Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 42
Текст из файла (страница 42)
При этом (6.1.8) переходит в Гтиг — е с„<д=((+ 1 ~ > ~ +. е )'.-"'"е.~ О -Т!2 ОГ ТГ2 — *(е*~ ч- ) в~ -""е . -г — <тЪ вЂ” н Вводя функцию с„„(и), определенную равенством (5.3.5), мы по- лучаем т С„(У)= ) с „(и)е "'~"йи, — оо(~(оо. (6.1.9) — т Следователыю, выборочный спектр, или вьгборочная спектральная плотность, является преобразованиелг Фурье от выборочной ковариационной функции. Обратное по отношению к (6.1.9) преобразо. ванне Фурье можно записать в виде с,(и)= ) С, (1)е' ЯТ" Ц, — Т(и(Т, (6.1.10) Гл. б, Спектр 262 б.2. Спектр откуда при и = 0 получаем 6.2.
СПЕКТР с,„(о)=зтт= ] Ск,(Т)й.Т. (6.1.11) Таким образом, выборочная спектральная плотность показывает, как дисперсия, или средняя мощность, сигнала х(() распределена по частотам. Р и с. 6.3. Преобразование координат для выборочного спектра. Для дискретного времени выборочный спектр равен н — 1 Скк (Г ) = (з ~~~~ Сгк (й) Е 2б (~,1 ( 2б, (6.1.12) е = — (и — 11 что соответствует формуле (6.1.9).
Обратное преобразование (6.!.12) дает 1122 с „(и) = ) С„„Я его" Ц, — !11!з < и с Нм, (6,1.13) — 112Л что соответствует формуле (6.1.10) . Пары преобразований Фурье (6.1.9), (6.1.10) и (6.!.!2), (6.1.13) являются математическими тождествами, которые верны независимо от того, является ли х(!) детерминированным сигналом или реализацией случайного процесса. В следующем разделе дается интерпретация предельного значения Скк(1) для случая, когда х(() — реализация стационарного случайного процесса. 6.2.1. Определение спектра случайного процесса Для описания изменчивости функции С, (!), продемонстрированной в равд. 6.1.2, необходимо рассмотреть запись х((), — Т[2 ( (( Т]2, как один из многих возможных временных рядов, которые могли бы быть наблюдены, т. е, как реализацию случайного процесса.
Таким образом, изменчивость записи будет охарактеризована случайными величинами Х((), — Т!2 ( ! ( Т(2, как указывалось в гл. 5. При этом выборочная спектральная плотность Ся„()) в некоторой точке 1 рассматривается как реализация случайной величины Схх()), точно так же, как с„.(и) считается реа.лизацией случайной величины схх(и) *'.
Получив распределение Схх (1') или ее моменты, можно объяснить неустойчивое поведение С (!), показанное на рис, 6.1 и 6.2. Используя (6.1.9), получаем первый момент оценки, соответствующей выборочному спектру С„„(!)1 т Е [Схх (Г)] = ] Е [схх (и)] е ' -' г(и, — г что можно с помощью (5.3.13) записать в виде т Е[Схх(Т)]= ]" Тхх(и)['1 — "т ) е ""йгг (621) — г Таким образом, (6.2.1) дает среднее распределение (по всем возможным временным рядам длины Т) мощности по частотам.
Прн увеличении длины записи Т первый момент Е[Схх(()] стремится к гхх(Г)= Ищ Е [Схх(Т)] = ~ Т (и) е "у" г!гг. (6,2,2) Математические вопросы, связанные с этим предельным переходом, более полно обсуждаются в [1]. ю Случвйизя величина Сзя(!) определяется равенствам Г(2 2 Г схх(У) = — 1 3 2((11е ' ги = ) схх(")е "" кап, — = ~ У< 1 — ггт — г Авторы используют для Схк(!) термин зептр1е зрес(гпгп еыппв(ог, который мы будем переводить кик оценка, соответстеуюа(ая выборочному спектру.
— Прим. перев, Гл. б, Гл)ектр (6.2.3) (6.2.4) )оа — 1((2«) Функция Гхх()) называется спектральной плотностью *). Равенство (6.2.2) показывает, что спектральная плотность является преобразованием Фурье от ковариационной функции процесса Х((). Пользуясь табл. 2.3, получаем обратное преобразование тхх(и)= 1 Г (Ле ы'Ч. Положив и = 0 в (6.2.3), получаем тхх(())=отх= ) Гхх(У)~У.
Следовательно, Гхх()) показывает, как дисперсия процесса Х(1) распределена по частотам аналогично тому, как (6.1.9) показывает, как распределена по частотам средняя мощность одной конкретной реализации длины Т. В частности, вклад в дисперсию процесса Х(г), который вносят частоты в интервале от ( до 1+й(, равен приблизительно Гхх())И(. Отметим, что, согласно определению (6.1.6), Гхх(1) является неотрицательной для всех 1. Для дискретного времени соотношения, соответствующие (6.2.1) — (6.2.3), имеют вид н — 1 Е (С (У)1 =й,)', тх„(й)(1 — ) ) )е )'У", в= -(и — 1) — —,д ~~ У'( —,д, (6.2.5) «« Гхх (Т') = 11(п Е )Схх Я1 = Ь ~'„т (А) е ' "~', и « а=— — —,', < ~ < —,',, (6.2.6) и ()(га) тхх(й) = ) Гхх(Л~ """ йУ.
й=о. +1. +2 (6 2Т) Некоторые примеры. Для выяснения вопроса о том, какую информацию содержат спектры, на рис. 6.4 и 6.5 показаны теоретические спектры (спектральные плотности) процессов авторегрессии ") В оригинале роттег зрес(гшп. Наряду с терк)ином «спектральная плотность» мы будем также использовать для функции Гх»(1) (там, где это не приводит к неясностям) более короткие названья «спектр» или «спекгр мон(кости»,— Прим.
перев. о,( о,( о,г о,з о 4 а с Рис. бя. о — реализация, б — автокорреляциоиная функция и и — спек»( дис. кретного процесса авторегрессии первого порядка (о~= +ОО). 10 10 0,1 а1 О,г 0,5 ОД 0,5 Р и с. 6.5. а — реализация, 6 — автокорреляционная функция и в — спектр дис.
кретного процесса авторегрессии первого порядка (а, — 0,9), 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 5)1 Рис. б.б, а — реализацин, б — автокорреляционная функция и в — спектр дпс- кретвого процесса авторегрессии второго порядка (а~ 1,0; аз= — 0,5). 269 6,2. Спектр 266 Гл. 6, Сггектр первого порядка и их корреляционные функции. Аналитическое выражение для спектра процесса авторегрессии будет получено в равд.
6.2.5. Из рис. 6,4 видно, что, когда параметр авторегрессии а|=0,9, ряд изменяется плавно, и это находит отражение в том, что корреляционная функция плавно затухает при увеличении запаздывания. Соответствующий спектр принимает большие значении на низких частотах и малые — на высоких частотах. Следовательно, для плавно изменяющихся рядов характерны спектры, у которых ббльшая часть мощности сосредоточена на низких частотах. Заметим, что на рис. 6.4, 6.5 и 6.6 спектры изображены в логарифмичгском масштабе, детальнее показывающем их в более широком диапазоне амплитуд.
Другая причина, по которой спектр лучше изображать в логарифмическом масштабе, будет указана позднее. На рис. 6.5 мы видим, что, когда ссг= — 0,9, ряд очень быстро осциллирует, и это находит отражение в том, что корреляционная функция меняет знак. Соответствующий спектр принимает большие значения на высоких частотах и малые — на низких частотах. Следовательно, для быстро осциллирующих рядов характерны спектры, у которых большая часть мощности сосредоточена на высоких частотах. На рис.
6.6 показан процесс авторегрессии второго порядка, Как указывалось в равд. 5.2.4, соответствующий временнбй ряд является квазипериодичесиим со «средним> периодом около 8 сгк. Корреляционная функция отражает это периодическое поведение; она представляет собой затухающую синусоидальную волну с периодом 8 сгк. Соответствующий этому случаю спектр имеет пик на частоте )в=0,125 гц. Так как процесс Х(() не является точно периодическим, его спектр не сосредоточен на единственной частоте )а=0,125 гц, но рассеян по всем частотам в диапазоне — 0,5 ==1 ( 0,5 гц. Впрочем, ббльшая часть мощности сосредоточ чена вблизи частоты (а = 0,125 гц.
Нормированная спектральная плотность. Иногда приходится сравнивать временные ряды, значения которых измерены в разных масштабах. В таких случаях полезно нормировать Гхх()), разделив ее на дисперсию оз . Функция Гхх (л ) 2 чх называется норлгированной спектральной плотностью е). Из (6.2,2) гн В оригинале зрес(га) бепзцу (нпс(юп (спектральная плотность).
В нашей литературе спектральной плотнострю называют функцию Гхх(1). Поэтому мы будем называть функцию Гхх(1))отх нормированной спектральной плотностью или часто, ради краткости, нормы)й»воныьгм спектром. — Прим. перев. получаем, что Замечания относительно определений спектра, используемых в технических работах. В равд. 6.1.1 мы уже сделали несколько критических замечаний по поводу определения спектральной плотности в виде Г(Т)= Вп! С„„(Т), которое обычно приводится в учебниках по электротехнике (см., например, (2, 31).
Возражение против такого определения состоит в том, что если х(() — реализация стационарного случайного процесса, то соответствующая случайная величина Схх(1) не сходится ни в каком статистическом смысле к предельному значению. Дальнейшая путаница проистекает из-за неправильного использования фундаментального равенства (6.!.9), доказанного выше. Из того, что выборочная ковариационная функция с„(и) сходится при Т - оо во вполне определенном статистическом смысле к ухх(и), делается неправильный вывод, что допустима перестановка интегрирования и перехода к пределу г О» 1!ш С„(у)= ~ 11ш с„„(и)г "лыс(и= ~ у (и)в и'~'йи=Г (у).
г гг -»» В . 5.3.3 было показано, что среднеквадратичная ошибка равд. оценки ковариацнонной функции схх(и) имеет порядок 1г, ,'Т, и поэтому ее распределение концентрируется все теснее около ухх(и) при -ь оо. и Т- оо. Таким образом, схх(и) является состоятельной оценкой ухх(и). Другими словами, средняя по времени величина с,'и) сходится к средней по ансамблю величине ухх(и). Это с„„,и Гхх (У) (6.2.8) ез х так что нормированная спектральная плотность является преобразованием Фурье от корреляционной функции. Далее, нормированный спектр, будучи пределом неотрицательных функций, сам является неотрицагельной функцией.
Так как интеграл от нормированного спектра равен единице, то с математической точки зрения он обладает теми же свойствами (3.1.8), что и плотность вероятности. В равд. 6.3 будет показано, что аналогия между нормированным спектром и плотностью вероятности распространяется и иа оценивание этих двух функций по записям конечной длины.
Использованный в этом разделе способ определения спектра не является единственно возможным. Другой способ, основанный на собственных значениях ковариационной матрицы случайного процесса, приводится в равд. 1!.1.2. 271 бу. Спектр 270 Рл. б. Спектр свойство обычно называют эргодичгским. Для его выполнения требуется, чтобы ухх (и) убывала достаточно быстро. Однако нз того, что эргоднческое свойство имеет место для с„,(и), никоим образом не следует, что оно справедливо для его преобразования Фурье С„з(!).
В самом деле, если имеется состоятельная оценка статистического параметра, то ее преобразование Фурье обычно не является состоятельной оценкой для преобразования Фурье этого параметра зй Иначе говоря, С (1) являетея. примером выборочной функции, для которой эргодическое свойство не имеет места. Интуиция подсказывает, что в такой ситуации интересно посмотреть, что происходит с функцией с,(и) при фиксированном 1 запаздывании и, когда длина записи Т возрастает. В этом случае с„,(и) собирает в себе все больше и больше информации в виде произведений х(г)х(!+и), и, следовательно, информация, содержащаяся в с„,(и) относительно ухх(и), неограниченно возрастает при Т- оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
