Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 47
Текст из файла (страница 47)
е. выбирая ее как можно ближе к б-функции. С другой стороны, узкое спектральное окно (12(1) приводит бд. дальнейшие свойства сглаженных саектральньт оценок 299 Гл. б. Саектр 298 1, к большой дисперсии. Поэтому разумная процедура состоит в минимизации среднеквадратичной ошибки [7]: Чаг [Схх(г)1 +В (7) Точная природа компромисса, который нужно сделать, будет зависеть от плавности изменения теоретического спектра Гхх (/). Например, если Гхх(/) очень плавно меняется, то дисперсию можно уменьшить с помощью широкого окна, не внося серьезного смещения.
В частности, если Гхх (/) плавно меняется в диапазоне — 1/М ( (/ — д) ~ 1/М, то (6.3.36) приблизительно равно Е (Схх(У)1 Гхх(У) ~ ГГт(8)с/8=Гхх(У) (6336) в силу (6.3.33) и (6.3.34). Следовательно, если теоретический спектр изменяется достаточно плавно, то получается фактически несмещенная оценка, хотя спектральное окно при этом делается широким для снижения дисперсии. Приближенные выражения для смещения. Если нельзя считать, что теоретический спектр изменяется плавно по сравнению со спект- ральным окном, то можно, следуя Парзену [8], приближенно под- считать смещение, соответствующее данному спектральному окну. Используя (6.3.28) и (5.3.13), мы можем записать смещение для больших Т также в виде В(У).=В~ ] ш(ц)схх(п) е "'"с/Ъ1 — ) Тхх(и) в '"'ис/а= 1.— 3 ь = Г(.(.) 1)Т„(.),-" ., (6.3.37) Подставляя в эту формулу корреляционные окна са (и) из табл.
6.5, получаем следующие выражения для смещений, соответ- ствующих этим окнам: Ва(/) — — ) ]и]7 (и)е уейм с/и, ма 1 хх (У) + О (м4 ) (6.3.38) В,(У) ю — — а ~) п Тх,(ц) в- йп+ О ( —,,„) = 6 1' з — свети / 1 Гхх(У)+О(мь) ° В пРиведенных выше выРажениЯх Гчхм (/) — втоРаЯ пРоизводнав спектра. Эти формулы показывают следующее: 1. Если Г!м (/) отрицательна (как, например, в окрестности пика), то смещение отрицательно, и поэтому в окрестностях пиков оценки будут обычно давать заниженные значения. Наоборот, если Г~') (/) положительна ( как, например, в окрестности впадины), то смещение положительно, и в этих точках оценки будут обычно давать завышенные значения. 2.
Чем меньше ширина пика или впадины, тем больше Г<'1 (/) хх и, следовательно, тем больше смещение. 3. Смещение Ва(/) для окна Бартлетта имеет порядок 1/М, и поэтому оно будет, вообще говоря, больше, чем смещения для окон Тычки н Парзена, которые имеют порядок 1/Мг. 4. Смещение уменьшается с увеличением М, т. е, с уменьшением ширины окна. 5.
При одинаковом значении точки отсечения М, т. е. максимального запаздывания, на котором корреляционное окно отлично от нуля, окно Парзена дает большее смещение, чем окно Тычки. Это происходит из-за того, что спектральное окно Парзена шире, чем спектральное окно Тычки (см. рис. 6.13). Однако дисперсия оценки Г1арзена меньше, чем дисперсия оценки Тычки при одном и том же значении М, как будет показано в равд. 6.4.!.
Формулы (6.3.38) полезны для качественного описания свойств смешения, однако для получения количественной картины нужно построить график среднего сглаженного спектра, как будет показано в равд. 7.1. 64. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА СГЛАЖЕННЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ ОЦЕНОК Мы уже исследовали одно важное свойство спектральной оценки, а именно ее смещение. Другое важное свойство описывается ее дисперсией. В равд. 6.3.4 было получено приближенное выражение для дисперсии в частном случае белого шума при использовании окна Бартлетта. Теперь мы обобщим этот результат на случай произвольного процесса и произвольного окна.
Зная дисперсию, можно на любой частоте построить доверительный интервал для истинного спектра. В этом разделе показано, что если две частоты отстоят друг от друга достаточно далеко, то ковариация оценок на этих частотах почти равна нулю. Поэтому для таких частот доверительные интервалы можно строить независимо. Гл. б. Спектр бм. 1)альнейсиие свойства сглаженных спектральных оценок и где (6.4.8) т12 2 Схх(У) = — „~ ) Х (1) е ' '~' сИ 1 — т)2 6.4.1. Ковариация сглаженных спектральных оценок Вывод точного выражения для ковариации сглаженных оценок на двух частотах довольно сложен. Поэтому здесь мы дадим эвристический вывод результатов, а более подробное изложение будет приведено в приложении П9.1. В способе, излагаемом здесь, мы воспользуемся тем фактом (см.
(5.2.6) ), что любой случайный процесс (Х(1) со спектром Гхх(/г можно представить в виде белого шума Х(1), пропущенного через линейный фильтр. Воспользовавшись этим фактом и формулами равд. 6.3.3 для ковариаций оценок, соответствующих выборочному спектру, в случае белого шума, мы сможем вывести выражения для аналогичных ковариаций, но в случае произвольного случайного процесса. Затем уже несложно получить выражения для ковариаций сглаженных спектральных оценок. Ковариация оценок, соответствующих выборочному спектру Рассмотрим случайный процесс Х (1) со спектром Гхх(/), получаемый из белого шума Х (/) по формуле Х(с)= ) й(и)Х(/ — и) с/гс. — оо ( с ( со. (6.4.1~ о Согласно (6.2.16), спектр этого процесса можно записать в виде Гхх(Д) = ох [Н(7) ]', — ось( ~ ( оо.
(6,4,2У Для конечного отрезка процесса Х(1) (6.4.1) можно приближенно записать следующим образом: Х(с)=-) тс(и)Х(с — и)г/и Хт(с)„— Т/2(~(Т/2, (6.4.3) о Хт(т)= — ) /2(и)Лт(т — и)с/и, — Т/2(т(Т/2. (6.4,4)1 о В (6.4.4) Хт (!) обозначает конечный отрезок процесса 2 (1).
На интервале — Т/2 ~1( Т/2 два процесса Х(!) и Хт(!) будут идентичны, за исключением некоторого участка вблизи начала интервала, при условии, что отклик на единичный импульс /с(и) убывает до нуля за время, малое по сравнению с Т. Мы предположим, что этим «начальным эффектом» можно пренебречь. В таком случае оценку, соответствующую выборочному спектру можно приближенно записать в виде тт2 !2 Схх(У') = — ~ Х,(1) е "ат' Ю ~ = 1-т12 т/2 аа !2 — ) й (и) Хт (с — и) с/тс е ' "~' Ю ~ = [ Н (У) ]'С.. (У), (6 4,5) !-тт2 о Таким образом, оценка, соответствующая выборочному спектру, для процесса Х (!) приближенно равна соответствующей оценке для белого шума, умноженной на квадрат модуля частотной характеристики фильтра.
Поскольку 2Сзх(/)/о' распределена приближенно как у2 с двумя степенями свободы при любых /, то из (6.4.5) следует, что величина хьхх (г ) 'льхх (У) .~[н(г)]' гхх(у) также распределена приближенно как )(2 с двумя степенями свободы. Теперь можно использовать результаты разд. 6.3.3 для спектральных оценок белого шума. Так как Е[Сах(/)]=о', то из (6.3.16) получаем Е [С (У)] =]НФ! 4=-Г Ф (6.4.7) Аналогично, так как Соч [Схх(Л), Схх (Л)1 =Сох! ] Н (Л) [' Сна(Л) ] Н (Л) ] Схх(Л)] = = [ Н (Л) [' ] Н (Л) /'Соч [Схх (Л), Схх (Л)], то из (6,3.17) следует, что Соч [Схх(Л) Схх(Л)] = [Н( ))2]Н(р)]2 4 ] / в)пк (21+12) ) +/ 21пат(у1 — т2) )2 1 .т(У,+У,) / 1 .т(11 — та) где мы пренебрегли членом, содержащим Кь. Так как Гхх(/)= =о' ] и (/) [', то на двух разных частотах /1 и /, ковариация оценок, соответствующих выборочному спектру, для линейного про- цесса равна Г! 21П кт(Д1 С уа) )2 Соч[Схх(Л) Схх(Л)]=Гхх(Л)Гхх(Л)~[ ат(у ц у)2 ) + тл.
б. Спектр Формула (6.4.9) показывает, что для любого гауссовского случай- ного лрос(есса Х (1) Соч[Схх(Л), Схх(Л)]=0[ — г), Л~ьЛ, Чаг [Схх (Г)] Глхх (Г), Таким образом, мы получили обобщение результатов разд. 6.3.3, которые были получены только для белого шума. Заметим, что для больших Т выражение в квадратных скобках в (6.4.9) ведет себя подобно б-функции с множителем 1)Т. Кроме того, ковариация в точности Равна нУлю, кОгДа частоты ((т+(г) и ()с — )г) кРатны величине 1/Т. Ковариация сглаженных спектральных оценок.
Из (6.3.30) сглаженную спектральную оценку Схх()) для процесса Х(1) можно записать в виде С,„д)= ! С„(д)(Р(Т вЂ” д)дд, а, следовательно, ковариация Схх([с) и Схх([г) равна Соч [Схх (Л) Схх (Л)1 = ( [ (р (Л о) (р'(Л вЂ” й) Соч [Схх(й), Схх(л)] дХс(сг. За еняя Соч [Схх (а), Схх (й)] на (6.4.9) и интегРиРУя по Й, получаем Соч [Схх(Л), Схх(Л)1 = — Гтхх (й) 117(т — а) [% (Л+6) ! ((7(Л вЂ” й)] дй', (6.4.10) прн условии, что Т настолько велико, что члены з!пап)Т)(п)Т)' ведут себя как б-функции.
Равенство (6.4.10) является окончательным результатом, но можно еще нывести полезное приближение предположив, что Гхх (1) изменяется плавно на ширине спектрального окна (й'(1'). При этом предположении (6.4.10) переходит в Соч [Схх(ус), Схх(Л)1 = т ] (У~(Л - К) [(гг (Л+ Ы)+ ~'(Л вЂ” К)! асй' (6.4.11) где )с ~ 1 = 1'г. бм. Дальнейшие свойства сглахсенных спектральных оценок Зоз ДиспеРсиЯ сглаженных спектРальных оценок. Если [, =(т — — 1, то (6.4.10) сводится к Чаг С вЂ” %" (й') дК, 1хх (т) (6.4.12) [ хх(тй где мы пренебрегли членом ! Ж (й) с)т(у+2))дй, малым по сравнению с ! Ж" (д) ди. Воспользовавшись теоремой Парсеваля, равенство (6.4.12) можно переписать в эквивалентном виде Чаг [С (т)1 т ] тес(и) с(и =г (Г) т ' (6.4.13) Например, для окна Бартлетта гее(и) нз табл.
6.6 имеем 7= ]['1 — +) д = — ', М -м ~ и, следовательно (.Т)1 т [ з М) гхх (т) ! 2 Это показывает, что дисперсию сглаженной спектральной оценки можно уменьшить, выбрав точку отсечения М корреляционного окна малой. Но, как указывалось в разд. 6.3.6, при уменьшении М увеличивается смещение, искажающее теоретический спектр, так как спектральное окно при этом расширяется. В таком случае, как показывает формула (6.4.10), спектральные оценки на соседних частотах будут сильнее коррелированы из-за более полного перекрытия спектральных окон.
Поэтому точный выбор М является очень важным вопросом. Этот вопрос обсуждается в гл. 7. Заметим, что поскольку Чаг[Схх(1)]=Ге (1), то величина — ] тв' (и) ди = 1[Т тхх (у) (6.4.14) Равенство (6.4.11) показывает, что ковариация сглаженных спектральных оценок пропорциональна площади перекрытия спектральных окон с центрами в (с н [г. Следовательно, если спектральные окна почти не перекрываются, ковариацня будет очень малой. Некоторые численные значения для ковариаций сглаженных спектральных оценок при использовании различных окон будут даны в разд. 7.2. 3О4 Гл. б.
Спектр 305 равна относительному уменьшению дисперсии, вызванному сглаживанием, т. е, использованием сглаженной спектральной оценки вместо оценки, соответствующей выборочному спектру. Значения отношений (6.4.14), соответствующих спектральным окнам из табл. 6.5, приведены в третьем столбце табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
