Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 39
Текст из файла (страница 39)
На рис. 5.18 показана частная корреляционная функция для данных о партиях продукта, изображенных на рис. 5.2. Доверительные интервалы с уровнем доверия 95о)о на рис. 5.18 центрированы около нуля, чтобы выделить те коэффициенты, которые можно считать отличными от нуля. Видно, что ле лежит вне этой полосы, па лежит вблизи границы, а значения и при т ) 2 лежат глубоко внутри полосы.
Это указывает на то, что для описания этих данных подходящим является процесс первого порядка, а не третьего, как 54. Оиееиваяие параметров линейного аронееса это следовало из рис. 5.17. Однако, учитывая, что тат лежит вблизи границы доверительного интервала и что з' (2) значительно меньше, чем за (1), как видно из рис. 5.!7, можно заключить, что для прае вильного соответствия этим данным требуется модель второго по- рядка )г и с. 5,15, частные корреляции для данных о партиях продукта, изображенных иа рис. 5.2.
5.4.4. Оценивание параметров процесса скользящего среднего Первый вопрос, который надо решить при подборе процесса скользящего среднего х,=р+л,+~,л,,+ ... +~,л,, заключается в выборе подходящего порядка модели 1. Метод анализа здесь более сложный, чем для процесса авторегрессии, и ради простоты приходится определять наилучшее значение ! по выборочной оценке остаточной дисперсии з,'(!). Это происходит из-за того, что трудно в явном виде выписать функцию правдоподобия процесса (5.4.22), хотя для частного случая это было сделано в (13!.
Впрочем, можно использовать простые численные способы для Гл. Б, Введение в анализ временных рядов рекуррентного вычисления логарифмической функции правдоподо- бия (1). Для иллюстрации этого подхода рассмотрим процесс скользя- щего среднего первого порядка Х,=- р+Лг+ ~~2г г (5.4.23) При заданных значениях 1г и ()г равенство (5.4.23) можно использо- вать для получения последовательности гг из наблюденных значе- ний хг. Так как Е1'дг)=О, то разумным начальным значением яв- ляется за = О. Отсюда получаем з =х —,, г =х.
— р.— и 1!2еГ!! и т. д. Следовательно, нетрудно получить сумму квадратов Е(р, йг) =,')„", г=! соответствующую заданным (р, ))г). Затем можно построить по- верхность суммы квадратов для сетки значений р и 5г и наметить контуры постоянного уровня. Если обозначить наименьшее для данного 1 значение через 5((г, рг, ..., 5~), то для выбора наилуч- шего значения 1 можно воспользоваться величинами 2 о(и рь ° °, рг) М вЂ” (1+ 1) На рис. 5.!9 показана остаточная дисперсия (5.4.24) для данных о партиях продукта, изображенных па рис. 5.2. Видно, что в'(1) выравнивается при 1=2 и затем проявляет заметное уменьшение при 1=8.
Поэтому нсобходим процесс скользящего среднего вось- мого порядка, чтобы получить приблизительно такое же согласие с данными, что и у процесса авторегрессни второго порядка. Ясно, что более простой процесс авторегрессии является и более реали- стичной моделью. Поскольку трудно выписать в явном виде сумму квадратов, приходится рассмотреть и другой способ получения доверительных областей. Если контуры линий уровня суммы квадратов построены, то доверительную область можно получить, выбирая согласно (П4.1.17) тот контур, для которого Е(1рв ~о ..., ~г) =5~(а, ~,, ..., А) Х Х ~1+ ) Л+г,л-г — г(1 — ")~.
(5.4.25) Для иллюстрации равенства (5.4.25) с помощью случайных гаус- совских чисел было получено 50 членов процесса Х, =-5+ л.г+ 0,5л.г 140 100 т гг ° ~в 100 0 2 0 10 4 Б 1 Р и с. 5,19, Остаточные дисперсии для моделей скользящего среднего, подобран. ных к данным о партиях продукта, изображенным на рис.
бхк 0,0 0,4 ОЗ -0 Р . 0.20. Линии уровня суммы квадратов для пропесса скользящего среднего Рис. первого порядка. 247 246 «40 )30 Ф 4« ф н 4 "«20 (00 0 Гл. б. Введение в анализ временных рядов На рис. 5.20 на плоскости («г, р!) показаны линии уровня суммы квадратов, вычисленной по этим данным. Выборочные оценки наименьших квадратов для р и р! равны 0=4,90 и 54=0,35, а о(«4 5!) =38,9!.
Отсюда с помощью (5.4.25) получаем 95э(э-ный контур; 38,91 [1+ 46 (3,20)~ =44,1. Отметим, что начальные значения г! !, ..., гэ также можно варьировать, а поверхность суммы квадратов можно строить в зависимости и от г! ь ..., гэ, рассматриваемых как параметры. Однако получаемые результаты обычно не оправдывают возникающих при этом усложнений *!. Поскольку для процессов скользящего среднего конечного порядка (5.4.22) условие стационарности не накладывает никаких ограничений на коэф. фициенты р!....
р!, имеется некоторая неоднозначность при оценивании этих коэффициентов. Спектральная плотность процесса (5.4 22) равна хх(2)=аг'!)1+6!а лмг+ ... +6!а "'~'(', — (у~ (это частный случай формулы (6224) при Л= «, а!=аз= ... ам=о). Обозначим корни многочлена М (р) = ! + 6!р + ... + 64р! через Ь|, ..., Ь!. Если заменить любой набор из этих корней Ьь,, ..., Ья на комплексно.сопряженные обратные значения «/Ьэ, ..., !/Ь , то коэффициенты э!' ''" яг' Р!, ..., Р! многочлена М(р) изменятся. Однако если одновременно заменить пз г на пг«Ьм 1 °...
° )Ьэ, 1, то, как легко проверить, спектральная плотность Гхх(1) не изменится. Таким образом, существует несколько различных наборов (оз, Рь, Р!), дающих одну и ту же функцию !'хл(В. В гл. 6 станет известно, что ковариационная функция стационарного процесса является преобразованием Фурье .от спектральной плотности и, таким образом, однозначно ею определяется В свою очередь ковариационная функция гауссовского процесса (с нулевым средним значением) однозначно определяет все многомерные распределения ппоцесса.
Таким образом, существуют различные наборы параметров (пз, Рь ...,«)!), дающие одни и те же конечномеркые распределения процесса. Следовательно, безуспешно пытаться однозначно оценить эти параметры по реализации. Если, например, потребовать, чтобы все корни многочлена М (р) лежали внутри единичного круга, то набор (па, («!, ..., 0!) и спектр будут связаны взаимно однозначно. Точно так же ради однозначности можно было бы потребовать, чтобы все корни миогочлепа М(р) лежали вне единичного круга (при этом дисперсия пэз была бы наименьшей). Отметки, что для устойчивости процедуры определения реализации з, по реализации к! способом, предложенным в раэд.
5.4.4, требуется, чтобы все корни многочлена М(р) лежали либо внутри единичного круга, либо вне его. Во втором случае нужно задать значения ам, ..., зк ! ! и из рекуррентного соотношения (5.4.22) при (=й), й! — 1, ..., ! последовательно определять значения лм ь ам-!-!, ..., з! !. — Прим. перев.
5.4. Оцениэанае параметров линейного процесса 5.4.5. Оценнвание параметров смешанного процесса авторегрессии — скользящего среднего Так как при дискретизации непрерывного процесса авторегрессии порядка т, согласно (5.2.49), получается смешанный дискретный процесс авторегрессии — скользящего среднего, было бы естественно ожидать, что смешанные модели окажутся полезными при подгонке ко многим временным рядам.
Для иллюстрации того, как при этом можно построить поверхность логарифмической функции правдоподобия, рассмотрим смешанный процесс Х! — !ь = а! (Х! ! — «А) + аэ (Х! 2 «!) + Е! + р!Л! Р и с. 5.2!. Остаточные дисперсии для смешанных моделей, подобранных к дан- ным о партиях продукта, изображенным на рис. 5.2. При фиксированных значениях параметров р, а!, аз и р! последователы<ость г можно получить нз равенств г, =(хз — р.) — а, (хз — р.) — а,(х, — р.), г4 = (х4 — «!) — ! (хз — «ь) — 2 (х2 — «!) — и!гз и т. д. Поверхность суммы квадратов втаком случае можно представить, строя о (р, а„ аз, р!(х,, хз, г, = О, гз = О) = ~' гз! 248 в,,', ЛИТЕРАТУРА Гл. Д Введение в анализ временных рядов как функцию от Р, ссг, гха и йг.
С помощью вычислительной машины нетрудно произвести перебор этих моделей, сначала фиксируя гп— порядок процесса авторегрессии, а затем меняя ! — порядок процесса скользящего среднего. Затем можно построить остаточную дисперсию 1 г э" (лт' ~) Аг — ! — 2т — 1 как функцию 1 и пт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
