Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Чаг [Схх(У)1 = т ь - — — - — т тат(и) ап. (6,4,22) тххх ( Г) ! 1»хх (те) Отсюда ширина по.носы частот равна Ь = -~ — — — . (6.4,23) мт(и) йи ] %'т (у) ау Например, для прямоугольного корреляционного окна ан(и) и корреляционного окна Бартлетта гав(и) из табл. 6.5 значения ширины полосы частот равны 1/2М и 113М соответственно.
Иногда удобнее пользоваться нормированной шириной полости частот Ьь соответствующей значению М = 1. Величина Ь| определяется из соотношения Ь= — = б, ! М (6 4.24) тст (и) йи Например, значения нормированной ширины полосы частот для прямоугольного корреляционного окна и окна Бартлетта равны 1/2 и 3!2 соответственно. В пятом столбце табл, 6.6 приведены значения нормированной ширины для окон из табл. 6.5. Мы видим, что окно Парзена со, имеет нормированную ширину полосы частот примерно в 1,4 раза больше, чем окно Тычки еат. Инженеры узнают в выражении (6.4.23) определение ширины полосы частот шума, пропущенного через фильтр. Точное определение ширины полосы частот не очень существенно.
Например, некоторые авторы [10] используют в качестве такого определения расстояние между точками, в которых мощность убывает до половины своего максимального значения. Мы предпочли определение (6.4,23) из-за .3!О Гж б. Спектр (Дисперсия)ЛС(Ширина полосы частот)= — Константа. (6,4.25) Следовательно, небольшая дисперсия соответствует широкой полосе частот и большая дисперсия — узкой полосе частот. Кроме того, ра- венство (6.4.)7) показывает, что число степеней свободы ч сглажен- ной оценки равно Л =2(М )(г! (6А.26) Следовательно, из того, что полоса частот широкая, вытекает, что число степеней свободы сглаженной оценки велико, а дисперсия мала. Обратно, из того, что ширила полосы частот невелика, следует, что число степеней свободы мало и, следовательно, дисперсия велика. Поскольку в равд. 6.3.5 было показано, что смешение уменьшается при увеличении М, то отсюда следует, что малому смещению соответствует и малое значение ширины полосы частот.
В следуюшей главе введенные здесь понятия применяются к практическим задачам оценивания спектра наблюдаемых временных рядов. ЛО ТЕ РА Т)7РА 1. 1) о оЬ Л. Ь., 51осьаы!с Ргосеззез, Лоьп Тч)!еу, г)етч Уог)с, !953. (Русский перевод: Дуб Дж., Вероятностные процес:ы, М., ИЛ, !956.) 2. Ь а п ! пи Л. Н., В а 11! п й. Н., )!апбоп Ргосеззез 1п Ац1опа1!с Соп1го!, МсОгагч-Н)11, Ыегч Уаг1«. !956. (Русский перевод: Лани нг Дж. Х., Бэтт и н Р. Г., Случайные процессы в задачах автоматического управления, М., ИЛ, 1958) 3. Л а поз Н, М., ЬЫ с Ь о1з ЬЬ В., Р Ьг)1 ! р з й.
5., ТЬеагу о1 бегчопесяапмпз, МсОгав-НИ1, )Чете Уог)г, 1947. (Русский перевод: Джей мс, Н иковл ь с, Ф и л л и п с, Теория следяших систем, М., ИЛ, 1953.) 4. Н а ! б А., 5!а1ьн!са! ТЬеогу енй Епк)пеег)пя Арр1юанопз, Лойп т«1!еу, Нехч Уог)с, 1952. (Русский перевод: Х а я ь д А, Математическая статистика с техническими приложениями, М., ИЛ, 1956.) 5.
В а г ! 1е 1 ! М, 5., Ап !п1гобцсноп 1о 51осьазнс Ргосевзез чбй брес!а! Ее)егепсе 1о Мейобз апб Аррнсанопз, СапЬгЫне ))п!ч. Ргезз, СапЬгЫяе, 1953. (Русский перевод: Б а рт лет т М., Введение в теорию случайных процессов, М., ИЛ, 1958.) 6. В!а си гп а п Р. В., Т ц не у Л. %., ТЬе Меазцгепеп1 о1 Роюег брес1га !гоп йе Роп1 о( 1)!ечг о! Сопппцпмаиопз Епя)пес«1пя, Оочег, Нею ТогЕ, !958. 7. О ге папа е г О., Воз си Ь1а11 М., 5)а!1з!!са) Апа!узм о1 51а1!опагу Т!пе беиез, Лоьп тч'!!еу, Метч Уогй, 1957.
8. Р а г х е п Е., Тсснпогпе1Псз, 3, !67 (1961) . 9 Л е п Ь ! п з О. М., Тесьпогпе!г!сз, 3, 133 (!961). 30. Р г)е з 11е у М В., Тесьпопе!г!сз, 4, 551 (!962). того, что оно использует всю форму спектрального окна и поэтому с помощью этого определения легче отличать окна по их форлге, чем по определению, основанному на точках половины максимума.
Из (6.4.23) видно, что дисперсия спектральной оценки обратно пропор,циональна ширине полосы частот спектрального окна. Действительно, из (6.4.22) и (6.4.23) получаем ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА К ВЫПУСКУ 1 ! *. Я гд о м А. М., Введение в теорию стационарных случайных функций, Усп. мат, наун, 7, вып. 5 (51), 3 — 162 (1952). 2*. Р а о С. Р., Линейные статистические методы и их приложения, М, изд-во «Наука», 1968.
3*. Л и ниик Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдении, ГИФМЛ, М., 1962. 4 *. Г ел ь фа н д И. М., Ш и во в Г. Е., Обаобщениые функции и действия над ними, М., ГИФМЛ, 1958. 5 *. Б е й т м а н Г., Э р д е й и А., Таблипы интегральных преобразований, 1, изд.во «Наука», М., 1969.
6*. Бои ь ш е в Л. Н., С м и р но в Н. В., Таблицы математической статистики, М., изд-во «Наука», !968. 7' Шеф фе Г., Дисперсионяый анализ, М, ГИФМЛ, !963. 8 '. Д ж а п а р ид з е К. О, Об опенке параметров спектра гауссовского стационарного пропесса с рациональной спектральной плотностью, Теория вероятностей и ее применения, Х)г, № 3, 548 †5 (1970).
9*. И б р а г и м о в И. А., Об оценке методом максимального правдоподобия параметров спектральной плотности стационарного пропесса, Теория вероятностей и ее применения, ХН, № 1, 128 †1 (1967). !О '. Х е н н а н Э., Анализ временнйх рядов, М., изд-во «Наука», !964. 1! '. Ма к - К р а к е н Д., До р н У., Численные методы и программирование яа ФОРТРАНе, М., изд-во «Мир», 1969. Указатель з!з УКАЗА1ЕЛЬ Запаздывание 185 Автоковариационная функция 19, !94 Автокорреляционная функция !9, !82, 185 Амплитуда 38, 60 Ансамбль 179 Башелье — Винера процесс 198 Белый шум с ограниченной полосой частот 186 Боде графики 60 — 61 Вариациоииое исчисление 249 Вероятность 81 — плотность 84 Вероятные обласги 152 Весовая функция 27, 53 — 55; см.
Функция отклика на единичный импульс Временибе окно 68 — — ширина 70 Временные ряды !75 Выборочная оценка ковариаций 220 — — норреляционной функции 224 — — максимального правдоподобия 150 — — среднего правдоподобия 155 — спектральная плотность 257, 261 Выборочное распределение !02, !15, 1!7 — дисперсии 104 Выборочный спектр 257 — — белого шума 258 — — свойства оценок 287 Гармоники 36 Гаусс К. Ф. !16 Гаусса теорема 135 Гистограмма 86 Данные акселерометра 87, 89 — ионосферные 37 — о сроке службы ламп !49 — о токе коллектора 83 — о транзисторах 78, 121, !47, !60 — радиолокатора !77 — «скорость — время» 135 — турбогенератора !7, 19 — 20 Двойники 72 Дельта-функция 47 Диаграмма разброса 87 Дискретизация сигнала 70 Дисперсионный анализ 282 Дисперсия 92, 96 — нелинейной функции 100 Доверительные интервалы !19 †!24, !33, 137 — области 141, 17! Единичного скачка функция 50 Ковариационная функция выборочная 213 — — линейного процесса !94 — — свойства оценои 2!4 — — эргодичность 220 Ковариация 95, 99 Комплексное сопряжение 40 Комплексные амплитуды 39 Корреляционная функция 182 — — оценивание 222 — — пропесса авторегрессии 200 — — свойства !92 Корреляционное окна 290, 294 Коэффициент корреляции 97 — усиления 60 Критерий минимума среднеквадратичной ошибки 189 — значимости 1!6, !31 Линейная теория наименьших квадратов 165 Линейные системы 52 — уравнения в конечных разностях 65 Линейный процесс 195 — — ковариационная функция — — моменты 25! — — оценивание параметров 230 — — пример !96 — — спектр 274 Маргинальное правдоподобие 160 — распределение вероятностей 89 Математическое ожидание 91, 96 Матрица ковариаций 90, 113 — — оценок !42, 168 Метод выборочных распределений 1!7 — максимального правдоподобия 230 — наименьших квадратов 2!! — правдоподобия 115 Молгенты выборочные 103 — линейных функций от случайных величин 94, 113 — многомерные 94 — случайного процесса !82 — случайных величин 91 — старшие 94 Мощность средняя 39 Найквистова частота 257 Наложение частот 70 Нестационарность среднего значения 187 — — — и дисперсии 188 Нормальное распределение !59 Нормальные уравнения 135 Обобщенные функции 46 Обобщенный принцип нзименыних кзадратоа !66 Оператор сдвига 67 Ортогональность оценок !43 Оценивание остаточной диспрессин 170 Оценка 118 †1 — выбор 118 — максимального правдоподобия 1!9, 126 — свойства !24 †1 Парсеваля теорема 38, 76 Передаточная функция 66 Период 34 Периодограмма 257; см, Выборочный спектр Плотность вероятности 85 — — нормальная 85 — — — двумерная 89 — — — нормированная 94 Полоса частот ограниченная 41 Постоянная времени 26, 53 Принцип наименьц~их квадратов 134 — правдоподобия 147 Проверка того, что шум белый 283 Программа МЙЬТ1СОК 253 Процессы авторегрессии 200, 218 — — выборочные оценки 236 — — корреляционные функции 204 — — определение порядка 240 — — аценивание параметров 230 — — спектры 275 — скользящего среднего — авторегрессии 24, 205 — — — — оценивание параметров 247 — — — — спектры 278 — — — конечного порядка !99 — — — оцениаание параметров 243 Разностные уравнения 65 Распределение вероятностей — — безусловное 89; см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
