Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 46

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 46)

при Кь;ь О, в то время как для гауссовских процессов К4=0 и ковариация имеет порядок 1/Т'. В частном случае, когда /, и /р — значения, кратные 1/Т, ковариация равна нулю. Далее, дисперсия спектральных оценок без учета членов порядка 1/Т и более высокого равна Чаг [Сзг(/)! =ог.

Это показывает вообще, что Сгг(/) не является состоятельной оцен- кой Ггг(/). Т'-свойства оценок, соответствующих выборочному спектру, для случая белого шума. В равд. 6.3.1 было показано, что если Ят является гауссовским белым шумом, то 2СЗЗ(/)//хо' имеет та-распределение с двумя степенями свободы для гармоник /ь='л//т/б. В приложении П9.! этот результат обобщается следующим образом. Для гауссовского белого шума распределение величины 2СЗЗ(/)/Лпаа точно совпадает с уа-распределением с двумя степенями свободы, в то время как для негауссовских процессов при больших Лг это со- впадение распределений имеет приближенный характер. Для не- прерывного времени результаты формулируются точно так же, за исключением того, что они относятся к Сгг(/)/о' .

6.3.4. Сглаживание спектральных оценок Способ сглаживания Бартлетта. Один прием, который можно использовать для получения спектральных оценок, имеющих дисперсию, меньшую, чем у Сзг (/), был предложен Бартлеттом [5[, Г1редположим, что вместо вычисления С„(/) по реализации белого шума длины /9=400, как это делалось в разд, 6.1.2, эта реализация разбивается на й = 8 рядов длины /1///р = 50 и выборочный спектр СШ (/), (=1, 2, ..., 8, вычисляется для каждого ряда длины 50. тт Среднее значение этих восьми выборочных спектров на частоте / равно Сзз(Г)= 8 ~л~~~ Сз.'. (У) — 2а-~( Гк- 2,1, (6.3.18) ! ..! Таблица 6.4 Моменты несглаженной и сглаженной выборочных спектральных оценок (усреднение проводилось по частоте) Средне- каадратичиаа ошибка Среднее значение диоаероиа 0,828 0,143 0,95 0,94 С„(Т) С„(Г) 0,826 0,139 Щ Заказ № ацб Оно называется выборочной сглаженной спектральной оценкой на частоте /.

На рис. 6.10 построены графики Сш(/) и функции Сед(/), вычисленной по всем 400 членам, для частот /= 0; 0,02; ...; 0,5 гц. Отметим, что С (/) меняется более плавно и проходит ближе к Гзг(/). В табл, 6.4 показаны средние значения, дисперсии и среднеквадратичные ошибки Стз(/) и Сад(/) при усреднении по частоте. Согласно (6.3.10), дисперсия каждой Сгтг (/) равна оа. Так как 24 — белый шум, то отдельные ряды разбиения независимы и, следовательно, дисперсия Сгг(/) равна оа /8. Отношение двух наблюденных дисперсий из табл, 6.4 (О,!39/0,826= !/5,94) незначимо отличается от ожидаемого значения 1/8. Следовательно, с помощью усреднения, б.З.

Слектрольлые о«елки 291 Тл. б. Спектр или сглаживания, величин, относящихся к отдельным частям разбиения исходного ряда, дисперсию спектральной оценки можно уменьшить в нужное число раз. В предельном случае можно было 'бы использовать разбиение исходного ряда на отдельные ряды из двух членов, и при этом дисперсия уменьшилась бы до 2о' /л(. Чтобы понять, почему не имеет смысла так поступать, необходимо Сз «з е «й Р в с.

б.10. Выборочный спектр к сглаженная выборочная оценка спектра ллк кор ывлького белого шуыа. внимательно рассмотреть процедуру сглаживания и вывести мо менты сглаженных оценок. Корреляционные н спектральные окна. Из (6.2.1) математическое ожидание оценки, соответствующей выборочному спектру, равно т Е [Схх(У')1= ] (1 — т )» (и)в ' "'" с(и. (6.3.19) -т Оно представляет собой преобразование Фурье от произведения функции ухх (и) и функции — — 1 1<т, га(и) = (6.3.20) О, [и[.» Т.

Отсюда, используя теорему о свертке (2.4.3), получаем / в!в«ТХ 'Р Е [Схх(У)1 = ] Т( ктя ) Гхх(У вЂ” й) г(й', (6.3.21) — «е поскольку преобразование Фурье функции го(и) равно ч(у) =т("";~~~ )'. (6.3.22) Равенство (6.3.21) показывает, что математическое ожидание оценки Схх(!) соответствует как бы просматриванию теоретиче- ского спектра Гхх (!) через спектральное окно )р'(!). В терминоло- гии гл. 2 Е [Схх(1)] соответствует пропусканню теоретического спектра Гхх(1) через фильтр с «откликом на единичный импульс» )р' ([).

Названия спектральное окно для Ж' ()) н корреляционное окно для ш(и) были введены Блэкманом и Тычки [6], Поскольку )р'([) в (6.3.22) при больших Т ведет себя подобно б-функции, из (6.3.21) и (2.2.5) следует, что Вгп Е [С (У)] =Г (У), г т. е. Схх([) — асимптотически несмещенная оценка Г х ([) С)д- нако для записи конечной длины из (6.3,21) видно, что Схх([) яв- ляется смещенной оценкой Гхх (!) со смешением В (У) = Е [Схх (У)1 — 1'хх (У). Для белого шума Гхх([)=ба~, и равенство (632!) сводится к Е [Схх (У)1 — -- Ьох для всех Т. Следовательно, для белого шума оценка, соответствую- щая выборочному спектру, является несмещенной для всех Т. Спектральное окно )р'(!), грубо говоря, действует при сглажи- вании как узкая щель, порядок ширины которой равен ![Т,так что для больших Т естественно считать Гхх (1) приблизительно кон- стантой внутри этой щели.

Поэтому (6.3.21) сводится к Е [Схх (У)1 Гхх (У) ~ т ( у, ) ай'=' !'хх(У) Таким образом, для достаточно больших Т смещение несглажен- ного выборочного спектра будет малым, 1О' 293 б.З. Спектральные опенки Гл. б. Спектр Е [схх(и)1 =Тхх(и) ~1 — м ) /)( тг = ) Гхх(У К)М'( й ~ с(Й. (6.3.25) (6.3.26) 1 +1~~, ( !<М, тв(и) = О, [и() М. (6.3.27) Спектральное окно Бартлетта. Рассмотрим теперь математиче- ское ожидание случайной оценки Схх(/), используемой в способе сглаживания Бартлетта.

При разбиении исходного ряда на й рядов, каждый нз которых имеет длину М, из (6.!.9) получаем СХОХИ= ~ СХХ(и) Е )гкт" (/и, — м Отсюда сглаженная спектральная оценка равна Схх(/) = —, )' Схох(/)= ) схх(и)е ~~"~" е/и, (6,3.23) )=) -м где (м — а „„ь) 1 л [н 1 х(()х((.,'- )е)), >ь, (Б)24) ( — пм а для и(0 эта функция определяется аналогично (5.3.9). /))(атема тическое ожидание схх(и) в таком случае равно Е [Схх(/)) = ) [1 — ~м~ Р (и) с™е/ Следовательно, разделение записи длины Т иа /г частей длины М = = Т/и каждая и построение сглаженной спектральной оценки (6.3.23) эквивалентно сглаживанию выборочного спектра с помощью окна Во временнбй области это эквивалентно умножению ковариацнон ной функции на корреляционное окно Окна (6.3.26) и (6.3.27) называются спектральным и корреляционным окнами Бартлетта.

График спектрального окна Бартлетта изображен на рис. 6.11. Видно, что он симметричен относительно начала координат и имеет нули в точках /= н-1/М, -)-2/М, .... Таким образом, ширина окна (т. е. расстояние между первыми нулями с каждой стороны) равна 2/М. Следовательно, выбирая длину М отрезка разбиения, можно регулировать ширину спектрального окна. Мы уже показали, что, выбирая М небольшим, можно сделать малой дисперсию спектральной оценки.

Л малые значения М, как мы видим, соответствуют большим значениям ширины спектрального -4/М -3/М -Х/М -1/М 0 1/М 2/М 3/М 4/М Ю Р не. 6.11. Спектральное окно Бартлетта 1«а (/) =М (а)по/(1(/и/М)г, окна. Однако, если ширина окна велика, то происходит сглаживание на болыпом диапазоне частот, т. е. «отклик на единичный импульс» йт" (/) очень широк, что может привести к большому смещению В(/)=Е(Схх(/)1 — Гхх(/), Таким образом, как и для всех статистических оценок, нужно выбирать компромисс между дисперсией и смещением. В следующем разделе такое компромиссное решение изучается для более обшего способа сглаживания выборочных спектров. 6.3.6. Спектральные окна н сглаженные спектральные оценки Одни общий класс сглаженных спектральных оценок.

Описаный выше способ сглаживания Бартлетта показывает, что большую дисперсию оценки, соответствующей выборочному спектру, можно уменьшить, вводя корреляционное окно (6.3.27). Это наводит на Гл. 6. Спектр мысль о том, чтобы рассмотреть более обшие сглаженные ральные оценки вида Схх(У) = ~ тв(и) схх(и) е "'г" т(и= ~ схх(и) е и'" с(и* спект- (6.3.28) у которых дисперсия будет меньше, чем у несглаженной оценки Схх (1).

!,О и атм агм дум цзм пзм йзм о,тм дам дзм Р н с. 632. Некоторые распространенные корреляпнонные окна. (6.3.29) На практике условие (3) заменяют на 4) тв(и)=0, !и/)~М, М(Т, так как при этом нужно будет вычислять ковариации лишь до запаздывания М. Примеры корреляционных окон, широко применяемых в спектральном анализе, приведены в табл.

6.5, а их графики построены на рис. 6.12. Преобразования Фурье этих корреляционных окон, т. е. спектральные окна )к'(1), показаны на рис. 6.13. Используя свойство свертки (2.4.3), равенство (6.3.28) можно записать в виде (6.3.30) Корреляционное окно 1) 2) 3) тс (и) в (6,3.28) удовлетворяет условиям: те(0) =1, та(и) =те( — и), та (и) = О, ! и1 > Т. 296 Гл.

б. Спектр б.д Спектральные оценки В'(У) = ) те (и) е г кт" с(и. (6.3.31)~ (6.3.33) (6.3.34) 42 0,0 О,б 03 0,2 -0,2 -0,4 Обратное преобразование тр (и) = ) %' (У) е~ '~" с( T. (6.3.32) где Схх (1) определена в примечании переводчика на стр. 263 н Р н с. 6.13. Мекоторые распространенные спектральные окна. дает возможность по спектральному окну )р'(1) вычислить корреляционное окно ш(и). В соответствии со свойствами (6.3.29) спект- ральное окно 12т(1) удовлетворяет следующим условиям: 3) Ук'(1) действует при сглаживании как щель ширины — 2/М.

Математическое ожидание сглаженной спектральной оценки. Беря математическое ожидание от обеих частей (6.3.30), получаем Е [Схх (У)1 = ~ %' (~) Е [Схх (.У вЂ” й')) с02 Однако, как показывает (6.3.21), для больших Т Е [Схх (а)1 = Гхх (3). к следовательно, Е [Схк(У)1 ) %'(к)Гхх(У вЂ” К)с23=ГххД). (6335) Оь Функцию Гхх(1) будем называть средним сглаженным спектром. Теперь нам понадобится материал равд. 2.4.1. Поскольку спектральное окно Ж'(1) удовлетворяет условию (6.3.33) — (3), функция Гхх (1') будет выглядеть как несколько искаженная функция Гхх (1), Этот эффект показан на рис. 2.10, где Гхх ()) соответствует функции ~5; (1) ~, Гхх (1) соответствует функции 15е()) !, а корреляционные окна ш (и) соответствуют временнйм окнам ш (1).

Из рис, 2.10 видно, что чем меньше ширина корреляционного окна, тем сильнее отличается Гхх ()) от Гхх ()). Следовательно, для того чтобы смешение Е(У) = Е [Схх1 — Гхх(У) =Гхх(У) — Гхх(У) было малым, нужно выбирать большое М. Это противоречит упоминавшемуся выше требованию выбора малого значения М для того, чтобы дисперсия Чаг[Схх(1")) была небольшой. В равд. 4.2.3 было показано, что нужно выбирать компромиссное решение, учитывая и дисперсию, и смещение оценки. Те же самые рассуждения применимы и к оценкам спектра. Смешение можно сделать малым, лишь сужая )ут(1), т.

Характеристики

Список файлов книги