Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

Поэтому из (5.3.17) и (5.3.18) получаем Соч [схх(и~), схх(из)1 = т —, — ф(г) [Т (г)Т (г+и,— и,)+ 1 — гт — н1 +Т (г+и,) Т (г — и,)] с(г. (5.3.19) Результат (5,3.19) является точным. Первоначально он был получен в [8[. При иг= из (5.3.19) приводится к симметричной форме Т-и 1 Чат [схх(и)1= —., ~ (Т вЂ” и — [г[) рс, — 1Т вЂ” и) Х [Тхх(г)+Тхх(г+и)Т (г — и)] с(г. (5.3.20) Х(п) Х(о+ ив)[ етт'е(о.

(5.3.15) (Условие ив ) иг ) 0 не является никоим образом ограничительным, как показано в приложении П9.1.) Подставляя (5.3.12) в интеграл (5.3.15), получим Для несмещенной оценки с' (и) результат, соответствующий (5.3.20), выглядит следующим образом: Т вЂ” и Т?ат [схх(и)] = (г !и!1, ~ (Т вЂ” и — [г[)Х (Г !и!)з )( [Тхх(г) + Тхх(г+ и) Тхх(г — и)] т(г, (5.3.21) Равенство (5.3.19) показывает, что в общем случае соседние значения оценок ковариационных функций будут сильно коррелиро- Р и с 5.11. Области интегрирования цля вычисления ковариациониой Функции. наны, и, следовательно, выборочные ковариационные функции нс всегда затухают с такой же быстротой, как нх математические ожидания. Этот эффект проиллюстрирован в равд. 5.3.5, Одно полезное приближение.

Вычисление ковариации по формуле (5.3.19) обычно очень трудно проводить, если только не сделать простых предположений о форме ковариационных функций. Одно полезное приближение для больших Т предложено в [8]. Оно связано с тем, что 1!Тп [?'Соч [схх(и,), схх(и,)[) = т сО ОО [Т (г)Т (г+и,— и,)+Т (г+и,)Т х(г — и,)] с(г '218 и выражение (5.3.13), из которого можно получить смещение В]схх(и)], находим среднеквадратичные ошибки смещенной и несмещенной оценок: [(схх(и) тхх(и))'1 =!тат [схх(и)] +'х (+) с Е []с„' (и) — т (и)]'] =Чаг [скх(и)]. "чвг ]схх(и)] = [ д 030 й '. 0,06 « Р и с.

БЛ2. Дисперсии и среднеквадратичные ошибки оценок ковариациоиной функции дня непрерывного процесса первого порядка. Эти среднеквадратичные ошибки показаны на рнс. 5.12 вместе с дисперсиями для непрерывного процесса авторегрессии первого порядка с 1,Т=2,5. Мы видим, что среднеквадратичная ошибка для с' (и) устойчиво держится выше, чем для схх(и) (этот результат отмечен в ]10]).

Мы доказали здесь это утверждение для упомянутой выше ковариационной функции, однако есть предположение, что оно справедливо и для большинства других ковариационных функций ]11]. Гл. Д Введение в анализ временных рядов и, следовательно, для больших Т Сот ]схх (и,), с„х (и,)]— — ) [тхх()тхх( +и,— ~,)+тхх(~+~в)Тхх(г — и,)14(г. (5.3.22) Пример. Рассмотрим непрерывный процесс авторегрессии первого поРЯдка, У котоРого Ухх(и) =о' е ми1 (эта фУнкциЯ обсУждалась в равд.

5.2.4). Подставляя эту ухх(и) в (5.3.20), получаем х (! — «О — 21 ] (! ) 1] ] -«П-з) + е кк [а(1 — 2у) — 1+ ау(1 — 2 у)]) 1 0(~У~ (— 2— «4 х ( [с- П вЂ” ю + а (1 — у) — 1] + с "г (1 — у )], 1 2 (5.3.23) где а = оТ, и = и]Т (этот результат приведен в [9]). Точный результат для несмещенной оценки с',(и) можно получить, подставляя (Т вЂ” ] и]) вместо Тза знаком скобок в (5323). Приближение (5.3.22) для оценки схх(и) сводится к отбрасыванию членов порядка 1/Тв, в результате чего получаем «х Чаг ]сх» (и)] = — ".

(1+ с "з + ауе «У), (5.3,24) Дисперсии двух оценок с (и) и с' (и) в зависимости от запаздывания и изображены на рис. 5.12 для случая ХТ=2,5. Видно, что эти дисперсии совпадают при и =О, но при и — Т дисперсия смещенной оценки стремится к нулю, в то время как дисперсия несмещенной оценки стремится к бесконечности. Именно это свойство несмещенной оценки с',(и) н делает ее такой неудобной. Среднеквадратичная ошибка оценок ковариаций.

Для того, чтобы сравнение двух оценок было справедливым, нужно сравнивать их среднеквадратичные ошибки. Используя' выражение (4.2.12) для среднеквадратичной ошибки, а именно Е [(с (и) — Т (и))'[ = Наг [с (и)] + В'[с (и)[, 0,32 «л 024 чй дд Оцвнивание ковариационнык функций 21й' дз.

бц!енивание новориоционнык функций 221 Гя. 5. Введение в анализ врененнкех рядов Эргодичность. Из (5.3.13), (5.3.14) и (5.3.22) следует, что для больших Т математические ожидания схх(и) и с (и) равны ухх(и), а дисперсии пропорциональны 1[Т. Следовательно, эти две оценки ковариационных функций являются асимптотически состоятельными. Таким образом, ковариационную функцию Е[Х(1)Х(1+ +и)[ процесса Х(1) можно оценить с произвольно малой ошибкой с помощью единственной достаточно длинной записи.

В таком случае для ковариационной функции среднее по времени, взятое по одной бесконечной записи, равно среднему по ансамблю, и поэтому ковариационная функция называется эргодической. Во многих книгах этому свойству уделяется большое внимание, но в действительности оно не представляет большого физического интереса, поскольку наблюдаемые временные ряды имеют конечную, а не бесконечную длину. Поправки, возникающие из-за среднего значения.

Смещение оценки ковариации (5.3.8) можно получить, записывая (5.3.8) в виде Т-!и! схх(а) = — ~ [Х(е) — р[ [Х(!+и) — 1![ Ю— (1 !7|)(Х ) Отсюда следует, что Е [схх(а) [= [1 — т ) Тх (и) — (1 — — !т ) Чат [Х), Наконец, из (5.2.19) получаем т Ч [Х[= т ) [1 — т )Т „(у)Ф, — т так что центрирование с помощью выборочного среднего увеличивает смещение еще больше на члены порядка ЧТ и более высокого. 5.3.4. Выборочные оценки ковариаций для случая дискретного времени Если наблюдения х!, хь ..., хн получены из дискретного временного ряда, то дискретная выборочная оценка, соответствующая непрерывной оценке (5.3.5), равна 1 у — и с (й) 1у,летн (х, — х)(х,+и — х), й=О, 1, ..., тч — 1, (5,3.25) где х= —,«~~ х, е=! является выборочным средним значением всего ряда.

Приближенное значение ковариации оценок, соответствующих выборочным оценкам (5.3.25), можно получить, заменяя интегралы в (5.3.22) суммами, а именно Сот [схх(й), схх(!)[ ~ ~в~~ [тхх(г)тхх(г+! — й)+ 1 !=в +Тхх( +() "хх( )1 ' (5.3.26) Выборочные оценки ковариаций для данных, пропущенных через фильтр. Иногда бывает нужно сосчитать выборочные оценки ковариаций для данных, пропущенных через фильтр. Например, может оказаться желательным устранить тренды из хе, образуя новый ряд данных у, с помощью операции линейной фильтрации у,=х,— ах, (5.3.21) Если а=1, то у! представляет собой ряд первых разностей, а если а = — 1, то у, — скользящая сумма пар первоначального ряда.

Сейчас мы покажем, что выборочные оценки ковариаций сии(А) для данных, пропущенных через фильтр, можно выразить через выборочные оценки ковариаций с„„(й) исходных данных. Этим достигается значительная экономия машинного времени. Согласно (5.3.25), имеем для выборочной оценки с„в(й) после фильтрации следующее выражение: с (й) = — ~~ (у, — у) (у,+и — у), (5.3.28) ! =- ! где 1 т~ У= ~,7, (х, — ах,,) — (1 — а) х.

е=! Подставляя (5.3.21) в (5.3.28), получаем с „(й) = — ~~ [[х, — ах,, — (1 — а)х[;и, е=! рц [х,ц. — ах, „, — (1 — а)х[[= = —,~~ [(х, — х) — а(х,, — х)[)~ !=! Х [(х,эн — х) — а(хе+„, — х)[. Гл. б. Введение в анализ временных рядов да. Оцениванив коварииционных функций Оценивание корреляционной функции. Иногда требуется сравнить два временных ряда, масштабы измерения которых могут быть различными, так что больше подходят выборочные оценки корреляционных, а не ковариационных функций. Выборочные оценки корреляционных функций можно получить, разделив рассмотренные выше выборочные оценки ковариаций на выборочную оценку дисперсии, Таким образом, получаем ехх (а) г хх (й) е (О) (5.3.33) где с,(й) определяются равенствами (5.3.25).

Еще одна выборочная оценка корреляций. Другой выборочной оценкой корреляционной функции, часто используемой статистиками, является ~(Х вЂ” Х )(Х, — Хз) """") [Х(., —.-,)'Х(-„., —.—,)з[ ° ' (5334) где х1 н хг — средние значения первых Ж вЂ” й и последних М вЂ” А наблюдений соответственно, а суммирование происходит от г=! до (=У вЂ” Ь. Равенство (5.3.34) основано на диаграмме разброса пар (хь х„в) для (=1, 2, ..., М вЂ” lг, Рис. 5.5, например, соответствует случаю А =1. Если предположить, что совместная плотность вероятности случайных величин Хг и Х„в есть двумерная нормальная плотность с коэффициентом корреляции рхх(А), то (5.3.34) Раскрывая это выражение, находим сгг (Ь) = с„(Ь) — ас,„(Ь вЂ” 1) — ас„„(й + 1) + агс„„(й) = = — ас„„(А — 1) + (1 + аз) с„(й) — ас„„(А + 1).

(5.3,29) Таким образом, су„(й) можно получить с помощью простой операции линейной фильтрации, примененной к сн„(Ь). В качестве примера для фильтра первых разностей уг=хг — хг г имеем сгг (Уг) — — с, (й — 1) + 2схх (/г) — с,„(й + 1). (5.3.30) Так что выборочные ковариации свв(й) первых разностей, взятых от исходных данных, равны центральным вторым разностям от выборочных ковариацнй с„„(й).

Для операции фильтрации у,=х,— ах,, — Ьх, (5.3.31) которая может быть применена для устранения осциллирующнх компонент временнбго ряда, выборочные ковариации с„„(й) равны сгг(й)ж(1+ а + Ьз) с „(Ь) — а(1 — Ь) [с„„(А — 1)+ с„(й+1)[— — Ь [с„,(А — 2) + с (/г + 2)[. (5.3.32) является выборочной оценкой максимального правдоподобия для (зхх(гг) аь Пользоваться оценкой (5.3.4) не рекомендуется на том основании, что хотя для отдельного значения корреляционной функции Рхх(й), рассматриваемого изолированно от других значений, она и является разумной выборочной оценкой, но ее нежелательно применять в случае, когда нужна совокупность выборочных оценок г „(1), г„„(2), ..., г„„(т) для первых т корреляций рхх(1), рхх(2), ,рхх(т) Основной недостаток (5.3.34) состоит в том, что для коррекции среднего значения она использует две величины, которые зависят от запаздывания: в результате с изменением запаздывания й меняется нормнрующий множитель.

Характеристики

Список файлов книги