Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 48
Текст из файла (страница 48)
6.6. Видно, что все они имеют вид с(М/Т), где с — некоторая константа, зависящая от окна. Таблица б.б Свойства спектральных оком з с с э о с о а к о сам ээ,, он о жссо Название олма э о о с Формула окна свхх(и)= „~', С%~( — ~ е "'""", а!и 2нгМ 2сУМ ~ з!п кт"М )з з!и 2нУМ 1 0,5 Прямоугольное 1,5 Бартлетта 1,333 Тьгокгт 1,86 Парзена Предположим, например, что точка отсечения М равна 0,1Т, Тогда для окна Бартлетта !/Т = з/з (О,! ) = 0,067.
Следовательно, беря точку отсечения на расстоянии 10% длины записи, мы снизим дисперсию сглаженной спектральной оценки до 6,7% от дисперсии оценки, соответствующей выборочному спектру. Соответствующие величины для окон Тычки и Парзена равны 7,5% и 5,4% соответственно. Следовательно, при фиксированном М из трех рассматриваемых окон наименьшую дисперсию дает окно Парзена. Этообъясняется тем, что, как видно из рис. 6.13, окно Парзена является более широким и плоским, чем два остальных. В результате оно приводит к ббльшим смещениям. Поэтому сравнения окон, сделанныетолько с учетом дисперсии, могут ввести в заблуждение, как мы увидим позднее. Но и, следовательно, 6.4.2.
Тз-приближение к распределению сглаженных спектральных оценок В равд. 6.3.5 было показано, что оценка, соответствующая выборочному спектру Схх(/), такова, что величина 2СХХ(/)Гхх(/) имеет приблизительно у(з-распределение с двумя степенями свободы. В этом разделе мы покажем, что соответствующий результаг М 2— Т 0,667— М Т 0,75— М т О 530— М т Т М т 3— М 2,667— Т М 3,71— Т М 6.4.
Дальнейшие свойства оглаженных снектральныл оценок в для сглаженной спектральной оценки состоит в том, что величина тСХХ (/)/Гхх (/) распределена приближенно как угз с т степенямн свободы, где т) 2. Это означает, что сглаженные спектральные оценки будут иметь гораздо больше степеней свободы, чем оценка, соответствующая выборочному спектру, что приводит к уменьшению их дисперсии. Оценка Схх (/) есть преобразование Фурье оценки коварнационной функции схх(и), причем схх(и) =0 вне интервала — Т ( и -' = Т.
Если внутри интервала — Т ( и ( Т функция схх(а) представляется некоторой периодической функцией ср (и), такой, что хх ср (и) =си (и+2Т), то функция ср (и) представляется в виде ряда Фурье Поскольку корреляционное окно пз(и) =0 при 1и~ '=» М, функции с,(и)=с х(и)ш(и) и с (и) =с~~к(и)ш(и) совпадают при всех и, так что сглаженная спектральная оценка имеет два эквивалентных представления Схх(У) = ~ )Р(У вЂ” К)Схх(й')Ф Схх (у ) = ~в~~ 11г ~Т вЂ” 27 ) Схх ( 27 ) .
— 1 т~ Схх(У) = —,~ Схх( — ) (р'(У вЂ” — . 2Т Ьва ( 2Т ) ( 2Т/' Таким образом, сглаженная спектральная оценка является взвешенной суммой случайных величин Схх(1/2Т) на субгармоническнх частотах 1/2Т. Эти случайные величины распределены как ~ двумя степенями свободы. Следовательно, пользуясь результатами равд. 3.3.5, распределение величины Схх(/) можно приблизить с помощью распределения величины атзт, где а — константа, н т' — случайная величина, имеющая у(з-распределение с т степенямн б4. Дальнейшие свойство сгложенньсх спектральных оценок Гл. б. Спектр 306 свободы. Из (3.3,!4) и (3.3.!5) можно вычислить константы а ич: 2 (Е [Схх (т)) ) (6.4.15) ч ~с „(у)1 Е(Схх У)! (6.4.16) Предполагая, что истинный спектр изменяется плавно по сравнению со спектральным окном, получаем нз (6.3.36) Е ~Схх (У)1 — Гхх(У) и из (6.4.13) Чаг !тСхх(У")] = — х'к ~ те'(и) с(и.
Поэтому, подставляя этн выражения в( 6.4.15) и (6.4.16), имеем ч =.= 2Т 2Т (6.4.17) твй (и) йи гхх (Т) (6.4.18) Следовательно, случайная величина тСхх(/)/Гхх()) имеет у'-распределение с ч степенями свободы, где ч задается равенством (6,4.!7). Таким образом, число степеней свободы сглаженной спектральной оценки зависит от окна тр(и). В столбце 4 табл. 6.6 приведены степени свободы, соответствующие спектральным окнам, указанным в столбце 2. Например, если используется окно Бартлетта с точкой отсечения М на расстоянии одной десятой длины записи (т. е.
М/Т=О,!), то число степенен свободы оценки равно 3/0,1=30. Чем больше число степеней свободы, тем надежнее оценка в том смысле, что ее дисперсия меньше. Однако, как указывалось выше, должен выбираться некоторый компромисс между числом степеней свободы и смещением. Из табл. 6,6 видно, что широкое окно, такое, как окно Парзена Ф'н(/), дает меньшую дисперсию и, следовательно, ббльшее число степеней свободы, чем более узкое окно, такое, как окно Бартлетта )тчв(/), Это находится в согласии со сделанным выше замечанием о том, что чем шире окно, тем меньше дисперсия.
6.4.3. Доверительные границы для спектра Поскольку чСхх(/)/Гхх(/) имеет !(мраспределение с т степенями свободы, где ъ задается равенством (6.4.17), то отсюда получаем где х,(а/2) определяется из равенства Рг(хь ~хч(а/2)) =а/2, Отсюда, используя точно такие же рассуждения, что и в разд. 3,3,2, получаем, что интервал чС (Т) «Схл(Т) х !1 — (о/2)! ' х (и/2) (6.4.20) является 100(! — сс) %-ным доверительным интервалом для Гхх(/). Для заданного отношения Т/М значение ч, соответствующее данному спектральному окну, можно взять из столбца 4 табл. 6.6.
После этого доверительный интервал можно вычислить по (6.4.20), взяв с рис, 3.!О множители ч/х,(а/2) и ч/хч(! — (сс/2)]. Например, выборочная сглаженная спектральная оценка, приведенная на рис. 6.10, была получена с помощью окна Бартлетта при М/Т=0,125. Поэтому из табл. 65 находим к=3/О,!25=24. На частоте /=0,1 гт( С„(/) =0,804, и, пользуясь рис. 3.10, находим 95о/о-ные доверительные границы для Гкг(/): 0,61 ° 0,804 = 0,49; 1,94 ° 0,804 = 1,56. Аналогично 95%-ные доверительные границы для Ггг(/), полученные с помощью несглаженного выборочного спектра на той же частоте 1= О, ! гс(, равны 0,27 ° 0,622 = 0,169; 39,5 ° 0,622 = 24,6. Этн границы значительно шире, тан как при этом выборочной оценке соответствует меньшее число степеней свободы, Заметим, что равенство (6.4.!9) дает доверительный интервал для Гхх(/) лишь на одной конкретной частоте /, Если задать доверительные интервалы на с/ частотах, на которых оценки независимы, то уровень доверия будет (1 — а)о, что обычно значительно меньше, чем 1 — а.
Отметим еще, что дисперсия будет полно характеризовать свойства оценки лишь в том случае, когда мало смещение, как отмечалось в разд. 6.3.5. Поэтому построенные выше доверительные интервалы будут иметь значение лишь тогда, когда спектральное окно достаточно узкое, так что нет заметного смеШении. Доверительные интервалы в логарифмическом масштабе. В разд.
7.!.2 будет показано, что выборочные спектральные оценки 308 Гл. б. Спектр б.4. Дальнейитие свойства села»сенных спектральных оценок 309 нужно строить в логарифмическом масштабе, так чтобы изменчивость спектра могла быть выражена удобным образом. Логарифмический масштаб является также разумным с технической точки зрения, так как обычно важны относительные изменения мощности. Со статистической точки зрения также важно строить спектры в логарифмическом масштабе, так как при этом построение доверительного интервала для спектра сводится к откладыванию около выборочной спектральной оценки одного и того же интервала для всех частот. Таким образом, из (6.4.20) доверительный интервал для 1й Гхх(1) равен 1КСхх(У)+1К !! " <,2, 1ИСхх(Т)+12 2 . 16.4.21) Поэтому при построении выборочной оценки спектра доверительный интервал для всех частот можно указать одним вертикальным отрезком.
Рассмотрим, например, выборочную сглаженную спектральную оценку Скх(!') на рис. 6.!О, для которой э=24. Из рис. 3.10 и (6.4.21) находим, что 95%-ные доверительные интервалы для 1д Гхх([) равны 1д С„( ~) + 1д 0,61; 1и Схх (Я + 1н 1,94. Для С„(1), построенной на логарифмической бумаге, 95%-ный доверительный интервал можно было бы получить, просто построив точки (0,61; 1,0; 1,94), взятые с рис. 3.10, в виде вертикального отрезка в логарифмическом масштабе. Этот способ мы проиллюстрируем в разя. 7.2 и в других местах книги.
6.4.4. Ширина полосы частот спектрального окна В равд. 6.4.1 было показано, что полезную характеристику спектрального окна дает величина I=)' сот(и) с(и, так как 1!Т есть мера уменьшения дисперсии оценки, обусловленного сглажнванием с помощью спектрального окна. Следовательно, для получения небольшой дисперсии нужно выбрать со(и) так, чтобы т' было мало. Для заданного окна этого можно достичь, уменьшив М.
Полезной характеристикой окна является также его ширина. В следующих разделах будет показано, что для получения хорошей оценки пика спектра <ширина» спектрального окна должна быть того же порядка, что и ширина пика. Поскольку спектральное окно отлично от нуля для большинства частот ! в диапазоне †'([» оо, необходимо определить точнее понятие «ширины» спектрального окна.
Один способ определения ширины, или шириньн полосы частот, спектрального окна, который используют статистики [9], состоит в следующем. Рассматривают «полосовое» спектральное окно а ' 2 х 2 Это спектральное окно представляет собой прямоугольник в частотной области, ширина которого равна й; таким образом, ширина полосы частот этого окна Ь =- Ь. Из (6.4.13) получаем дисперсию сглаженной спектральной оценки, использующей это спектральное окно: Гтхх (У) ! гхх (У) Чаг [Схх(,Г')1 Т ' Ь тЬ Для оценки, использующей спектральное окно отличное от прямоугольного, естественно определить ширину полосы частот окна как ширину такого прямоугольного окна, которое дает ту же самую дисперсию, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
