Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Позднее мы увидим, что информация, содержащаяся в Сзз()) относительно Гхх(!), рассеяна в полосе частот [~1]Т. При увеличении Т полная информация, содержащаяся в С„„(!), распределяется по полосам частот, число которых увеличивается, а ширина стремится к нулю. Точный результат состоит в том, что при увеличении Т можно оценивать среднюю мощность в полосе частот, ширина которой безгранично уменьшается; однако эффективность выборочной оценки мощности в этой сужающейся полосе не улучшается. 6.2.2. Интеграл от спектральной плотности (спектральная функция) Случаи, когда спектральной плотности не сузцествует. Ранее спектральная плотность была определена с помощью предела т 11ш Е [Схх(У)! = Вш ) 7 (и) [1 — 1".! ) е "' " ди, при условии, что этот предел существует. Чтобы Гхх(1) была конечной, достаточно выполнения неравенства ]Гхх(У)]= ! 7 (и)е "' 'ди ( ) ]Т „(и)[с(и(М, (6.2,9) -Ю -са где М вЂ” конечная константа.
Следовательно, достаточное (но не необходимое) условие существования конечной спектральной плотности состоит в том, что ухх(и) убывает достаточно быстро при и — и оо, так что интеграл (6.2.9) сходится. ю Подразумевается, что как опенка, так и статистический параметр зависят от времени й тик что от них можно брать преобразование Фурье.
— Прим. перев. В качестве примера случайного процесса„для которого это у словно не выполнено, рассмотрим процесс Х(!) = А соз 2кУзу+ В и!п2кузу =-асов(2мУоу+ ~), (6,2.10) где А и  — независимые случайные величины с нулевым средним значением и дисперсией а . сией а'. Каждая реализация х(!) является косинусоидальной волной Я соз (2п[з!+Ф), имеющей постоянную амплитуду, частоту и оту и фазу, Но при переходе от одного члена аным обсам ля к другому , б гому амплитуда и фаза изменяются случайным оразом, в то время как частота остается фиксированной. з ( ..
) ". Из 6.2.10 получаем Е [Х(!)] = — Е [А] соз 2иУзУ+ Е [В! з1п 2м~Д=О. Следовательно, 7 „(и) =Е [Х(з)Х(с+и)] = = Е [(А соз 2иУ ! + В з!п 2е У от) (А соз 2ЯУз (з + и) + + В з!п2еУо(У+ и))1 = оз [соз 2еу,! соз 2кУ,(у+ и)+ з!п 2мУзу з1п 2"'Уз(у+ и)] = = о' соз 2яУ;и.
Функция ухх(и) ( ) не стремится к нулю при и - оо, так что для нее кт аль- (6.2.9) асходится. Однако можно определить спе р я 2.2.! 2: ную плотность через б-функции, используя ( .. ): 1хх(У) — —, [ (У вЂ” Уз)+ (У+Уо)]. С о ательно, спектральную плотность у р сл чайного процесса (6.2,10) можно считать равной двум б-функциям, име щ лед в , имею им площадь оз)2 и сосредоточенным на частотах 7"= ~[з.
И спектральной плотности (спектральная функция). нтеграл от с случае, когда спектральная плотность сод р т соежит 6-ф нкции, имеет смысл говорить о дисперсии пр ц и о есса, в котором оставлены только частоты, -функции, н оты, не превосходящие некоторой час,". Эт дисперсию формально можно получить, интегрируя спектральную плотность. Так, интегрируя ( .. ) ! = !', мы получаем спектральную функцию *!. з!и 2яУ'л Ухх(У')= ! 1хх(У)с(У= ] 7 „(и) "' ' с(и, 0(У'(оо. — — я (6.2А1) й ф пи ии нижний предел интегрирова. о~„,, „м „„„„„, ии ния берут равным нулю. — Лрим. лерав. 272 Гл.
В. Спектр В.2. Спектр 273 Эта функция похожа на функцию распределения, так же как нормированный спектр похож на плотность вероятности. Таким образом, мы имеем У(О) =О, У( )=аг и У(Л) «У(Уг) прн /~ = /г Если спектральная плотность содержит 6-функцню на частоте /=/е, т. е, ухх(и) содержит компоненту /г сов 2п/еи, то спектральная функция имеет скачок величины /г на частоте /ю.
Для дискретного времени спектральная функция имеет вид Г О /хх (У') = е! Г хх (У) йУ = Л,~~е Тхх (й) ьа О<У'< —,,', . (6.2З2) 6.2.3. Спектр белого шума В равд. 5.2.1 чисто случайный процесс, или белый шум, 2(1) был определен как пропесс, имеющий ковариационную функцию узх(и) = о' 6(и). Этот процесс имеет бесконечную дисперсию и поэтому не может быть случайным процессом в обычном смысле. Однако мы показали, что его можно рассматривать как предел при т-е-0 процесса Башелье — Винера У(1), имеющего ковариационную функцию !и() !и(«.
Отсюда, согласно определению (6.2.2), процесс Башелье — Винера имеет спектральную плотность аг -и В пределе при т-т-0 функция Гтт(/) стремится к константе для всех Г: 1!п! Гт! (У) = Ггг(У) = а~~, (6.2.13) Процесс 2(1) называется бельем шумом по аналогии с белым светом в оптике, содержащим все оптические частоты с приблизительно одинаковой интенсивностью.
Строго говоря, белый шум нельзя реализовать физически, так же как и единичный импульс, который можно рассматривать как математический аналог единичного импульса в технике. Способы генерации белого шума. Г!ри определении белого шума для дискретного времени не возникает никаких трудностей, так как ковариационная функция дискретного белого шума Х, равна аг, и=О, 7„(и) =-- О, и=-+Ь, +21, +ЗЬ, г Используя (6.2.6), получаем Ггг(У)==-агй йд «У < 2,! г ! - ! (6.2.14) Гхх(У) =4ЦйТ.
так что все частоты в интервале — 1/2Л-"=/(1/2Л несут одну и ту же мощность, или дисперсию. Дискретный белый шум можно очень просто получить из непрерывного небелого шума. Предположим, например, что имеется источник непрерывного небелого шума, ковариационная функция которого равна нулю при и ) и„. Ясно, что если мы возьмем отсчеты процесса Х(1), отстоящие друг от друга на Л) ие, то получим процесс Х~ с ковариационной функцией (6.2.14) .
Частотная интерпретация этого метода генерации дискретного белого шума из непрерывного небелого шума состоит в следующем. Частота выбирания 1/Л настолько мала, что происходит очень много наложений частот спектра Гхх(/) (см. равд. 2.4.2). Поэтому спектр ггискретного сигнала (отсчитываемого в дискретные моменты времени), равный сумме налагающихся участков Гхх(/), будет становиться все более пологим, т. е. Ггк(/) стремится к константе в интервале — 1/2Л«/(1/2Л. Этот процесс проиллюстрирован на рис.
2.1! для одного частного случая. Заметим, что, обсуждая вопросы, связанные с белым шумом, мы ничего не предполагали относительно плотности вероятности Е(!). Белый шум 2(/) может иметь любую плотность веролгностш Строго говоря, белый шум нереализуем физически, но можно по'.. лучить очень хорошее приближение к нему. Например, флуктуируют4х4! щий ток в электронной лампе дает очень хорошее приближение, так как его спектр мощности по существу равен константе в интер- Р вале от 0 до 100 Мги. Этот шум, называемый обычно дробовым, создается в результате случайной эмиссии электронов с катода лампы.
Другим физическим примером шума, являющегося приблизительно белым в широком диапазоне частот, служит тепловой шум. 4 Этот шум представляет собой напряжение (или ток) в проводнике, ': обладающем сопротивлением Й, вызванное тепловым движением электронов. Его спектр мощности почти постоянен в широком диапазоне частот и равен 275 Гл. б. Спектр блц Спектр 274 где Т вЂ” абсолютная температура и Ь вЂ” постоянная Больцмана. Более детальное обсуждение дробового и теплового шумов можно найти в (2].
6.2.4. Спектр линейного процесса Мы сейчас получим выражение для спектральной плотности выхода устойчивой линейной системы, на вход которой подается стационарный процесс. В том случае, когда на вход подается белый ш м, выходной спектр является спектром стационарного линейного У процесса. Рассмотрим выходной процесс Х(1) устойчивой линейной системы с откликом на единичный импульс Ь(и), когда входным процессом служит Х(1). Из (5.2.8) ковариационная функция процесса Х(1) равна О 1 ( ) ОО О Ь( )Ь( )7 ( + )Ы Ы б о и, следовательно, из (6.2.2) спектральная плотность выхода равна 1'хх (У) = ] 1 (и) в ОО О ОО = ] в "'"~ ~ Ь(п)ЬФ)7„(а+и — и')дпдз'да= о о =~ Ь(о)вп'т" сЫ~ Ь(э')е ~'" йЪ ~ 7 (у)в ~"ктду, о о где у = и+ о — о'.
Отсюда Гхх(7) = Н( — 7) Н(7) Ггг(У) =] Н (У)] 1"гг(У) — со»(л»( со' (6.2.15) Это фундаментальное свойство утверждает, что спектральная плотность выхода линейной системы получается из спектральной плотности входа с помощью умножения на квадрат модуля частотной характеристики системы. Если Х(() — белый шум со спектральной плотностью Ггг(7)-аа и ковариационной функцией угг(и) =и' 6(и), то Х(1) является линейным процессом со спектральной плотностью 1' (т)=а2 ]н(7)]2, — со 7(со, (6,2,16) хх Для дискретного времени соотношение, соответствующее (6.2.15), имеет вид 1хх(л')=(Н(У)] Ггг(У)* тл (»У( 2а (6.2.17) ! Ф где Н(у') =,(~~~ Ь„в ~'у" . 4 Если вход является чисто случайным процессом с дисперсией о', г' то выход представляет собой линейный процесс со спектральной плотностью Гхх(л)=йаг~Н(т)] ' 24»»7 ( 2ь ' (6.2.18) Из (6.2.15) или (6.2.!8) видно, что если есть источник белого шума и подходящий переменный аналоговый (или цифровой) фильтр, то можно получить случайный процесс с любым заданным спектром.
В следующем разделе мы приведем некоторые примеры разнообразных спектров, которые можно получить с помощью линейной фильтрации белого шума. 6 2 5. Спектры процессов авторегрессии и скользящего среднего Непрерывный процесс авторегрессии первого порядка. Рассмотрим непрерывный процесс авторегрессии первого порядка Т ~ А ( г ) + ( Х ( ) т ) Я ( г ) где Х(1) — белый шум. Эта линейная система имеет отклик на еди- ничный импульс — е ~, 0(и( оо, Ь(и) = О, и(0, и частотную характеристику 1 $ Н (У') =,,2.„ Отсюда, используя (6.2.16), получаем спектральную плотность процесса Х(1): 2 Ог Гхх(У)= 1+ (2.ут)2 * со»» У ( со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
