Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Эти изменения приводят к тому, что выборочные оценки не являются положительно определенными в смысле свойства 4 из равд. 5.2.!. Это может привести к нежелательному поведению выборочных оценок спектра, которые будут рассмотрены ниже. 5.3.5. Практические аспекты оценивання ковариационных функций В равд.
5.!.5 было указано, почему нужно изучать ковариационные функции: во-первых, они входят в уравнения для синтеза линейных систем и, во-вторых, их можно использовать прн оценивании функций отклика на единичный импульс. С более общей статистической точки зрения одна из важных причин изучения временных рядов заключается в том, чтобы дать возможность построить модель для лежащего в основе явления случайного процесса. Эту модель можно затем использовать для прогноза, синтеза систем или для других целей, таких, как имитация систем, В таких случаях эмпирический анализ ковариационной функции или спектра может дать полезные наводящие идеи относителы|о ~дго, какие модели должны были бы соответствовать временнбму ряду.
Пример. Чтобы проиллюстрировать, как можно использовать корреляционную функцию для того, чтобы в сжатом виде выразить информацию, содержащуюся в исходном ряде, рассмотрим выборочную оценку корреляционной функции для данных о партиях продукта, приведенных на рис. 5.2. Первые пятнадцать значений этой оценки, полученные по формулам (5.3.33) и (5.3.25), даны в табл. 5,2; их график построен на рнс. 5.6. Из табл. 5.2 видно, что корреляции меняют знак. Это является следствием того, что за высоким выходом продукта в одной партии следует, как правило, м Строго говоря, для этого нужно было бы епге потребовать, чтобы пары (Хь Хыа) были независимы при разных Г.
— Прим. перев. Гл. б. Введение в анализ вреиеннаех рядов пониженный выход продукта в следуюшей партии, и наоборот. Видно также, что корреляции почти полностью затухают, начиная с запаздывания, равного 6, и показывают последовательное ослабление зависимости между наблюдениями при увеличении запаздывания между ними. Таблица Б2 Первые )5 значений выборочной корреляционной функции для данных изтабл,б,! ххх (Е) схх ~а) схх) ) б 8 9 10 — 0,39 О,М) — О,)Ч 0,07 -0,10 11 12 13 14 15 — 0,05 0,04 — 0,04 — О,О! 0,01 0,11 — 0,07 0,15 0,04 — 0,01 Вычислен)ее выборочной оценки корреляционной функции. Для вычисления выборочной оценки корреляционной функции необходима вычислительная машина.
Программа вычислений для этой цели описана в приложении П5.3. Однако для того, чтобы лучше понять последовательные стадии вычислений, желательно, чтобы читатель просчитал один пример на настольной счетной машине. Для иллюстрации рассмотрим вычисление г х(2) для данныхопартиях продукта из табл. 5.1. Выборочную оценку (5.3.25) можно записать в виде (5.3.35) Основной механизм, порождаюший этот вид корреляционной функции, хорошо известен для приведенных данных.
Промышленная установка, на которой были получены наблюдения, представляла собой дистилляционную колонку, где содержимое перегонного куба подогревалось в течение некоторого времени, и продукт перегонки накапливался и сцеживался. Во время перегонки дегтеобразные остатки скапливаются в перегонном кубе и сцеживаются в конце каждой партии. Однако это сцеживание не является полным, так что некоторое количество дегтеобразного вещества остается в перегонном кубе. Это оказывает неблагоприятноедействие на выход продукта в следующей партии, так что производится меньше продукта перегонки и, следовательно, меньше остается дегтеобразных вешеств.
Этим объясняется отрицательная корреляция между партиями. бхй Оцснивинис кавариацианных функций и, следовательно, большая часть времени счета идет на вычнсле. н-ц НИЕ СУММ СдпниутЫХ ПрОИЗВЕдЕНИй ~Х)Х)вм Прн рабОтЕ С НаСтОЛЬ- 1-1 ной вычислительной машиной следует иметь в виду, что если нз каждого наблюдения вычесть произвольную константу, то отклонеНия Х1 — Х НЕ ИЗМЕНятСя, а СЛЕдОВатЕЛЬНО, Н Сх„(й) НЕ ИЗМЕНИтСя. Поэтому для снижения порядка чисел, которые требуется перемножить, удобно вычесть нз каждого наблюдения константу, по возможности близкую к среднему значению. Данные в табл.
5,! изменяются от 20 до 80. Поэтому подходяшей константой для вычитания является 50. В таком случае получим а) «~(х, — 50)(х,+, — 50)=( — 3)( — 27)+(14)(21)+ ... 1=1 + (7) ( — 27) = 3084. Аналогично имеем )О ,~, (х, — 50) — — - 102, ~~~ (х, х, — 50) = 68. ~~~ (х, — 50) = 79 Следовательно, с „, (2) = 79 ~3084 — 79 (102 + 68) + 68 ( — 7 — „) ~ = 42,55. Дисперсия ряда с х(0) равна 139,8. Следовательно, с „; (2) 42,55 гхх (2) = с, 10) 139,8 что совпадает со вторым значением в табл.
5.2. Резюме. Ниже мы резюмируем важные моменты, на которые следует обратить внимание при оценивании корреляционной функции. а) Среднеквадратичная ошибка оценок, имеющих нормирующий множитель 1)7', обычно меньше, чем у оценок с множителем !)(Т вЂ” и). Кроме того, первые являются положительно определенными, а вторые нет. б) Необходимо провести в той или иной форме коррекцию данных для исключения влияния низкочастотных трендов. В простых случаях, как, например, в (5.3.25), этого можно добиться спомощью устранения постоянной составляющей. Эта коррекция среднего значения сохраняет положительную определенность выборочной оценки. В других случаях, таких, как (5.3.27), тренды должны устраняться с помощью операции фильтрации, а автоковариацни надо считать по формуле (5.3.29).
8 заказ ч РЯ 1,0 В 0,5 М и н 0 .0,5 1,0 (5.3.36) ь; 0,5 0 0,5 Гл. 5. Введение в анализ времеииаче рядов в) Равенство (5.3.19) показывает, что если корреляции в исходном ряде достаточно сильны, то будут и сильные корреляции оценок автоковариаций.
Выборочную ковариационную функцию, аргументом которой является запаздывание, можно рассматривать как новый временибй ряд, полученный из первоначального временнбго ряда х(1); в таком случае (5.3.19) показывает, что, вообще говоря, этот новый временнбй ряд будет сильнее коррелирован, чем исходный. г) Одно из следствий корреляции соседних ординат оценки ковариационной функции заключается в том, что ее выборочная оценка не всегда затухает так же быстро, как математическое ожидание оценки.
Чтобы проиллюстрировать этот эффект, на рнс. 5.!3 приведена теоретическая корреляционная функция дискретного процесса авторегрессии второго порядка: Х,=Х,, — 0,5Х, а+юг. Значения этой корреляционной функции можно получать из рекур рентного соотношения (5.2,43) при т= 2, а именно Рхх (й) = Рхх (й — ) — '5 хх (ь. Корреляционная функция представляет собой затухающую периодическую функцию вида (5.2.38) и имеет период, равный 8. На рис. 5.13 приведены две выборочные корреляционные функции искусственного ряда, полученного по формуле (5.3.36), причем в качестве Л, брались случайные нормальные числа из таблицы (7). Верхняя функция сосчитана по 100 наблюдениям, а нижняя по 400.
Характерной особенностью выборочной корреляционной функции, сосчитанной по !00 наблюдениям, являются большие осцнлляции, которые сохраняются даже там, где теоретическая функция уже близка к нулю. Дело в том, что из-за большой положительной корреляции соседних значений выборочных ковариаций за большим положительным значением корреляции следует, как правило, другое большое положительное значение.
В результате этого искажается вид корреляционной функции. Выборочная корреляционная функция, сосчитанная по 400 наблюдениям, затухает быстрее, но все еще значительно отличается от теоретической корреляционной функции. Главный вывод, который следует из проведенного обсуждения, состоит в том, что иногда опасно придавать слишком большое значение видимым особенностям выборочной корреляционной функции, особенно сосчитанной по коротким рядам. В настоящей книге мы будем использовать корреляционную функцию главным образом как промежуточную ступень при оценивании спектральной плотности, а также для получения рекомендаций при спектральном анализе.
.0,5 Рис. 533. Теоретическая н выборочные корреляционные функции для процесса авторегрессни второго порядка. 228 Гл. 5 Введение в анализ временных рядов д) Другое следствие формулы (5.3.19) состоит в том, что нельзя судить об изменчивости одиночного значения корреляции, не учитывая других значений. Предположим, например, что имеется модель временного ряда и что корреляционная функция этой модели известна. В учебниках, не являющихся специально статистическими, наблюденная и теоретическая корреляционные функции часто сравниваются в предположении, что соседние точки оценки корреляционной функции независимы.
Из-за сильной корреляции этих соседних значений, что видно из (5.3.19), такое предположение может быть совершенно ошибочным. Для точного анализа нужно было бы при сравнении наблюденной и теоретической корреляционных функций пользоваться совместной плотностью вероятности корреляций, хотя в таком случае это сравнение, по всей видимости, 0,4- Тиблица Д,7 Ц2 ввлп Выборочные корреляционные функции, построенные по двум выборкам искусственного белого шума Ря (е! г (а! .кх( ! кк кх( ! 25 26 27 28 29 30 3! 32 ! б, гл г(а! ( е Рях 2 я "хх '", я е (м лхх (М 1 2 3 4 5 6 7 8 0,041 0,024 0,045 0,330 0,007 0,012 0,025 0,102 — О, 014 — О, 008 — 0,038 0,011 — О, 047 — 0,051 ~ 0,000 — 0,0!1 9 10 11 12 13 14 15 16 9 10 11 12 13 14 15 !6 — 0,009 О, 047 О, 061 0,083 0,026 — 0,030, 0,019 1 0,099 ! 0,020 ) 0,013 0,007 ' — О, 022 0,0!7 — О, 020 0,017 — О, 047 17 18 19 20 21 22 23 24 17 18 19 20 21 22 23 24 О, 025 — О, 020 0,032 0,075 — О, 000 О, 027 0,012 0,033 — О, 047 — О, 012 0,025 0,001 0,009 0,059 0,018 0,031 25 2гз 27 28 29 30 31 32 О, 010 0,029 0,011 0,068 — О, 004 0,016 0,025 0,035 0,039 0,016 0,025 0,031 — О, 071 О, 040 0,012 — О, 025 5.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
