ ш(и) ум(и)е ?"Ыс?и, так что Отсюда Записывая получим Найдем сначала смещение квадрата взаимного амплитудного спек- тра, т. е. величину н))н„)))))=н~ 1 с„)н)н)) — н)нн (н»)н) и')) — ))нн~- ~ ))7 (К вЂ” д) )сс(? — Ь) Е(С)а(д) С)а (Ь)[с?с?сКЬ. (9.3.19) Е [С)а (К)) С) а (Ь)1 = Со)?[С)а (д), С) а (Ь)! + Е [Сн (д)! Е [С)а (Ь)], то с помощью (9.1.22) и (9.2.3) это выражение приближенно равно Е )С) (д), С ° (Ь)! 71',(д)Гаа(а)б(д — Ь)+Г)а(~)Г)а(Ь) ) Следовательно, Е[[С,.())[] = ~ Г„(Ы)Гм(й)сКД+[Г,([)Р (9320) Так как мы предположили, что Г)) (?) и Гм([) почти не меняются на интервале частот, равном ширине спектрального окна, то (9.3.20) сводится к Е [ [ См (К) [а! = 1 н ([) Г„(?) —.
+] Г)а (?) Р (9 3 21) и из (9.3.18) получаем с ~ г„В) Р— 1г„В) Р В(К) = — ' (9.3.22) Равенство (9.3.22) показывает, что, даже если теоретический взаимный спектр равен нулю, средний сглаженный спектр когерснтностп может быть очень большим. Этим обьясняются показанные на рис, 9.5 большие значения выборочных оценок когерентности для двух независимых процессов авторегрессии первого порядка, обсуждавшихся в равд. 8.2. Например, при ? =. 40 ? (0,751 40 Г )00 что в среднем хорошо согласуется с выборочными значениями, приведен|ыми на рис.
9,4. Заметим, что с ростом 5 (и, следовательно, с ростом ??Г) выборочные значения когерентности в среднем также возрастают. Как указывалось в равд. 9.1.2, когда М = = К.Л- ?', коэффициент когереитности стремится к единице для всех частот ?, Из формулы (9.3.22) видно также, что фильтрация независимых рядов не улуч)пает выборочных оценок когерентности.
Этот факт продемонстрирован па рис. 9.5, где приведены выборочные значения когсре)пности независимых процессов до и после фильтрации На этом рисунке видно, что в обоих случаях значения квадрата спектра когсрентиостн в среднем равны О,1. Эта вели- )6 с чипа хорошо согласуется со значением 1?? = 0,75 . — = 012 )00 которое получаезся по формуле (9.3.22). Чтобы получить явное выражение для смещения (9.3.22), нужно вычислить величину [Г)а(?) [' — ]Г)а(К) ]'. Из (9.2,4) имеем [Г)а([) Р = ]К ]К ш (и) и) (о) у)а(и) ум(о) е-?ан? с)-н) с(ис(о.
[Г„(К)]а ~Г„(?)[а= ! у„(и) ум(о) е-?"?'" '[ш(и) н) (о) — 1]сКис?о, (9 3 23) ш (и) ш (о) — 1 = [и) (и) — 1! [ш (о) — ! ] + [и) (и) — 1] + [и) (о) — 1], ]г,а(К) Р-[Г„(К) [а = !' [ш(и) — 1]у, (и) е-?ан?н с?и ] [и) (о) — 1]у (о) е?ан?н с(о 4. + ~ [ш(и) — 1]ун(и) е ""?" )Ки ~ у„(о)е?ан?нс?о+ + ~ ун(и)е )аа?" с(сс ]г [ш(о) — 1]ун(о)ема)нс(о, Ояе»»иванке вваимнык еаект)»ав 160 Глава й 16! Следовательно, ~р)2" = — „, (р)2())1 =(~р)2-2л5), (9.3.25) (9.3,26) 6 Зак. П)8 С помощшо приближения (6,3.3?) для смещения при использовании окна Тычки получаем ! Г У) 1' — 1! и (1) 1' = ( мг ) Г)2 ( мг ) ГЫ" + ( — ', ) (Г) Гм + !)2Г12"), (9.3.24) где Ä— вторая производная взаимного спектра на частоте !.
За- 12) пнсывая Г)2(!) в виде аог(!)е)в ш и дифференцируя по ), получим ! м (1) ~ 3 м ()) !2 = Мо о)а)гаог а)г()ов)2) ~ где опущены члены порядка 1!М'. Следовательно, если в (9.3,18) можно пренебречь смещениями Воо(!) и Вгг(!), то смещение оценки спектра когерентности при использовании окна Тычки приближенно записывается в виде олом ово)о,ьз- '„)оя)') В(») Г + мг ~ г г При использовании окна Парзена 0,75 надо заменить на 0,54 н 0,126 — на 0,304. Наиболес важная отличительная черта формулы (9.3.25) состоит в том, чго смещение пропорционально квадрату производной фазового спектра.
Если пренебречь в (9.3.25) постоянным членом н членом с а))2), то получим формулу В (!) ев М ('р ) 0,126 2 и) 2 так что смешение оценки спектра когерентности пропорционально величине когерентности и быстроте изменения )р))п фазового спектра. Следовательно, если имеются большие относительные задержки двух процессов, то выборочные оценки когерентности могут сильно ухудшаться, так как )р))п будет велико.
Смещение взаимных спектральных оценок было впервые обнаружено Акаике [5). Выравнивание. Смешение оценки когерентиости, вызванное фазовым сдви) ом, можно существенно уменьшить с помощью выравнивания (а1!дптеп1) двух процессов. Предположим, что взаимная корреляционная функция достигает наибольшего по абсолютной величине, или пикового, значения для запаздывания 5. Выравнивание процессов, переводящее это пиковое значение к нулевому запаздыванию, изменяет функцию Г)2(1) от значения а)2 (1) е)ч ' Н' к значению Г» (Го)» ()) Ув)~Ж вЂ” а (1) е) (в)20) га)з) и в результате смещение (9.3.26) можно существенно уменьшить, как мы покажем в следующем разделе.
Использование фазового спектра для определения параметра выравнивания. Выбор в качестве параметра выравнивания величины 5, соответствующей пику взаимной корреляционной функции, не всегда приводиг к удовлетворительным результатам. Может случиться так, что фазовый спектр выравненных рядов все еще будет содержать линейную фазовую компоненту ч) (Г) = 2лЦ. это будет указывать на то, что необходимо дополнительное выравнивание на величину г(. В качестве практическои рекомендации мы предлагаем первое приближение к параметру выравнивания делать исходя из пика взаимной корреляционной функции.
В некоторых случаях этого достаточно для того, чтобы фазовый спектр после выравнивания уже не содержал линейной компоненты. В дру. тих же случаях, когда остается линейная компонента )р(!) = 2л!а), можно взять в качестве второго приближения к параметру выравнивания 5 + е! и т. д. Смещение оценок фазы. Приближенные выражения для сме. щения оценок фазы можно получить тем же путем, что и для когерентностн. Окончательный результат прн использовании окна Тычки имеет внд В()) = 2 ~ „2 „! (а!2»р))2)~= ', ~орЯ+)рф — 1паг)2~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
