Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

(5.1.4) Отметим, что ухх(1ь 12) = аз(12). Заметим также, что ковариационная функция временнбго ряда имеет те же свойства, что и ковариация между двумя случайными величинами Х, и Ха (эти свойства мы перечислили в равд. 3.2.2). ПОСКОЛЬКУ ухх(6, 12) ЗаВИСИт От МаСШтаба ИЗМЕрЕНИя Х, удОбНО при сравнении двух рядов, которые могут иметь различные масштабы измерения, определить нормированную величину, называемую авгокорреляционной функцией е! тхх (~г ~2) РХХ( Г 2) — с(С )а(Г ) Подобно обычному коэффициенту корреляция (3.2.19), рхх(1ь 12) .лежит между крайними значениями — 1 и +1, соответствующими полной отрицательной и положительной линейным зависимостям, Вообще, случайный процесс можно было бы описывать с помощью его старших моментов Е [(Х(у,))'(Х(уз))'*...

(Х(у„))" ~, (5.1.5) ио они не очень полезны на практике. 5.1.3. Стационарность и ковариацнонная функция Стационарность. В общем случае свойства случайного процесса будут зависеть от времени. Часто ради упрощения предполагают, что ряд достиг некоторой формы устойчивого состояния, или равноеесия, в том смысле, что статистические свойства ряда не зависят *1 Там, где зто не может привести к недоразумениям, мы будет вспользовать более простые термины: ковориоциоккоя фракция а корреляциокяия функция. — Прим. перев. от абсолютного времени. Например, было бы разумно предположить для данных о партиях продукта, приведенных на рис.

5.2, что если бы контроль за процессом осуществлялся достаточно хорошо, то статистические свойства ряда оставались бы довольно стабильными во времени. Наименьшее требование для того, чтобы это было верно, состоит в том, что плотность вероятности 1'хггг(х) не должна зависеть от врелгени и, следовательно, стационарный временной ряд имеет постоянное среднее значение 12 и постоянную дисперсию о'. Поэтому одинаковую для всех моментов времени плотность вероятности )х (х) можно оценить, построив гистограмму данных так, как это описывалось в гл.

3. Например, гистограмма данных табл. 5.! показана на рис. 5.4. Из этого рисунка видно, что эмпирическое распределение является унимодальным и не противоречит гипотезе о том, что данные могут быть описаны нормальной случайной величиной. Если дан. ные относятся к значительному промежутку времени, то разумность предположения о стабильности можно проверить, например.

с помощью построения отдельных гистограмм для каждой из половин ряда. Если эти две гистограммы находятся в согласии, то пред положение о независящей от времени вероятности, по-видимом, оправдано. Из предположения о том, что процесс находится в состоянии равновесия, вытекает и другое следствие: совместная плотность вероятности 122(хг, хз) зависит только от разности моментов времени 12 — 12, а не от абсолготных значений 62 и йь Предположим, что временнбй ряд — дискретный и что наблюденными значениями яв- ЛяЮтСя ХГ, Хз, ..., Х . ТОГда ПарЫ ТОЧЕК (ХГ, Халз), (Х, Хя,з), ..., (ля Ы х„) можно рассматривать как (п — й) наблюдений, имеющих совместную плотность вероятности )гз(хг, хз), которая в этом случае одинакова для всех моментов времени, отстоящих друг от друга на яЛ.

Рнс. 5.5 показывает диаграмму разброса для последовательных партий (хг, хг,г), взятых из данных табл. 5.1. Видно, что точки попадают в основном в левый верхний и правый нижний углы рисунка, что говорит об отрицательной зависимости между соседними партиями, явно заметной также на рис. 5.2. Из условия равновесия вытекает и еше более общее следствие, а именно свойства многомерной плотности вероятности, соответствующей любому набору моментов времени 12, 6..... Аь зависят только от разнос~ей !12 — 1;!, Другими словами, если любой набор МОМЕНТОВ ВРЕМЕНИ 62, 12, ..., 1о ПЕрЕНЕСтн ВПЕрЕд ИЛИ Наэад На ВЕ- личину й, то плотность всроятности не изменится.

Математически это означает, что равенство У „,,„,, „( )(,. 2.. л)= =Ух г,ы х(г л я)(х1 хз ° . х,), (5 1 6) 20 (5.1.7) 80 Е 40 ы 40 б 28 ЗЗ 40 47 54 81 б8 78 82 Зыход продукции з Р и с. 5.4, Гистограмма данных о последовательных партиях продукции, приве- денных на рис. 5.2. Р ис, 5.5. Диаграмма разброса для пар последовательных партий, приведенных на рис.

5.2. бл. Стационарные и нестационарньге случайные процессы 185 справедливо для любых наборов моментов времени и для всех смещений й, Случайный процесс, удовлетворяющий условиям (5.1.6), называется строго стационарным *~. Ковариационная функция. Из предположения стационарности сразу следует, что ковариационная функция ухх(7ь 1з) зависит только от и = 1з — 1т и, следовательно, ее можно записать в виде (и) =Е [(Х(7) — р)(Х(7+ и) — 1з)[ =Сот [Х(1), Х(1+и)] Смещение и называется запазсуыванцелг.

Ковариационная функция показывает, как изменяется зависимость между соседними значениями случайного процесса в зависимости от запаздывания и. Если Х(1) имеют многомерную нормальную плотность, то ковариационная функция и среднее значение полностью характеризуют процесс, как отмечалось в равд. 3.1.5. Корреляционная функция. Для стационарного процесса корреляционная функция (и) рхх(п) = (5.1.8) зависит только от запаздывания и. Хотя методы оценивания ковариационных и корреляционных функций будут рассмотрены лищь в равд.

5.3, мы проиллюстрируем сейчас на рнс. 5.6 выборочную корреляционную функцию для данных о партиях продукта, изображенных на рнс. 5.2. Видно, что корреляции затухают очень быстро и что практически нет корреляции для запаздываний больше 1О. Кроме того, корреляции меняют знак. Это говорит о том, что за высоким выходом продукта в одной партии в среднем получается низкий выход в следующей партии, и наоборот.

Слабая стационарность. Более слабое, чем (5.1.6), предположение, которое иногда принимают, состоит в том, что многомерные моменты вида (5.1.5) вплоть до порядка гйз+ ° ° +ге =К зависят только от разностей моментов времени [7г — 7,~. Случайный процесс с таким свойством называется стационарным процессом К-го порядка. Например, если К= 2, то только среднее значение, дисперсия н ковариационная функция (5.!.7) зависят от разностей моментов времени, н процесс является стационарным *1 Таяне процессы называют такзке сгационарнымн в узком смысле, нлн вполне стационарными, — Прилс перев. о,н -04 в: м Гл. Д Введение в анализ временных рядов второго порядка в. Впрочем, если многомерная плотность вероят- ности в (5.1.6) является нормальной (так что она полностью зада- ется ее средними значениями и ковариациями), то из стационарно- сти второго порядка следует строгая стационарность.

р и с. 8.6. Выборочная корреляционная функция для данных, приведенных нв рис. 8.2, с„„10) 1. Чисто случайный процесс. Простейшим примером стационарного процесса является дискретный процесс Еь такой, что случайные величины 2, взаимно независимы и одинаково распределены. В этом случае из (5.1.7) следует, что ухв(й) =0 для всех 5~0. Такой процесс статистики называют чисто случайным процессом, а инженеры — белылс шумом с ограниченной полосой частот. 5.1.4. Классификация временных рядов, встречающихся иа практике В большинстве работ, посвященных анализу временных рядов, исследователи рассматривают свойства стационарных процессов, Если эмпирический ряд не является стационарным, то можно применить различные приемы для устранения очевидных трендов, после чего оставшийся ряд будет разумно считать стационарным.

Например, данные можно приблизить некоторыми математическими ю Такие процессы называются также стационарными в широком смысле, нли слабо стзциоизрвыми. — Прим. перев. б.!. Стационарные и нестационарные случайные процессы 187 функциями, такими, как экспоненты, ряды Фурье или многочлепы. Другим приемом, который будет широко использоваться в последующих главах, является фильтрация или устранение низкочастотных трендов с помощью соответствующим образом рассчитанного фильтра.

Временные ряды, встречающиеся обычно на практике, моткно разделить на три большие категории. а) Ряды, являющиеся стационарными в течение относительно больших промежутков времени, благодаря некоторой форме контроля над внешними условиями. Примерами могут служить ряды, получаемые из генераторов случайного шума, таких, как электронныс лампы, температура которых поддерживается постоянной, и вольферовский ряд чисел солнечных пятен, зарегистрированных в течение нескольких столетий. С практической точки зрения невероятно, чтобы какой-нибудь ряд оставался стационарным бесконечно долго, так что важным является вопрос, насколько длинную запись можно взять для анализа, чтобы при этом не нарушилось предположение о стационарности.

Для геофизических рядов, таких, как числа солнечных пятен, условия могут оставаться стабильными в течение столетий. Однако в других случаях условия могут оставаться стабильными лишь в течение часов или минут или, возможно, вообще быть совершенно нестабильными. б) Ряды, с которыми можно обращаться как со стационарными лишь при условии, что рассматриваются достаточно короткие реализации. Ошибки, допускаемые оператором при слежении, рассматриваются как стационарные, если только характеристики прослеживаемого сигнала поддерживаются неизменными, а измерения производятся в течение достаточно коротких промежутков времени так, чтобы оператор нс успел устать. Если измеряют напряжение в некоторой точке самолета, летящего через турбулентную среду, то хорошо известно, что в течение коротких промежутков времени, скажем до получаса, ряд можно рассматривать как стационарный.

Для ббльших периодов времени дисперсия ряда может измениться заметным образом из-за изменения уровня, или интенсивности, турбулентности. в) Ряды, которые, совершенно очевидно, являются нестационарными как по своему виду, так и из-за априорных сведений об изучаемом явлении. формы проявления нестационарности рядов могут быть различными.

Характеристики

Список файлов книги