Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Эта задача в ее наиболее общей постановке включала бы оценнвание всех элементов матрицы ковариаций ошибок У. В этом разделе мы рассмотрим лишь частный случай Ч =о21, так что оценивание У сводится к оцениванию о', являюшейся дисперсией каждой из 2!. Пусть 5(0) обозначает квадратичную форму 5 (0) = о'х'Ч !х = аа (у — ХО)' Ч ' (у — ХО), которая сводится для случая У = оЧ к сумме квадратов 5(е) =(у — хе) (у - хо).
Подставив выборочные оценки 0 = О, получим 5 (О) = у'у — е 'х'у — у'хе + е'х'хе. но так как, согласно (П4.1.?), 0'Х'у= 0'Х'ХО, то 5(0) =-у'у — у'ХО н, заменяя у'Х на 0 'Х'Х, получаем 5 ( 0) =-- у у — е (х х) е. (П4.1.11) Заменяя выборочные оценки в (П4.1.11) оценками и беря математическое ожидание, получаем (2, 3*) 172 173 Линейная теория нииненимия квадратов Проложение Пкг (П4.1.16) » 2з'Л м,(1 — а). Это сводится к неравенству (Ог ег),~'„.т! ( т=! (1 — а), ных случайных величин и, следовательно, является случайной величиной Хг, Эта случайная величина, согласно (П4.1.13), разлагается на уг „и 7'-„.
Отсюда случайная величина , (о — е) х'у 'х(о е) у — й 3(е) й распределена, как Гд, я г,. Следовательно, область, вероятность попадания в которую есть (1 — а), имеет впд а (Π— 8) Х У Х (Π— 6) » (7 (1 — о) 5 ((О), (П4.1.14) Заменяя 40 на О в (П4.!.14), получаем 100(1 — а)%-ную доверительную область для параметров О. Область (П4.1.14) является эллнпсоидом в А-мерном пространстве параметров О, и се объем, как нетрудно проверить, обратно пропорционален определителю ~ Х'У 'Х!.
Но С=- (Х'Ч 'Х) ', и так как выборочные оценки наименьших квадратов минимизируют определитель !С|, то они, следовательно, минимизируют также и объем доверительного эллипсоила для параметров. Подставляя Ч=!о' в (П4.1.14) и замечая, что из (П4.1.12) следует, что зг=5(0)!'(тУ вЂ” й) является выборочной оценкой о-', получаем 100(1 — се) %-ную доверительную область для 0 (Π— 0) Х Х (Π— О) (йзг7я, (1 — а), (П4.1.15) в случае когда У =!о'. Для одного параметра (П4.1.15) имеет вид (Π— О) ( . Р'... (1 — а), что является другой записью доверительного интервала (4,3.11), так как !гм, (1 — ол!2) =!! ж т(1 — а).
Для двухпараметрического примера неравенство (П4.1.15) принимает вид 1 1 ((О, — О,), (О, — О,)) х! хг... мм 1 л (е, — 0,)'+ 2 (в, — в,) (е, — о,) ~ !=! » »2зг7 которое представляет собой уравнение эллипса на плоскости (От, Ег). Для ортогональной двухпараметрической модели (П4.1.15) сводится к гУ (Е*, — 0*,) -!-(О, — О,"), (х, †.с) <2згу", (1 — ), ! =1 что также явл !ется уравнением эллипса на плоскости (О*,, 0'), но в этом случае осн эллипса параллельны осям координат. Вывод доверительных областей непосредственно по контурам, образуемым линиями уровня суммы квадратов.
В нелинейных задачах невозможно вывести явные выражения для выборочных оценок наименьших квадратов и матрицы Х'У-'Х. Примеры таких задач приводятся в разд. 5.4.4, В этом случае разложение (П4.1.13) можно записать в виде 5(О) =5 (й) + 5 (Π— 40). Используя те же рассуждения, что и при выводе (П4.1.14)„получаем, что случайная величина 3(01 — 3(е) л — й 3(е) распределена, как Ри м-м Следовательно, область 5(0) ~(5(0) [1+ — )д м я(1 — а)1 (П4,1,17) является 100(1 — а)%-ной доверительной областью для параметров.
Если имеются контуры функции 5(0). то 100(1 — ео)%-ный контур соответствует константе (уровню), полученной умножением остаточной суммы квадратов 5 (О) на константу в квадратных скобках в (П4.1.17). Дисперсия прогноза. Если для предсказания отклика в будущем эксперименте используется модель (П4.1.1), то значение прогнозируемой величины будет иметь вид у= Огхг+ Огхг+ ... +О„хя+ з= =Ох+в=Ох, так как з = О. Дисперсия соответствующей оценки равна Чаг [1')=Чаг (Й х)+Чаг (х,1=х Сх+о', (П4.1.18) Прилоагение Па.) Глава 5 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ЛИТЕРАТУРА где мы использовали (П3.1.4). Если Ч = оИ, то (П4.1.18) сводится к 'оаг [)л1 =- [х (Х Х) г х+ 1~ оь. (П4,1.19) Отсюда !00(1 — сг) ого-ггый доверительный интервал, основанный на предсказываемом значении д и выб:, очной оценке зь дисперсии аа, |меет внд у ~ ул а(1 — —,'1з$ 1+х'(ХХ) 'х .
(П4.1.20) ч а г па га О, А, 3. Роу. 61а1. Вес, В26, 124 (1963) о1а ге е1! К. '., Рг1пс191еь о1 Кеягеьь1оп Апа1умь С!лгепг1оп Ргеьь, Ох1огд, : 960. В этой главе мы рассмотриьг основные понятия теории временных рядов. Наиболее важными среди пих являются понятия случайного процесса, стационарного процесс:, линейного стационарного процесса н ковариацнонной функции стационарного процесса.
В разд. 5.1 показано, что для описания статистической природы наблюденного вреыенпого ряда нуясно рассматривать его как элемент абстрактного мг кества функций, называемого случайным процессом. Простейшяь типом случайного процесса является линейный процесс, кото;ый можно получить в результате линейной операции над чисто случайным процессом. Большое практическое значение имеют два частных случая линейного процесса: процесс авторегрессии и процесс скользящего среднего.
В равд. 5.2 показано, что стационарный случайный процесс общего типа удобно описывать с помощью его ковариацнонной функции, в то время как линейный стационарный процесс лучше всего описывается его параметрами. В разд. 5.3 рассматривается оценивание ковариационной функции по наблюдаемому временнбму ряду, а в разд. 5.4 — оценивание параметров процессов авторегрессии и скользящего среднего. 5.1. СТАЦИОНАРНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 5.1.1. Определение и классификация временных рядов Под статистическим временным рядом понимают сигнал, илп функцию времени х(1), проявляющую свойства случайности, или нерегулярного изупенения.
Имея запись такого ряда, невозможно точно предсказать его будущие значения в отличие от детерминированного сигнала, как указывалось в гл. 2. Следовательно, такой ряд может быть описан только с помощью статистических законов, или моделей, которые можно было бы использовать, например, для прогноза будущих значений ряда. Примерами таких статистических рядов являются: а) напряжение в сети, флуктуирующее нз-за случайного движения электронов, которое называют обычно тепловым шумом; 176 60 60 К Са еч я 70 О:3 рм 5.
Введение в анализ временных рядов б) флуктуирующий выход продукции химического реактора, измеряемый непрерывно с помощью инфракрасного спектрометра; в) выходное напряжение приемного устройства радиолокатора. Типичный отраженный радиолокационный сигнал показан на рис. 5.1, Дискретные и непрерывные ряды. Временные ряды в примерах (а), (б) и (в) являются непрерывными измерениями и называются несгрерывными временными рядами.
Другой тип рядов представляют собой дискретные врелсенные ряды, значения которых заданы только в определенные моменты времени. Один из способов, с помощью которых может быть получен дискретный временнбй ллслАллмлл)сллнвллЬслллмс1сллллллАлллллАлллллЛллллллДллллллл й Рис. 6.1. Отраженный радиолокационный сигнал. ряд, состоит в отсчете значений непрерывного временнбго ряда через равные промежутки времени, скажем Л.
Записывая х(1=гЛ) = =х„, мы получим последовательность (х„), г=..., — 2, — 1, О, 1, 2, образующую дискретный временнбй ряд. Непрерывные временные ряды в примерах (а), (б) и (в) должны бьиь записаньс с помощью физического инструмента, обладающего инерцией. Поэтому такие ряды имеют ограниченную полосу частот, т. е, они не содержат частот выше некоторой макспмальной частоты, определяемой частотной характеристикой инструмента. Таким образом, используя теорию гл.
2. можно определить интервал отсчета Л так, чтобы дискретный временнбй ряд (хс), полученный из значений непрерывного временного ряда х(1), содержал бы всю информацию, имевшуюся в исходном ряде х(1). Следовательно, непрерывный временнбй ряд можно анализировать либо в аналоговой (непрерывной), либо в цифровой (дискретной) форме, Дискретный временнбй ряд может таки;е получаться, когда физическая величина не имеет мгновенных значений, а приобретает смысл лишь в накопленном, или проинтегрировапном по соответствующему времепнбму интервалу, виде.
Примерами таких накопленных рядов являются цифры суточных осадков, даваемые метеостанцией, илн же выход продукции в последовательных партиях некоторого промышленного процесса. Г1ример дискретного временного ряда приведен на рис. 5.2, где показаны значения накопленной выходной продукции в 70 последовательных партиях, получен- 6.П Стацаонарнвсе а нестационарные случайные процессы 177 ных на дистилляционной колонке, в зависимости от номера партии. Данные, по которым построен этот рисунок, даны в табл. 5.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
