Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 33
Текст из файла (страница 33)
+а (Х, — Р)+Е,. (5.2.39) Для непрерывного времени общий процесс авторегрессии определяется как выход линейного фильтра, на вход которого подается белый шум, а соотношение между входом и выходом определяется дифференциальным уравнением и„„,„+а, „„, + ... +а,[Х(г) — Р) =Х(!), (5.2.40) где, как отмечалось выше, Х(!) изменяет разрывным образом й Х/Ж".
Устойчивость, или стационарность. 1) Дискретный процесс. Дискретный процесс авторегрессии Х, является стационарным, если корни характеристического уравнения ры — а,ры ' — ... — а =О (5.2.41) лежат внутри единичного круга ~ р! =1. 2) Непрерывный процесс. Непрерывный процесс авторегресспи Х(!) будет стационарным, если корни характеристического уравнения аы р" + а,„р ' +... + ао = О (5.2.42) имеют отрицательные действительные части. В равд. 5.2.2 отмечалось, что условие стационарности совпадает с условием устойчивости соответствующей линейной системы.
Поэтому условия (5.2.41) и (5.2.42) получаются из условий (2.3.38) и (2.3.20). Корреляционная функция. 1) Лискретнвей процесс. Корреляционная функция дискретного процесса Х, удовлетворяет разностному уравнению Рхх(й) "1Рхх(й — 1)+аорхх(й — 2)+ ° .. ° ° ° + аыРхх (к ~п) 1=ачР (1)+ ° +" Р (!и)+ (О) ' й=О (52'43) 1е а1 + а = а,, я1а = — — аз Отсюда — я (1 — я,) А,= (1 + а1яе) (я1 — яе) А = я (1 — яз) 1 (1 + я1яз) (я1 — яа) и, таким образом, Х,,— р=.,Р, й,Х... 1=О Гл. Д Введение в анализ временнык рядов Общее решение этого разностного уравнения имеет вид Рхх(й)=А1а~ +Азаг + ...
+ 4а11 ", (5.2.44) где пе — корни (возможно, комплексные) уравнения (5.2.41). Если имеются комплексные корни, то они скомбинированы так, что в (5.2.44) получаются члены вида )т)кр сов (11й+1Р1). Поэтому, вообще говоря, корреляционная функция рхх(й) будет содержать показательные члены и затухающие синусоидальные волны.
Константы Ае в (5.2.44) можно найти, решая первые т уравнений (5.2.43) относительно аь как показано ниже. 2) Непрерывный процесс. Корреляционная функция непрерывного процесса Х(1) удовлетворяет дифференциальному уравнению аш (и) дт — 1р (и) (5.2.45) Это уравнение имеет общее решение Р х(и)=А,е ' +А,е + ... +А е ", (5.2.46) где п1 — корни уравнения (5.2.42). Если имеются комплексные корни, то они скомбинированы так, что получаются члены вида Е-" ~ 1СОЗ (йеи+Ч1). Доказательство. Мы докажем упомянутые выше результаты только для дискретного случая.
Если обе части равенства (Хе р)=а1(Х1 — 1 р)+ ° ° ° +", (Х1- р)+Хе умножить на (Х1 д — )е), то получим (Х, — и)(Х, я — р.)=-а,(Х,, — р.)(Х, я — р.)+ ... +а (Х вЂ” р.)(Х, „— р,)+е.е(Х1 „— р.) Беря математическое ожидание от обеих частей, получаем а' Р (й)=а1а' Р (й — 1)+ ... +а а' Р (й — т)+ + Е (ле(Х1 я — р)! Поскольку случайную величину Х1 я можно выразить в виде и так как это выражение не содержит Хе, то Е[Х1(Х1 я — р))=0. Отсюда получается результат (5,2.43).
з.л. Корреляционная и ковариациоНная функции Пример, Корреляционная функция дискретного процесса авто- регрессии второго порядка удовлетворяет рекуррентному уравнению Рхх (й) "1рхх (й 1) + азрхх (й — 2), й > О. (5.2.47) Это уравнение имеет решение Рхх(й) =А1а,"'+Азк,'", (5.2.48) где пь па — корни характеристического уравнения р' — а,р — аа = = О. Отсюда Далее, уравнение (5.2.47) при й=! имеет вид Рхх(1) = Рхх(0) + Рхх( Отсюда а1 я1 + яз (1) = Рхх') — 1 а, — 1+ 1яз так как рхх(0) =1, рхх( — 1) =рхх(1). Из (5.2.48) получаем Рхх(0) =1=А1+Аз, Р (1) = " + ' '- = А 1111 + Азиз. хх 1+я яз ( —.В "е" -(' -") ""' (й)— Р ( ) (1+,, ) (я1 — яз) что согласуется с (5.2.37) для й)0.
Свойство дискретизации по времени. Если значения непрерывного процесса авторегрессии (5.2.40) измерять через равные промежутки времени Л, то получится дискретный процесс (Хе — р.)=а1(Х,, — р.)+... +а (Х, — р,)+ +Х1+11Х1-1+ +Р— Хе- +1 (5249) где Л1 — чисто случайный процесс. Уравнение (5.2.49) представляет собой смесь дискретного процесса скользящего среднего (5.2.23) н дискретного процесса авторегрессии (5.2.39). Отметим интересную особенность (5.2.49): в то время как исходный непрерывный процесс имел в качестве входа белый шум, дискретный процесс 208 Гл.
б. Введение в анализ временна!я рядов 5.д Корреляционная и ковариационная функции Общие смешанные процессы авторегрессии — скользящего среднего. Более общим образом можно определить смешанный дискретный процесс авторегрессии — скользящего среднего в виде (Х, — 1л)=а,(Х,, — Р)+ ... +ат(Хе т — 1л)+ +Х,+~,Х,,+ ... +~,Е,, (5.2.50) где 1 не связано с ла. Для стационарности требуется, чтобы корни характеристического уравнения авторегрессионной компоненты лежали внутри единичного круга. Для непрерывного времени смешанный процесс принимает вид итХ дт-1К ат — „т + а,, + ...
+ао [Х(1) — р] = т — ! Шт — $ Ф2 д~ ~л =Ь,—,+Ь..., + ... +502(1). ш' (5.2.51) Из (2.3.19) следует, что условия стационарности, или устойчивости, непрерывного процесса (5.2.51) заключаются в том, что 1( и — 1 н корни характеристического уравнения авторегрессионной компоненты имеют отрицательные действительные части. Важность модели (5.2.50) состоит в следующем: в то время как модель, основанная на чисто авторегрессионном процессе или на чистом процессе скользящего среднего, может потребовать большого числа параметров, для смешанной модели (5.2.50) их может потребоваться относительно немного. 5.2.6. Интерпретация корреляционной функции Случайный процесс называется гауссовским, или нормальным, если многомерное распределение, связанное с произвольным набором значений времени, является многомерным нормальным распределением.
В этом случае процесс полностью определяется своим средним значением, дисперсией и корреляционной функцией. Однако существует обширный класс негауссовских процессов, имеющих ту же самую корреляционную функцию, что и заданный гауссовский процесс, но заметно отличающихся от него в других отношениях. Например, в равд. 5.2.4 было показано, что модель (5.2.24) приводит к показательной корреляционной функции рлл(и) =е . Если входной процесс системы первого порядка — 1и1 гт авторегрессии имеет в качестве входа процесс скользящего среднего, порядок которого на единицу меньше порядка дифференциального уравнения, описывающего систему. Следовательно, этот вход будет иметь ненулевые корреляции лишь для первых (т — 1) запаздываний. Результат (5.2.49) получен в [8.] -1 Р н с, 5.10.
Реализация случайного телеграфного сигнала. в которые происходят изменения процесса, образуют пуассоиовский процесс с параметром 1., так что типичная реализация процесса могла бы быть такой, как показано на рис. 5.10, Предполагая, что процесс начался прн 1= — оо, мы получим Рг [Х(1)=1) — Рг [Х(1) = — 1) = —, 1 откуда Е[Х(1)]=0. Следовательно, ковариационная функция равна 1 рс, Рг[четное число изменений в (1, 1 + и)), — 1 Х Рг[нечетное число измене- ний в (1, 1 + и)), 1 (и) = Е [Х (1) Х (1+ и)] = 7хх(и) = „~ [Р, Реа >,) ь=о где е — ь) 1(х!и!1 Рл= (5.2.24) является нормальным, то можно показать, что выход также будет нормальным и, таким образом, полностью задается своей корреляционной функцией.
Сейчас мы построим другой процесс, имеющий показательную корреляционную функцию, но в других отношениях сильно отличающийся от нормального процесса. Этот процесс называется слуцайныл~ телеграфным сигналом и описан в [9]. Альфа-частицы радиоактивного источника служат для запуска триггерного устройства, принимающего попеременно значения +1 и — 1. Моменты 10 2!О Гх 5. Введение в анализ временньее рядов Просуммировав эти ряды, получим — т!н ~ ( в"!" !+е "!" ! ет!н! — е "!"! так как утх(0) = 1. Если Х = Т!2, то эта функция совпадает с корреляционной функцией (5.2.25).
Так кан распределение Х(т) сосредоточено в двух точках ~ 1, поведение этого процесса заметно отличается от нормального с той же самой корреляционной функцией. В действительности такие негауссовские процессы нужно описывать с помощью их старших моментов Е [Х(1) Х(1+ и,)... Х (т+ и„)). Важность этого раздела для эмпирического анализа временных рядов заключается в том, что при интерпретации корреляционной функции (и, как мы увидим ниже, соответствующего спектра) необходима определенная осторожность в случае, если процесс негауссовский.
Может, однако, оказаться, что после некоторого преобразования, основанного на эмпирической плотности вероятности, распределение будет более близким к нормальному. Например, неотрицательная величина, такая, как температура или давление, возможно, стала бы более близкой к нормальной, если бы был использован логарифмический масштаб. Заметим, однако, что если даже такое преобразование и приближает одномерную плотность к нормальной, оно не обязательно оказывает такое же действие и на многомерные распределения. 5,3. ОЦЕНИВАНИЕ КОВАРИАЦИОННЫХ ФУНКЦИИ В равд.
5.1.5 было показано, что обладающую наименьшей среднеквадратичной ошибкой оценку функции отклика некоторой системы на единичный импульс можно было бы выразить через коварнационные функции входа и выхода. На практике невозможно знать этн ковариационные функции точно, и, следовательно, необходимо оценивать их по записям конечной длины. В равд. 5.3.1 будут выведены выборочные оценки наименьших квадратов для функции отклика иа единичный импульс в случае, когда в распоряжении имеются конечные записи входа и выхода. Будет показано, что результаты получаются аналогичные тем, которые были выведены в равд. 5.1.5, с той разницей, что теоретические ковариационные функции заменяются нх выборочными оценками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
