Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(6.2.19) 277 276 Г«с 6. Сие»гр Ъ дд С»гр График функции (6.2.19) изображен на рис. 2.3,а. Из него видно, что ббльшая часть мощности, или дисперсии, сосредоточейа на низких частотах. Дискретный процесс авторегрессии первого порядка. Для дискретного времени процесс авторегрессии первого порядка имеет вид Х вЂ” р.=а, (Х,, — 1») +Я».
В этом случае й»= — а»1, А=О, 1, „оо, н 1 1 1 Н(У')= 7», — 2д ~(У< 2а 1 — «,е Гьо Отсюда, используя (6.2.18), нахо~м спектральную плотность процесса Х1' Гх» ( ~) =,, — — » (~ С вЂ” . (6.2,20) Ь«» 1 1 1+ «2 — 2«со»2«уь ' 2Ь 2» Спектр (6.2.20) изображен на рис. 6.4 и 6.5 для случаев а,=- = +0,9 и а1 = — 0,9 соответственно, причем в обоих случаях Л =1 и оа =1. Как отмечалось в равд. 6.2.1, при положительном а, ббль- 2 шая часть мощности спектра сосредоточена на низких частотах, а для отрицательных а1 — на высоких частотах.
Заметим из (6.2.20), что Г»»('1) при а1) 0 равна Гхх(1/2Л вЂ” 1') при а1 ( О. Непрерывный процесс авторегрессии второго порядка. Рассмотрим непрерывный процесс авторегрессии второго порядка а2 — „, + а1 — +а»(ХЯ вЂ” )») =Е(1). В этом случае частотная характеристика равна О(Г)— а2 (72«У)2 + а, (22«У) + ао * и, следовательно, спектральная плотность процесса равна «2 Г (,Г) (ао — а24«272)2+ (2«га1)2 ' (6.2.21) Выражение (6.2.21) может давать как низкочастотные спектры (а, или а, велико), так и спектры с явно выраженным пиком (если характеристическое уравнение а»р2+ а»р+ а2 = 0 имеет комплексные корни), Дискретный процесс авторегрессии второго порядка.
Дискретный процесс авторегрессии второго порядка (5.2.31), а именно Х, — (» = «1(Х1 1 — )») + «2 (Х1 2 — )») + е.„ имеет частотную характеристику 1 «е-/2 У» «е — 1»к/» 1 2 1 1 2Ь 2~ 2Ь и, следовательно, спектральную плотность а« 2 Гхх (У) 2 2 1 -1- «, + « — 2«(1 — «) со»2«у« — 2«со»4«2Ь 1 1 1 — — ( 7'( —. 2» - 2« (6.2.22) ' Для некоторых значений параметров а1, аз выражение (6.2.22) представляет низкочастотный либо высокочастотный спектр, подобно дискретному процессу первого порядка.
Но кроме таких спектров можно получить и спектры, имеющие пик, либо, наоборот, корь1тообразную впадину на некоторой частоте )с внутри интервала частот. Это происходит в случае, если 1а1 (! — а2) ! (4а2!. Частота )о, на которой получается пик либо впадина, определяется из выражения соз 2«г»Л =— «1 (1 — «2) 4«2 Например, временнбй ряд, изображенный на рис, 6.6, получен с помощью процесса авторегрессии второго порядка с параметрами а1=1, а2= — 0,5. Спектр этого процесса имеет пик в точке 0,125/Л гц.
Четыре типа спектров, которые можно получить с помощью процесса авторегрессии второго порядка, перечислены на рис. 6.7. Интересная особенность, выявленная с помощью этого рисунка, заключается в том, что область а2+4аа(0 (в этой области корреля- 1 ционная функция является затухающей синусоидой) частично перекрывается с областью !а,(! — а2) ! )4!а2!, где спектр не имеет пиков внутри интервала частот (на рис. 6.7 последняя область заштрихована). Для высокочастотного спектра это не является неожиданным, так как даже процесс авторегрессии первого порядка при а1(0 имеет осциллирующую корреляционную функцию, хотя его спектр и не имеет внутренних пиков.
Однако и для низкочастотного спектра корреляционная функция может осциллировать, и при этом не будет ярко выраженных внутренних пиков. Обычно считают, что осцилляция корреляционной функции сопровождается пиком в спектре, но этот пример показывает, что для этого ампли. туда затухающих осцилляций корреляционной функции должна быть достаточно большой. Гл. 6, Спектр 6.3. Спектральные оценки '278 +Ь, — "„', +Ь,Л(1).
6.3. СПЕКТРАЛЪНЫЕ ОЦЕНКИ Общие процессы авторегрессии — скользящего среднего. Общий непрерывный процесс авторегрессии — скользящего среднего (5.2.2!) имеет вид Лл'Х «тх к!я а„,—, +... +а, — „, +оо(ХЯ вЂ” р)=Ь, — „,, + ... Р и с. 6.7. Область устойчивости и классификаиия спектров для дискретных йро. пессоа авторегрессии второго порядка. Его спектральная плотность равна до+ Ь!22.7 + ... л- 6, !22.1?' Гхх(У?=ах ! 2 у "', 1,,' ?,. ), — «(У«( (6.2.23) Аналогично для дискретного времени процесс смешанного типа (5.2.50), а именно Х,— ! =а,(Х,, — !к)+ ... +а (Х, „,— р)+Л!+ ~!Х! !+ ...
+ 1!~ -! имеет спектральную плотность 1+ 6«е таку + ... + 8те ! '7 1 1 Гхх(«) ~ах — ' ук —" „у 26 («У( 2 (6.2.24) Из выражения (6.2.23) видно, что для того, чтобы Гхх(!) была интегрируемой спектральной плотностью, соответствующей случай- ному процессу Х(1) с конечной дисперсией и',, нужно, чтобы число1 удовлетворяло условию 1~т — 1. Заметим, что в дискретном случае нет никаких ограничений на !. Выражения (6.2.23) и (6.2.24) получены с помощью подстановки частотных характеристик (2.3.19) и (2.3.32) в (6.2.15) и (6.2.18) соответственно. В общем случае эти спектры могут иметь несколько пиков или впадин, если соответствующие характеристические уравнения имеют комплексные корни.
6.3.1, Вероятностные свойства оценок, соответствующих выборочному спектру, для случая белого шума Введение. Табл, 6.1 наводит на мысль о том, что оценка, соответствующая выборочному спектру, / л — 1 12 т л — 1 1в1 с„«т!= — "„[( л е, ! т«к) «.[ 2 е, ~ л,т!к? ~. — 2д «( й ( 2д , (6.3.1) 1 1 для чисто случайного процесса (дискретного белого шума) имеет дисперсию, не зависящую от числа наблюдений У.
С другой стороны, среднее значение выборочного спектра по частоте близко к теоретическому значению спектра. Это указывает на то, что оценка, соответствующая спектру, не является состоятельной, т. е. ее распределение не стягивается к истинному значению спектра при увеличении объема выборки. Чтобы убедиться, что это действительно так, рассмотрим случайные величины, соответствующие действительной и мнимой составляющим Фурье дискретного процесса 2!, ( — пи= 1:=п — !).
Они задаются равенствами л — ! А(У)= ~' Лтсоз2кОД, т= -л л — ! В(Я= ~ Л! 81п 2и~уд, — —,, «( 7 ( —. (6.3,2) 1 1 В таком случае оценку (6.3.1) можно записать в виде Сна (У) = !!Аз(~) + Ве (.7)) « ~ ( —.. (6.3.3) 1 1 !х! 2Д 2Д Исследовав свойства случайных величин А(!) и В(!), можно вывести и вероятностные свойства Сяз(!). В этом разделе будет показано, что если 2! — чисто случайный нормальный процесс с нулевым, Гл.
б. Спектр 280 281 б 3 Спектральные оненки (6.3.9) гч и-! ог 2 г= — л ог/Н, й=+1. ~2,..., ~(и — 1), (6.3.6) й=О, — и„ Аналогично находим 2 ог 2 Чаг [В(/»)] = О, — ] = 2. т. е Далее при й„ь/имеем л — ! (6,3.8) средним значением и дисперсией о', то для гармонических частот, (частот /м кратных основной гармонике) /»= /а//г/Л, справедливы следующие утверждения: 1) случайные величины К(/'»)= гг' », й=+1, +2, ..., ~ (и — 1) (6.3А) 2С, ГУ) Даг имеют )(а-распределение с двумя степенями свободы; 2) Если /»=О, или же /»= — !/2Л, то случайные величины С„(У„) (6,3.5) даг имеют )(а-распределение с одной степенью свободы; 3) случайные величины У(/») взаимно независимы для й=О, ~1, л-2,..., ~(и — !), — и, Этими результатами мы воспользуемся в равд.
6.3.2 прн выводе критерия для проверки гипотезы о том, что шум является белым. В разд. 6.3.3 дается краткое изложение более общих результатов, относящихся к вероятностным свойствам оценок, соответствуюших выборочным спектрам. Эти результаты получены для произвольных частот и для процессов, не являюшихся белым гауссовским шумом. Доказательства приведены в приложении П9.1. )(а-свойство оценки, соответствующей выборочному спектру, Так как Е [2!] =О, то из (6.3,2) следует, что Е [А (~)] =О= Е [В(Я]. Отсюда для гармоник /» = й//НЛ получаем 1/аг [А (/' )] =.
Е [А' (/'»)] = й = + 1, + 2, ..., + (и — 1), (6.3.7) й=О, — и. Соч [А(/»), А(~;)] =.ог )' сов 2 /»/дсоз2я/'гад=О, г= — и Соч [В(/а), В(г'г)] =О, Кроме того, для любых й и 1 справедливо равенство Соч [А (/»), В (/г) ] = О, Так как А(/») и В(/») являются линейными комбинациями гауссовских величин, то они также имеют гауссовское распределение. Поэтому каждая из случайных величин Аа (У») 2Аа (У») Ва (У») 2В2 (У») Наг !А (г»)1 ма» * Наг !В (г»)1 )Наа имеет )(а-распределение с одной степенью свободы.
Из (6.3.8) и (6.3.9) видно, что эти величины независимы, поскольку А (/») н В (/») имеют нормальное распределение. Поэтому их сумма — [Аа(Я-]- Ва(Л)[ =, =)'(И 2Сгг (У») дгаг имеет )(а-распределение с двумя степенями свободы. При /а=О илн й= — и величина В(/») тождественно равна нулю. Следовательно, случайная величина )'(/) — " гг ", й= — О Наг ! А (У») ! д,а имеет )(а-распределение с одной степенью свободы. Из равенств (6.3.8) и (6.3.9) следует, что случайные величины У(/») для различных частот независимы, так как они получаются из независимых гауссовских величин А(/»), В(/»). Таким образом, утверждения (1), (2) и (3) доказаны. Пользуясь этими результатами, можно объяснить флуктуирующее поведение выборочного спектра на рис.
6.1. В равд. 6.2.3 было показано, что спектр чисто случайного процесса равен константе а 1 1"гг ( /') = огД, — 2д ~ ~У ( Используя (3.3.6) и только что доказанные утверждения, получаем Е [Сгг(/»)] = огЬ.= Ггг(г'»). Следовательно, для гармонических частот оценка, соответствующая выборочному спектру, является неемеи(енной в случае, если шум белый. Это объясняет близость средних значений в табл. 6.1 к их теоретическим значениям. 288 б.з, Слектральные оценки 282 Гл. б. Слектр Аналогично, используя (3.3.6), получаем 'д)аг 22( " = — 4, г. е. т)аг (С22()'д)1 = о2Д' = Г22(гд).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
