Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В этом одна из причин широкого использования этих функций. 5.2. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ И КОВАРИАЦИОННАЯ ФУНКЦИИ 5.2.1. Основные свойства В этом разделе выводятся свойства корреляционной и ковариацнонной функций, Взаимную ковариационную функцию чхх(и), введенную в равд.
5.1.5, мы будем подробно обсуждать в гл. 8. В обшем случае случайный процесс Х(1) имеет ковариационную функцию Соч [Х(1), Х(1+и)] =тхх(1, 1+и) (5.2.1) и корреляционную функцию Сок [Х (2), Х(г'+ и)1 [Чвг [Х (Г)] Чвг [Х (1+ и)1] 1' тхх(' )+и) тхх(Г 2+и) — .
(5.2.2) ]тхх (Г 1) тхх (2+ и, Г + и) [ 1' ах (1) ах((+ и) Если Х(1) — стационарный, то (5,2.1) и (5.2.2) сводятся к Соч [Х(1), Х(1+и)] =-(хх(и) (5.2.3) тхх (и) тхх (и) 0 тхх( ) ах соответственно. Отсюда т (), (). Функция рхх(и), зависягцая от запаздывания и, называется корреляционной функцией стационарного процесса Х((). Если процесс дд Корреляционная и ковариационная функции непрерывный, и может принимать любое значение от — оо до +во; для дискретного же процесса рхх(и) будет определена лишь для целых значений и. Ниже перечислены и коротко объяснены свойства корреляционной функции (5.2.4). Свойство 1, рх, (О) = 1.
Это немедленно следует из определения (5.2.4), если положить и=О. Свойство 2. Из-за стацнонарности процесса мы имеем у.х(и)=Соч [Х(1), Х(1+ и)] =Соч [Х(1 — и), Х(1)] = =Соч [Х(1), Х(1 — и)] =-1'хх( и). Из (5.2.4) следует, что рхх(и) = рхх( — и). Следовательно, как ковариационная, так и корреляционная функции являются четными функциями от запаздывания и.
Поэтому их нужно вычислять лишь для неотрицательных и. Свойство 3. [рх (и) [(1 для всех и. Это можно получить из того факта, что дисперсия случайной вели- чины 1'=)чх(1)+) Х(1+и) неотрицательна, с помошью рассуждений, аналогичных приведенным в равд. 3.2.4. Свойство 4. Корреляционная матрица является положительно полуопределенной, т. е, определитель 1 Р„(1, — 1,) Р„(1, — 1,) ...
Р„х (1 рХХ(2 1) рХХ(3 2) '" ' Хх( 1) РХХ( л 1) РХХ( л 2) РХХ ( гг 3) и все его главные миноры неотрнцательны. Этот результат является более общим, чем свойство 3. Он следует из того, что дисперсия случайной величины У =),,х(1,)+ ... +),„Х(1„) 5.2. Корреляционная и ковариацнонная Функции Гл. Д Введение в анализ временнкея рядов 194 неотрицательпа. Из свойства 4 вытекает, что корреляции стационарного процесса не могут быть произвольными, но должны удовлетворять некоторым соотношениям. Заметим, что при п=2 свойство 4 сводится к свойству 3.
Свойство 4 положительной полуопределенности приводит к понятию спектра мощности процесса, которое будет обсуждаться подробнее в гл. 6 и 11, Свойство 5. Если случайный процесс является непрерывным, то рхх(и) должна быть непрерывной функцией от запаздывания и. Это условие непрерывности требуется для того, чтобы можно было построить разумную математическую теорию для непрерывного времени. На самом деле достаточно потребовать лишь, чтобы рхх(и) была непрерывной при и=О, так как из этого вытекает непрерывность во всех других точках. где 6 (и) — дельта-функция Дирака.
Поскольку б (и) можно рассматривать как функцию, равную нулю при и~О и бесконечную при и=О, то мы добились того, что ковариация между соседними точками равна нулю, хотя для этого пришлось сделать бесконечной дисперсию процесса уяя(0). Ниже мы покажем, что бесконечная величина дисперсии получается неизбежно. 5.2.2. Линейный процесс и его ковариационная функция Важный класс процессов можно получить с помощью пропускания чисто случайного процесса через линейную систему, или фильтр. Для непрерывного времени соотношение между выходным процессом Х(1) и входным процессом Х(1) можно записать в виде Х(г) — !к= 3 ВФЛА(1 — Ф) Ъ о (5.2.6) Белый шум. Одно из следствий свойства 5 состоит в том, что невозможно определить непрерывный по времени случайный процесс, являющийся аналогом чисто случайного процесса с дискретным временем, введенного в равд.
5.1.3. Для такого непрерывного случайного процесса потребовалось бы, чтобы ряя(0) = 1 и ряя(и) =-0 при иФО, но такая корреляционная функция была бы разрывной при и =О. Один выход из этой трудности заключается в том, чтобы определить чисто случайный процесс для непрерывного времени, илн белый иеуле, как процесс, который состоит целиком из некоррелированных смежных импульсов. Таким образом, его ковариационвая функция будет равна Т (и) = — азха (и), (5.2.5) а для дискретного времени — в виде Х,— !к= ~', йяХ, (5.2.7) я=о где Е]Х(1)]=0 и Е[Х~]=0.
Случайный процесс, который получается из белого шума с помощью выражений (5.2.6) или (5.2.7), называется линейныле процессохс Беря математическое ожидание от обеих частей в (5.2.6), получим Е ]Х (1) — !я] = ~ й (о) Е ]Х (1 — э)] с(о = О, о т. е Е [Х(1)] =!к. Отсюда ковариационная функция выхода равна тхх(и) = Е [(Х(1) — у.) (Х(1+ и) — !к)1 = = 3 ] й (о) й (з) Е ]Х (1 — о) Х (1+ и — о)] сЬ с(э'. (528) о о Если процесс Х(1) стационарен и имеет ковариационную функцию уят(и), то (5.2.8) сводится к 7 (и)= [ ) й(з)йФ)Т (и+о — о')е(осЫ'. (5.2.9) о о Подставляя в (5.2.9) вместо уях(и) ковариационную функцию белого шума (5.2.5), получим Тхх (и) = аз ~ й (о) Ь (о+ и) йо. о Отсюда корреляционная функция линейного процесса Х(1) равна ] й (о) а (О + и) ао ухх( ) (5.2.11) ] Ы(о)до о В гл. 6 будет показано, что процесс Х(1) является стационар- ным, если ) ]п(о)]с(Ф (М, (5.2.12) о где М вЂ” конечное число. Заметим, что условие (5.2.12) совпадает с условием (2.3.11) устойчивости линейной системы.
тв 197 Гл. Б. Введение в анализ временныл рядов 5.2. Корреляционная и ковириационная утункции В приложении П5.2 как обобщение результата (5.2.10) получены следующие выражения для третьего и четвертого моментов и для четвертого кумулянта: Кх(и! из из) — Ке(2)3 те(о)те(о+и!)Ь(в+из)Ь(э+из)тЬ, о (5.2.15) где Кх(и!, из, и,)=Е [(Х(2) — р)(Х(!+ и,) — р)(Х(г'-[-и ) — р) )' Х (Х(2+ и,) — р)[ — » (и,)» (и, — и,)— (из)» (из и,) — » х(и,)»х (из — и,) (5.2,16) К (д=Е [Х'(2)[ — зое . Соответствующие формулы для дискретного линейного процесса (5.2.7) можно получить, заменяя интегралы на суммы. Например, (5.2.10) переходит в »хх (й) = озз ~' Итйт+з, !=о а условие стационарности, или стабильности, соответствующее условию (5.2.12), имеет вид Ое ;1, "[й,[<Л, (5.2.18) 7=о где М вЂ” конечное число.
Неравенство (5.2.18) совпадает с условием устойчивости (2.3. 39) для дискретных систем. (5.2.17) Пример линейного процесса. Как частный случай линейного процесса рассмотрим среднее значение процесса Я(1), сосчитанное по конечному интервалу Т, т. е. Х( ) = — ) Х(~) т(тт.
е-т е [(Х (1) — р)(Х(У+ и,) — р)(Х(1+ и,) — р)[ = =Е [Яз[ ) Ь(е) й(~+и,)Ь(в+и,) с(о, (5.2.13) о Е [(Х (е) — р) (Х (2 + и!) — р) (Х (2 + из) — р ) (Х (е + из) — 1з)] = = Е [Хл[ ~ й (о) л (з + и,) л (з + из) л (о + из) е(о (5.2.14) Отсюда О, о<0, 0 < о <Т, Т ' 11(о) = О, в)Т. Математическое ожидание Х(1) равно Е[Х(2)[= —,' ) Е[Х(~)[ и=О ! — т при условии, что Е[Я(1)]=0. Если 2(1) — произвольный стационарный процесс, то, используя (5.2.9), получаем ковариационную функцию процесса Х(1) ! т т "хх() Тз з' з»ях( + о о Сделав замену и=о — о' и положив и=0, получим ет 17ш[Х(Г)[= т ) [1 т )~»22(у)т7у -т Если Я(1) — белый шум, то (5.2.19) сводится к Чат [Х(2)[ =ох = Т (5.2.20) Заметим, что (5.2.20) совпадает в дискретном случае с выражением для дисперсии среднего арифметического, состоящего из Т независимых случайных величин, а именно т 3 е ...
1е1 ч., [; м з,~ з=! Таким образом, для дискретного белого шума дисперсия среднего арифметического равна дисперсии сигнала Л, деленной на число наблюдений, но для белого шума с непрерывным временем конечная величина оз (Т получается при делении бесконечной дисперсии на бесконечное число независимых наблюдений. Этот пример достаточно хорошо показывает, что интерпретацию и получение результатов с помощью белого шума нужно проводить очень осторожно.
Следует отметить, что дельта-функция в выражении (5.2.5) для ковариационной функции белого шума является существенной частью, а не просто служит параметром «расположения». Это означает, что дисперсия действительно бесконечна и ковариация между сколь угодно близкими значениями действительно равна нулю. Для того чтобы физически сколь угодно близкие значения 198 Гл. Д Введение в анаша временны» рядов 199 ду. Корреляционная и ковариационная Езункции процесса были некоррелированными, т.
е. чтобы процесс мог без ограничений флуктуировать от момента к моменту, он должен иметь бесконечную дисперсию. Х (() = 9) Х (и) с(тз (5.2.21) или же Х(гз) — Х((,)= ) Х(в) аЪ. Если Х(() — непрерывный процесс с некоррелированными приращениями, то Е[(Х((з) — Х((з)) (Х(14) — Х((з))) будет равно нулю для неперекрывающихся интервалов (14, 6з) и ((з, 14). Если же интервалы перекрываются следующим образом: то, записав Х((,) — Х((,) =Х(~,) — Х(1,)+Х® — Х® и Х (14) — Х (1з) = Х (14) — Х (1з) + Х ("з) — Х (1з), получим Е [ [Х (ез) Х (ез)) [Х (ез) Х(уз))! = Е [ [Х ((з) Х (з )) Можно показать далее [6], что это математическое ожидание дол жно иметь вид оз ) (з — (з) для любого разумного процесса с не коррелированными приращениями е).
Рассмотрим теперь производный процесс 1,, Х((+») — Х(е) Из (5.2.11) при фиксированном т получаем, что ковариационная функция процесса у(() равна О, )и))т, Т„(п) = ", (5.2.22) +( — )))))« м Точнее, с некоррелировакнымн сгацвояаркымн приращениями. — Прим, иерее. Процесс Башелье — Винера. По аналогии с дискретным процессом (5.1.9) для непрерывного времени также можно построить процесс, имеющий некоррелированные приращения. Формально непрерывный аналог случайного блуждания можно записать в виде Если т-нО, то ухх(и) стремится к и' 6(и) — ковариационной функции белого шума.
Следовательно, белый шум можно представлять себе как несобственный случайный процесс, являющийся производной Х(1) процесса с некоррелированными приращениями. Если в дополнение к этому разность Х(1+т) — Х(1) распреде- лена по нормальному закону со средним значением тр н диспер- сией тоа, то У(1) будет нормальным, или гауссовским, белым г' шумом, состоящим из некоррелированных импульсов, площадь которых имеет среднее значение )з и дисперсию оз . Этот процесс был использован Винером и другими для описания броуновского движения частицы, которая находится во взвешенном состоянии в некоторой среде и испытывает случайные соударения с части- цами среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
