Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Печатный выход используется главным образом в качестве повторного контроля, когда ковариации являются входом для следующей программы, Псилсыение ПАЗ 7. Вывести ковариации и разностные коварнации с помощью печа- тающего устройства и перфоратора или магнитофона. 8. Вычислить корреляции СОН(К,,), Е)=СОЧ(К,,), Е)/)'СОЧ(0,,),,)):~ СОЧ(0, 1., Е) ОСОК(К,,). 1.) =ЭСОЧ(К,,), 1.)/ ОСОЧ(0, .),,)) К- (УСОЧ(0, 1., 1.) К = О, МАХ М; ) = 1, НБ; 1. = 1, )ЧЯ. 9, Построить графики корреляций, а над ними графики разностных корреляций. Глава б СПЕКТР 6.1. ВЫБОРОЧНЫЙ СПЕКТР 6.1.1. Применение методов Фурье к временнйм рядам Анализ Фурье.
В гл, 2 было показано, что дисперсию, или среднюю мощность, сигнала х(/) на отрезке — Т/2~/(Т/2 можно разложить на вклады от гармоник / =и/Т основной частоты /2=1/Т согласно формуле Т/2 Ю Зг = — ') Х2 (1) ей = ~'„~ Х вЂ” Г(2 ПЗ =— (6.1.1) В гл 5 бь о показано что стацио арный случайный процесс просто описывается с помощью ковариационной функции. Точно такое же описание дается его спектром мощности, который является преобразованием Фурье ковариационной функции.
Спектр мощности показывает, как дисперсия случайного процесса распределена по частоте. В равд. 6.1 говорится о том, что классический анализ Фурье не применим к временным рядам. Так, оценка спектра, полученная по формулам анализа Фурье, а именно выборочный спектр, обладает тем нежелательным свойством, что ее дисперсия не уменьшается при увеличении длины временнбго ряда Поэтому для временных рядов методы гл.
2 йужно видоизменить. В результате мы приходим в равд. 6.2 к такому определению спектра, которое подходит для случайных процессов. В этом разделе рассматриваются также спектры процессов авторегрессии и скользящего среднего. В равд. 6.3 показано, что с помощью сглаживания выборочного спектра можно получить улучшенную оценку спектра. Чем сильнее сглаживание, тем меньше дисперсия этой оценки, однако при этом возрастает смещение, или систематическое искажение. Поэтому нужно выбирать некоторый компромисс между смещением и дисперсией.
В равд. 6.4 выводятся дальнейшие свойства сглаженных оценок, в том числе свойства, связанные с понятием ширины полосы частот. Показано также, что доверительные интервалы для каждой частоты легко получить, используя логарифм выборочной оценки спектра. Гл. б. Спектр блс Выборочный спектр 256 257 тю Х„, = — ) х (т) в ' ' йт -тгг (6.1.2) подставляя в нее — уг м/гт 2з/ис . 2«аи в '' =-соэ — — угйп Т Т Напомним, что разложение х(1) в ряд Фурье имеет вид х(т)=,» Х в'""' "'. Аналогично для дискретного сигнала, наблюдаемого в моменты времени т= — пЛ, — (и — 1)Л, ..., (и — 1)Л, среднюю мощность можно разложить на вклады конечного числа гармоник основной частоты 1! =1(Л1Л (Л/=2п), а равенства, соответствующие (6.1.1) и (6.1.2), имеют вид л — 1 .'7„'! Хю (г, а — ! г 1 зиз г зт=— = Л1 (6.1.3) а — 1 л — 1 1 чз — /г;.м/ а!на 1 э' — /г м!1ч Хт = /зт,м/и ! у Х= — ~~хе " ' = — ~~ха 1= — а ! =- — а (6.1.4) ВКЛаД ~ Х, )г В СРЕДНК1Ю МОЩНОСТЬ На ЧаСтОтЕ )в! НаЗЫВаЕтСЯ иНТЕН- сивностью сигнала на этой частоте, а график величин (Х !' в зависимости от Гп называется линейчатым спектром Фурье, Пример такого спектра приведен на рис.
2.2. Спектр мощности детерминированных сигналов. Главное различие в анализе детерминированных и случайных сигналов выявляется как раз тогда, когда длина записи неограниченно возрастает. Во многих технических учебниках это различие не объясняется, а используются рассуждения следующего характера. Из (6.!.1) дисперсия бесконечной записи равна ты аз=1!гп т 1 хг(() й(=-- 1(ш ~ (Т (Х"')г) т 1 Г(Т т ттг /а = — ь/ где функция (6.1.5) Г(у) =!(т Т(Х„!г т Х называется комплексной амплитудой гармоники )ю=т)Т. Она дает амплитуды синусоидального и косинусоидального членов сигнала х(1) на частоте 1 . Комплексную амплитуду можно вычислить по формуле называется «спектром мощности» Фурье.
Воспользовавшись фор- мулой (6.1.2), функцию Т ~ Х„!' можно записать в виде тю !г Т)Х !'=С„(У)= т ) х(т)в ' Ю~ . (6.1.6) 1 — тм Отметим, что функция С, (Г) определена на непрерывном интервале частот — оо -)<оо. Она называется выборочны.и спектром, или выборочной спектральной плотностью "1. Для дискретного случая выборочный спектр равен в — 1 ~', х,е П'т" в — 1 г а — 1 г д — 2 т/ь .1- Л, ! г т/ь~ 1,1= — и /С 1!!= — в 2д ~~-/ ( 2д . (6.1.7) 1 - 1 Частота 112Л в (6.1.7) называется найквистовой. Мы обсуждали ее в гл.
2; это — наивысшая из частот, которую можно обнаружить по данным, отсчитываемым через Л секунд. Заметим, что если преобразование Фурье сигнала х(1) является регулярной функцией, то предел (6.1.5) для Г(1) равен нулю. Это происходит потому, что если преобразование Фурье функции х(1) а существует, то сама она должна стремиться к нулю при т'- ~со. Однако если х(1) не затухает на бесконечности, то функция С„з(7) будет обычно стремиться к вполне определенному пределу Г(!), Для детерминированных сигналов Сзз(1) сходится к Г(Г) плавно 1;.' в том смысле, что функция С' (1), полученная при увеличении и / хз длины записи от Т до Т', является сглаженным вариантом функции Сса(1), вычисленной по записи длины Т.
В следующем разделе будет показано, что определение (6.1.5) ф не подходит для случая, когда х(с) является реализацией случай)х ного процесса. Основное различие в анализе Фурье детерминированных и случайных сигналов состоит в том, что во втором случае при увеличении длины записи от Т до Т')Т функция С' (!) не хз становится более устойчивой, т.
е. С „(1) не сходится в каком-либо статистическо,и смысле к предельному значению при Т- со '1 В оригинале затор)е зрес1/цп!. Более точно было бы называть функцию Ф С„,(1) выборочной спектральной плотностью, однако ради краткости мы будем использовать и термин «выборочиый спектр» там, где зто ве приводит к иеяс. ности.
Для дискретиого времени выборочный спектр (6.1.7) часто называют пераодограммой. — Прим, перев. 9 Заказ Н/ 1г/о 259 6.1. Выборочный спектр Гл. 6. Спектр 258 6.1.2. Выборочный спектр белого шума в Таблица 6.1 Поведение выборочных спектров белого шума по мере возрастания длины ааписи вя Среднее Дисперсия Среднеквадратичная ошибка 0,85 0,680 0,652 1,07 1,00 0,777 0,886 0,782 0,886 0,95 0,826 0,828 В гл. 4 мы видели, что хорошие оценки обладают тем свойством, что их дисперсия убывает с ростом У. Отсюда можно заклю- Чтобы проиллюстрировать результат применения анализа Фурье к случайному процессу, был взят ряд из 400 случайных нормальных чисел (гауссовский белый шум).
Выборочный спектр С (1) вычислялся для четырех рядов, состояших нз первых 50, !00, 200 и 400 членов соответственно. На рис. 6.1 приведены значения выборочных спектров С (!), сосчитанные по формуле (6.1.7), на частотах ) = 0,02; 0,04, ..., 0,50 гг( для случаев М = 50 и У = 100 при Л = = 1 сек. На рисунке изображен также теоретический спектр, который, как показано в равд. 6.2.3, равен константе в интервале — lа ~ ) и'- (т Как видно из рис.
6.1, функции Сех(!) сильно колеблются, и на основании этих графиков трудно предположить, что истинный спектр равен константе, т. е. что временной ряд является белым шумом. Отметим также, что отклонения С ()) от истинного спектра для М= !00 такие же, как и для У=50, что указывает на отсутствие статистической сходимости какого-либо типа. В табл. 6.1 представлены характеристики, полученные из выборочных спектров, сосчитанных по 50, 100, 200 и 400 членам. Поскольку теоретический спектр равен константе, флуктуации С„()) можно охарактеризовать, сосчитав среднее значение, дисперсию и среднеквадратичную ошибку величин Ст,(1) при изменении частоты Видно, что для каждого из рядов среднее значение близко к единице — теоретическому спектру.
Следовательно, значения Сы()) группируются около некоторой центральной величины. Однако, как видно из табл. 6.1, дисперсии не уменьшаются с ростом Лг, что говорит о том, что выборочные оценки спектра, сосчитанные по 100, 200 или 400 членам, не лучше оценки, сосчитанной по 50 членам. читан что См(!) не является хорошей выборочной оценкой спектра, по крайней мере в том виде, в каком она здесь приведена. Чтобы показать, что выборочный спектр не сходится в каком- либо статистическом смысле и для процессов, отличных от белого ч — ч й'=56 Х- — — -Х бм160 — Тсярепшчесмш спектр х х 1,х ! ! ! !с я х ! х б 6,1 цг дз це 6,5 Р и с.
6.!. Выборочные спектры для'первой половины (51=50) и для всей реадн нации (И=100) дискретного нормального белого шума. шума, рассмотрим процесс авторегрессии, построенный по формуле (5.3.36). Теоретическая корреляционная функция и соответствую щая выборочная функция, сосчитанные по реализации из 400 членов, показаны на рис. 5.13. Теоретический спектр и выборочный спектр, сосчитанные по той же самой реализации, приведены на 9* ! 1 х ! !! ! ! 1 1 х х ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1 1 ! х х ! 1 1 1 1 1! !1 !1 1 ! 1 1 ! 1 1 1 1 ! 1 х Гл.
6. Спектр 6.6 Выборочный спектр 26! !4 е И и ы г. рис. 6.2. Как и в примере с белым шумом, выборочный спектр очень сильно колеблется и мало похож на теоретический. В 611 Ц2 ОЗ 04 ЦЗ т,вч р и с. 6.2. Выборочный спектр для реализации процесса авторегрессии второго порядка. Резюме. Для детерминированных сигналов спектр является пределом (в обычном математическом смысле) выборочного спектра С„„(1) прн безграничном увеличении длины записи, Однако, как показывает пример с белым шумом, поведение функции С„„(1) для временного ряда является настолько неустойчивым, что она становится бесполезной для оцеиивания. Основная причина, по которой анализ Фурье неприменим к временным рядам, заключается в том, что он основан на предположении, что амплитуды, частоты и фазы фиксированьг.
Для временных же рядов характерны случайные изменения амплитуд, частот и фаз. Поэтому тот вывод, что анализ Фурье для временных рядов следует видоизменить, учитывая их случайную природу, не является неожиданным. 6.!.3. Соотношение между выборочной спектральной плотностью и выборочной ковариационной функцией Прежде чем дать более точное определение спектра стационарного случайного процесса, мы выведем фундаментальное соотношение, связывающее выборочный спектр и выборочную ковариационную функцию. Из определения выборочного спектра (6.1.6) мы имеем Тгя Т!2 С„„(Т)= — ~ х(т)е ' с(г ) х(т ) е' йгг'. (6,1.8) Т2 — ТГ2 Прн замене переменных и=с' — ~', в двойном интеграле (6.1.8) область интегрирования преобразуется так, как показано на рис. 6.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
