Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 40
Текст из файла (страница 40)
На рис. 5.21 показаны в' (т, 1) в зависимости от гп+1 для данных о партиях продукта, изображенных на рис. 5.2. Видно, что при 1+гп ( 8 наилучшее согласие получается для модели чистой авто- регрессии порядка 3. Основываясь на значениях остаточных дисперсий, можно заключить, что наилучшее согласие с этими данными достигается для модели авторегрессии третьего порядка, Однако, как показано в равд. 5.4.3, в действительности адекватной является модель авторегрессии второго порядка. 1. В о х О.
Е. Р., 3 с п й 1 п в О. М., Л Воу. 5)а1. 5ос., 824, 297 (1962), 2, В о х О. Е. Р., 3 е п)г! ив О. М., Вин. о( 1.5.1,. 24ЬЬ веввтп, 01(агна, 943 (1963). 3. Воя О. Е, Р., Зе п й ! ив О. М., Т|те 5епев Апа)ужв Рогесавнпя аид Соп1го1, НоЫеи-Оау, 5ап Ргапсмсо, !970. 4. Угг ! е п ег )4., Тйе Ех1гаро1а1ви, 1и!егро)анап апд 5птоора!пк о1 51апопагу Тгте 5емев чгПЬ Епк!пеег)пд Арр)маПопв, Зови )Унеу, Меча Уогй, 1949. 5. Запев Н. М., Ы)с во)в М. В., Р Ь ! !1)р в В. 5., ТЬеогу о1 5егчотесйатвтв, МсОгакг-Н!11, Меы Уог)г, 1947.
(Русский перевод: Д же йм с, Никол л ь с, Ф и л л и и с, Теория следящих систем, М., ИЛ, 1953.) 6. Ооо Ь 3. Ь., 5(осьав()с Ргосеввев, Зоьп чгг!!еу, Хечг Уог)г, 1953. (Русский перевод: Д у 6 Днг., Вероятностные процессы, М., ИЛ, 1956.) 7. угг о 16 Н., Тгасга 1ог Согпрп(егв, ед. К. Реагвоп, Ззэ 25, СатЬгЫде, 1948, 8. В а г 1)е 11 М. 5., 3. Воу. 5(аг. 5ос., В8, 27 (1946). 9.
Г и 11е г А. Т., 3. Е1есвх Соп1г., 4, 5а! (!958). 10. Р а г х е п Е., Тесьиоте1г!св, 3, 167 (! 961) . 11. 5 с Ь а е г 1 М. О., 5(аи1огд Оп!ч, Тесь кер,, 12 (1964). !2. А п д е ге о и к. 1., Апп. Май. 5!а1., 13, 1 (!942). 13. Вагпагд О. А., Зеп1г!пв О. М., ЦГ)пв!еп С. В., 3. коу. 51а!, 5ос., А125, 321 (1962). ПРИЛОЖЕНИЕ П51 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Линейную систему й(и), дающую минимальную среднеквадратичную ошибку (5.1.12), можно найти очень просто с помощью вариационного исчисления. Мы будем предполагать, что ковариационные функции ухх(и) и ухе(и) известны для всех значений запаздывания и.
Прежде всего отметим, что (5.!.12) можно переписать в виде в [й(и)[ =Т (О) — 26) й(и)Т (и) г(и+ +3,) й(и)й(~)Тхх(и 'о)ггис(о' (П51 1) о Ь так как единственной неизвестной функцией является й(и). Общий метод, используемый в вариационном исчислении, состоит в следующем. Предполагают, что ответ известен, и затем находят условия, вытекающие из того, что этот ответ правильный.
Таким образом, мы предположим, что конкретная функция й(и) является именно той функцией, которая минимизирует е [й(и)], т, е. е [й(и)](в[й(и)] для всех й(и) ~ й(и). (П5,1.2) Далее, для любой функции й(и) =й(и) +Ьг(и), где д(и) — произвольная функция от и, удовлетворяющая граничным условиям на й(и), мы будем иметь е [й(и) +д(и)])е [й(и)], если д(и) не равна тождественно нулю. Вообще если й (и) = й (и) + Ьд (и), (П5.1.3) то е [й(и)] достигает минимума, когда й(и) =й(и), т. е. при 0 =О.
Выражая это условие минимума через производные, получаем =О (Ь=О), дй, )О (Ь=О), (П5.1.4) дЬ 251 250 Приложение Пй-1 гно.нентс) линейнога нранесса ПРИЛОЖЕНИЕ П52 о о Х Т (и — о) й)и ссо. (Г15.1.6) 0= — 2] 8(и) т,(и) — ]»(о) Т (и — о) ссо ии, (П5.1.7) у о ! о поскольку чхх(и) — четная функция, как показано в равд. 5.2.1. Так как равенство (П5.1.7) должно выполняться для любой функции д(и), то»(и) должна удовлетворять условию ) „( )=! 8( ))„( — )Л . О.
(Пг.).8) О о -1 Подставляя в нашем частном случае в (П5.1.1) вместо»(и) выра- жение (П5.1.3), получаем Ог о[»(сс)] =Тг, (0) — 2] !»(и)+Ьй(и)17 (и)с!и+ о + ),] 1» (и) + Ьа (и)) 1» (о) + Ьа (о)] Т (и — о) о)и сго о о (П5.1,5) ]»(и)] = — 2] д(и)т „(и)ии+ о + ],] ~» (и) к (о) + а (и)» (о) + 2»8 (и) д (о)1 2с', Приравнивая Ь = О в (П5.1.6) и используя первое из условий (П5,1.4), получаем Можно проверить, что вторая производная по Ь в точке Ь = 0 положительна, так что зто решение действительно соответствует минимуму. Таким образом, »(и) должна удовлетворять интегральному уравнению (П5.1.8), которое называется интегральным уравнением Винера — Хопфа.
Ограничение, требующее, чтобы соотношение (П5.1.8) было верным лишь при и>0, появляется из-за условия физической реализуемости фильтра, а именно»(и) =0 при и ( О. МОМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОЦЕССА Рассмотрим общий линейный процесс (5.2.6), а именно Х(1) — Р= [»(о) л. (г — о) с(о, о где У(!) — белый шум, обладающий следующими свойствами; Е]Е(!)] =О, (П5.2.2) Соч [Л(!), Х(с+и)] =а'о(и), (П5.2.3) Е [Х(!) Х(!+ и() л, (!+ и,)] = 1885 (и() 5 (и,), (П5.2.4) Е [Е(с)Е(с+и,)Л(о)2(о+но)] =-ах [5(и,)5(и,)+ +5(т) — !) 5(о — !+и, — и,)+ Ф +5(~ — т+ ~~) 5( — т — ~~)]+ т '84(~) (и)) (~ ~) ( + ио)' (П5.2.5) Как и прежде, 5(и) обозначает дельта-функцию Дирака. Сейчас мы выведем младшие моменты случайного процесса Х(!), считая, что процесс Х(!) обладает указанными свойствами.
Из (П5.2.1) и (П5.2.2) получаем е(х()) — 8)=с[! 8( )га — )л ]= ьо = ]»(о) Е [Х(! — о)] с(о=О. (П5.2.6) о Аналогично из (П5.2.1) и (П5.2.3) имеем Соч [Х(!), Х(!+и)] =Соч ~~ »(о)х. (! — о)с!о, !о ! 8( ') ги-)- — ') г '] о = ) ]» (о)» (о') Соч [Х (с — о), о о Л (1+ и — о')] йо с!о' = ~ ~ »(о)»(о')а'о(и — о'+о)с(ос(о' == о о =аз]»(о)»(о+и)с(о=1 (и). (П52.7) о 253 Приложение Пб.г Логическая схема программы вычисления коварааиай При и = О это сводится к Чаг [Х (с)) = а' ~ Ьз (ю) с[п. о Поэтому если интеграл [" Аз(п)дс конечен, то Х(1) является стациоо парным процессом второго порядка, так как ковариационная функции члх(С 1-'г-и) зависит только от запаздывании и.
Аналогично получаем Е [(Х(1) — р)(Х(1+ и,) — р)(Х(1+ из) — р)) = = рз ) й (и) Ь (Ф+ и1) А (Ф+ и,) 41з (П5.2.8) о и Соч ((Х(1) — р.) (Х(1+ и,) — р), (Х(з) — Р)(Х(п+ и,) — р)! = =Т,„(.-1)Т,.( — ~+и,-и,)+ + Т,„(э — У+ и,) Т,„( — 1 — и,) + +К4(Х)) й(п')74(п'+и1)й(с +и — 1) Х о Хгс(~ +~ ~+из)С[~ ' (П5.2.9) де Чхх(и) дается формулой (П5.2.7), Формула (П5.2.9) использо- вана в равд. 5.3.3 при выводе выражения для ковариации оценок коварнационной функции. Отметим, что из (П5.2.9) следует, что четвертый кумулянт про- цесса Х(1) равен четвертому кумулянту процесса Х(1), умножен- ному на интеграл от произведения четырех весовых функций, т.
е. К4 (Х) К4 (л ) 3 гс(ч) сг (а т иг) сс (а+ из) гс (а+ 11з) Гса, о Для нормального белого шума К4(Х) тождественно равен нулю, и, следовательно, К4(Х) также является тождественным нулем. Для негауссовского белого шума интеграл ~ 14 Ф л ( + и,) л ( + из) 71 (тг + 1Ъ) г[п, о вообще говоря, мал по сравнению с интегралами вида )'Ь(о)Ь(п+ о ч-иг) ип, и поэтому кумулянтным членом в (П5.2.9) можно прене- бречь по сравнению с членами, содержащими Чхх. Это приближе- ние используется при выводе моментов оценок выборочной кова- риационной функции в разд.
5.3.3. ПРИЛОЖЕНИЕ П5 3 ЛОГИЧЕСКАЯ СХЕМА ПРОГРАММЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОВАРИАЦИ И Программа М[)ЕТ!СОИ Н5, [к[, МАХМ. ЮЕКГ(3), Х(1, 3), ! =-1, М, д=-1, [4[5. средние значения ХМ(3)= — ~~~ Х(1, Д), 3=\, !к[8. 1=1 1. Считьсвагь 2. Счигьгаать 3. Вычислить 4. Запомнить отклонения Х(1, 3) — ХМ(3)-Х([, 3). 5. Вычислить ковариации СОЧ(К, 3, 1.)=- —, „р, Х([, 3) ис Х([+ К, 1-), 1=1 К=О, МАХМ+1; 3= — 1, [чЗ1 1 =1, Н8, 6. Вычислить разностные ковариации 0СОЧ(К, 3, 1„) = — СОЧ(К вЂ” 1, 3, 1)+ 2 зу СОЧ(К, 3, Е)— — СОЧ(К+1, 3, 1-). К=О, МАХМ; 3=1, [4[5; [ .=1, Ю, *1 Авторы используют в приложении П53 некоторые стандартные обозначения и символы, употребляемые в международном алгоритмическом языке ФОРТРАН.
Подробнее о ФОРТРАНе см. [1!'1. — Прил. перев. Нинсе приводится логическая схема вычислительной программы, предназначенной для обработки Н5 рядов, каждый из которых состоит из Н точек в1, Программа вычисляет ['45 автоковариаций и [к[5 (и[5 — 1) взаимных ковариаций, причем максимальное запаздывание, до которого производятся вычисления, равно МАХМ. Программа также считает приближенные авто- я взаимные ковариации для первых разностей от входных данных. Выход состоит из печати всех ковариаций и разностных коварнаций, графиков всех корреляций, над которыми построены графики разностных корреляций, и записанных на магнитную ленту или на перфокарты значений всех ковариаций и разностных ковариаций для последующего использования в спектральных программах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
