Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(6.3.10) Равенства (6.3.10) показывают, что по крайней мере для гармонических частот дисперсия этой оценки равна константе, пезависяи(ей ог объема выборки. Это объясняет тот факт, что выборочные оценки дисперсии случайной величины С22(1д) не уменьшаются с увеличением объема выборки, как видно из табл. 6.1. Вагкно отметить, что даже для негауссовского процесса 21 случайные величины А(1) и В(1) будут приближенно гауссовскими в силу центральной предельной теоремы. Поэтому величина С22(!) будет иметь распределение, близкое к тг-распределению с двумя степенями свободы, независимо от того, какое распределение у процесса 2).
Дисперсионный анализ. Важность полученных выше результатов легче оценить, если рассмотреть разложение полной суммы квадратов случаиных величин кс. По теоре)ее Парсеваля (6.1.3) имеем л--1 л — 1 ктг ~лУ.' 22 (с д) Ь С= — л д= Используя то, что С22(1'д) = С22( — 1д), получаем л — 1 л 1 — 2; ., —,(о со)-)-2 д о ст)л-о ст.)1. )6.!.)!) 2 с= — л 2 Д=) Так как ас/оз — независимые нормальные величины с нулевыми средними значениями и единичными стандартными отклонениями, то стоящая в левой части равенства (6.3,11) случайная величина имеет гсг-распределение с М степенями свободы.
Доказанные выше утверждения показывают в таном случае, что эта величина представляется в виде суммы двух Хг-величин с одной степенью свободы или (и — 1) )(г-величин с двумя степенями свободы. Таким образом, полное число степеней свободы раскладывается на следующие слагаемые: Ж=2п=1+2(п — 1)+ 1. Для нечетных Ас член с одной степенью свободы, соответствующий й = — и, исчезает из (6.3.11). Это разложение представляет собой частный случай метода, называемого в статистике дисперсионным анализом.
Если Е (Лс] ~ О, то проведенный выше анализ справедлив, но разложение (6.3.! 1) в этом случае удобнее записывать в виде л — 1 л — 1 се 2)'-- с [! ~ о, ст,) -)-о,,)т,)). )се.!2) е2 '2 к=1 где Л вЂ” среднее арифметическое значение случайных величин Лс. 6.3.2.
Критерий для проверки гипотезы о том, что шум белый Критерий. Равенство (6.2.14) показывает, что спектр дискретного белого шума имеет вид < г< 2Д 2а Г22 („с ) = До7 Отсюда спектральная функция ,й У !22(Р)== ~Г - (п]сУд = — 2До2Р, — ! линейно зависит от частоты. 0(У(,',, Необходимость критерия.
На практике часто возникают ситуации, когда требуется проверить гипотезу о том, что наблюдаемый временнбй ряд является реализацией белого шума. Пример такой ситуации приведен в равд. 5.3.5, где критерий для проверки того, что шум белый, был применен к случайным гауссовским числам, полученным с помощью вычислительной машины. Другим примером служит проверка подобранной модели, например процесса авторегрессии (5.2.39). Модель можно считать адекватной, если остаточные ошибки (между подобранной моделью и данными) образуют белый шум. Приведенный в равд. 5.3.5 критерий для проверки того, что шум белый, полезен тогда, когда подозревают наличие «локальных корреляций», т. е. когда есть подозрение, что соседние точки временнбго ряда коррелированы. Иногда требуется обнаружить отклонения от белого шума, вызванные периодическими эффектами. Так, например, после подбора модели для экономического временнбго ф.
ряда, содержащего сезонные вариации, несоответствие модели могло бы выразиться в периодичности остаточных ошибок. В таком случае более подходящим является частотный критерий, основанный на выборочном спектре. Один такой критерий приведен ниже; его надо рассматривать как дополнение к критерию равд. 5.3.5, основанному на корреляционной функции.
285 284 Гл. б. Спектр 6.3. Спектральные оценки Предположим, что выборочный спектр С„(/) сосчитав для гармонических частот /д=й//т!Л, й=О, 1, ..., /1//2. Рассмотрим тогда оценки /(/к) спектральной функции 1 /У,)= „, 1 С„(Л). (6.3.13) Заметим, что Скк(0) = О, если вычитается среднее значение. Так как Е[Скк (/к))=Гик(/к)=2бот, то й Е [/ (/'л)) = 2дае7» = 25ае,у~ н, следовательно, /(/к) является несмещенной оценкой /кк(/к). На практике удобнее нормировать /([к), разделив ее на о' .
В этом случае /(1/2Л) =1. Поскольку о' неизвестна в практических ситуациях, ее следует заменить на оценку 5', так что в окончательном виде оценка нормированной спектральной функции имеет вид /(/к)/о' . Таким образом, соответствующая выборочная оценка, сосчитанная по временнбму ряду, равна '(~к) = ,у; С 2 = !!тд 2 л' ! ел(Л ~г г=! Если построить график этой выборочной оценки, беря в качсствбннргументов точки 2Л/к, то точки графика должны лежать близко к отрезку, соединяющему точки (О, 0) и (1, 1). Так как /(/к) представляет собой сумму случайных величин с одинаковым распределением, то можно применить критерий Колмогорова — Смирнова [4], чтобы узнать, являются ли отклонения выборочной оценки нормированной спектральной функции от прямой линии значимыми (обычно этот критерий применяют для проверки значимости отклонений выборочной функции распределения от теоретической).
Два примера. В табл. 6.2 приведены значения С„([н) для одной из выборок случайных нормальных чисел, использованных для вычислений в табл. 6.1. Здесь /тг =! 00, /! =! и, следовательно, [к =0,01; 0,02; ...; 0,50. На рис. 6.8 показан график 1(/к)/зт в зависимости от /с для этого ряда. Из этого рисунка видно, что отклонения от ярямой невелики.
Чтобы получить точное заключение о величине этих отклонений, можно при больших д/ воспользоваться критерием значимости Колмогорова — Смирнова [4). Он состоит в том, что надо . построить полосу ~)/(й//2 — !)М около теоретической прямой. Для уровней значимости 0,95 и 0,75 ) равно 1,36 и 1,02 соответственно. В нашем случае М/2=50; поэтому 95%-ные границы равны вс1,36/749= ~0,19; 75%-ные границы равны ~0,15, Эти границы Таблица бд Выборочный спектр на гармонических частотак длн выборки белого шума с, (уе) сее(тл) (те) показаны пунктиром на рис.
6.8, и мы видим, что значения 1(/к)/з' попадают целиком между ними. Поэтому т(ет никаких доводов против того, что выборка получена из белого шума. Интерпретация 75%.ных границ, например, заключается в том, что в среднем на каждом четвертом графике максимальное отклонение от теоретической прямой будет выходить за границы, даже если процесс на самом деле является белым шумом. В табл. 6.3 показаны результаты вычислений для этого критерия, выполненных по ионосферным данным из табл.
2.1. Для этих данных за=196,4. Значения С„(/к) из табл. 6.3 можно получить, умножая вклады в среднеквадратичное значение, помещенные в табл. 2.2, на й/= 12. Из рис. 6.9 видно, что выборочная оценка спектральной функции сильно отклоняется от прямой линии, поскольку 1(/г)/з' примерно в два раза больше соответствующего среднего значения для белого шума, а 1(/т)/вт почти в три раза больше. Доверительные границы, о которых мы говорили выше, здесь неприменимы, так как 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 О,!1 О,!2 0,13 О,!4 0,15 0,16 1,13 1,41 0,74 1,08 1,28 0,06 0,85 0,23 0,71 0,79 0,5! 0,46 1,38 0,1! 0,37 0,50 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,3! 0,32 0,33 1,91 0,15 0,85 2,49 3,89 1,13 0,53 1,86 0,47 1,87 1,35 1,29 0,06 0,24 0,56 0,68 0,44 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 1,75 0,25 1,84 3,98 0,22 1,52 1,48 0,44 1,16 1,20 2,73 1,66 1,34 0,17 1,43 1,03 287 0.3.
Спектральньее оценки 75 ч~~ Яб е о,вв 0,0 00 О,бб 0,4 0,2 1О 20 30 40 50 Н Р не 6.8. Проверка того, что шум белый, использующая интеграл от периода. граммы. Таблица б.,у Применение критерия проверки белого шума к ионосферным данным — ~~' с„1У,) с„! ге) 0,083 0,166 0,260 0,333 0,417 0,600 763,6 !322,4 38,4 18,0 78,0 146,0 0,32 0,88 0,90 0,91 0,94 1,00 У слишком мало. Фактически, в атом случае и не требуется никакого критерия значимости, поскольку значения 7(7л)уха так велики при Л е 7а = 0,083 и О,!66. 1,0 О 1 2 3 4 5 б и Р и с. 6З.
Проверка ионосферных данных на случайность. 6.3.3. Общие результаты о выборочных спектрах для белого шума В равд. 6.3.! выведены выражения для среднего значения и ковариаций оценки, соответствующей выборочному спектру, на гармонических частотах Та = й/ЖЛ в пРедположении, что ае — гаУссовский процесс. В приложении П9,! выведены более общие результаты, применимые для любых частот и для негауссовских процессов. Моменты оценок, соответствующих выборочному спектру, для белого шума. Для дискретного времени зти более общие результаты имеют вид Е !Схт(У)] =Х''хх!.7)=одд, — 24 ~(.7 С 24, (6.3.14) 289 6 3 Спектральные оценки Гл. 6. Спектр Соч [Сзх (г т), Сзг (Л) [ = К4а~ 4 Ы2 ! / Вгц кдЧЗ (д т + Ут) в1п к1ЧЬ ( Г1 — Гт) т1е1 + 1Ч а! и ка (/1 — Т" т) / 2а ~ ~/т .ге 2а, (6.3.15) где Ка — четвертый кумулянт распределения 24.
Можно проверить, что (6.3.15) равно нулю, когда /т и /а кратны фундаментальной частоте !/ЖЛ и Лт — гауссовский процесс„ так что К4=0. Таким образом, при этих предположениях оценки выборочного спектра независимы, как показано в разд. 6.3.1. Для белого шума с непрерывным временем общие результаты имеют вид Е [Сгз(/)[= — Гзг(1')=ог, — со ( Т < сс, (6.3.16) Соч [С.г(Т~). Сгг(Тз)[ = Кл 4 Г/ в1паТ (У~ + Тз) '(з [ / Мпт:Т (У~ — т'2) )~] Т + "[1, кт(/, +Та) / '( кт(Л вЂ” Тр) — со(Л Л(со (6317) где Ка — четвертый кумулянт процесса Я((). Заметим, что ковариация спектральных оценок имеет порядок 1/Т для негауссовских процессов, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
