Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Приведем несколько примеров простейших форм нестационарности. Нестационарность среднего значения. Многие ряды проявляют нестационарность лишь в виде тренда среднего значения, не обнаруживая видимым образом каких-либо более сложных форм отилонеиия от стационарности. Например, большинство дд Стационарные и нестационарные слунайньье процессы 189 188 Гл. Д Введение в анализ временны рядов экономических временных рядов содержит явно выраженные тренды, отражающие поступательное развитие экономики. На эти тренды накладываются флуктуации более высокой частоты, обусловленные краткосрочными экономическими факторами (например„ использованием экономических регуляторов), а также еще более высокочастотные осцилляции, обусловленные игрой на бирже. Обычно предполагается (произвольно), что измеренный в логарифмическом масштабе экономический временнбй ряд (такой, как валовой национальный продукт, цены или капиталовложения) можно расщепить на ряд, дающий тренд (нестационарность среднего значения), и остаточный ряд, являющийся стационарным.
Нестационарность среднего значения и дисперсии. Ряд, который может иметь пестационарную дисперсию, получается в упоминавшемся выше примере с турбулентностью. Другой случай такого рода имеет место при контроле промышленных рядов. Эти ряды постепенно уходят нестационарным образом от нужного уровня изза влияния случайных возмущений, если только не компенсировать их. Нестационарные модели, описывающие поведение таких рядов и используемые для синтеза оптимальных систем регулирования, приведены в недавних работах [1, 2]. Эти нестационарные модели можно обобщить таким образом, чтобы они описывали также «тренды» и «периодичности», обнаруживаемые в экономических рядах [3]. В результате такие модели могут дать основу для прогноза экономических рядов.
Важная отличительная черта этих моделей состоит в том, что тренд рассматривается не как детерминированная функция времени, а как случайная функция, изменяющаяся по мере развития процесса. Один простой нестационарный процесс. Простой нестационарный процесс Х, можно получить из стационарного чисто случай.
ного процесса Хь по следующему правилу: Х> =~> Х. = Х, + Х, = Х, + Х,, Х,=Х,+Е,+ ... +Х,=-Х,,+Е,. (5.1.9) Если Е[Х>]=р, то из (3.2.15) следует, что Е[Хь]= 1р. Аналогично если Чаг [Хь] = оа, то из (3.2.18) следует, что 'лтат [Х,] = о' (1) =- йг .
Случайный процесс (5,1.9) называют обычно случайным блужданием. Он обладает тем свойством, что с возрастанием времени случайная величина Х, осциллирует около прямой Х= 1р со все более увеличивающейся амплитудой. Таким образом, процесс случайного блуждания имеет как нестационарное среднее, так и нестационарную дисперсию. Используя (5.!.4), получаем, что ковариационная функция процесса Хс равна Тхх (~1 ' ~2) = — ш1п (1ы 12) ог, Процесс, определяемый равенствами (5.1.9), называют также процессом с неноррелированньнлеи, или ортогональными, приращениями, так как приращения Х,=Х,— Х, образуют чисто случайный процесс и, следовательно, Хь некоррелировано (имеет нулевую ковариацию) с другимн приращениями, такими, как Хь > = Хь ь — Хь, и т. д.
5.1.5. Анализ систем на основе критерия минимума среднеквадратичной ошибки В предыдущих разделах обсуждены простые способы описания временных рядов с помощью их младших моментов. Важнейшим из этих моментов является корреляционная функция. Одно из многих применений корреляционной функции состоит в том, что опа служит источником исходных идей при построении вероятностной модели механизма, породившего временнбй ряд.
В следующей главе будет показано, что временнбй ряд можно описать совершенно эквивалентным образом с помощью его спектральной плотности, являющейся преобразованием Фурье от ковариационной функции. Широкое применение ковариационной функции или спектральной плотности в технических задачах основано на том, что знание любой из этих функций достаточно для синтеза линейных фильтров или линейных систем регулирования с минимальной среднеквадратичной ошибкой для случаев, когда рассматриваемые сигналы искажаются шумом. Теория синтеза систем с минимальной среднеквадратичной ошибкой была впервые разработана Винером [4].
Она сыграла важную роль в развитии современной теории управления и теории связи. Синтез следящих систем. Одно из первых инженерных применений анализа на основе критерия минимума среднеквадратичной ошибки было сделано при синтезировании следящих систем для зенитных орудий и в радиолокационных следящих системах [5]. Например, от радиолокационной следящей системы требуется, чтобы она следила за самолетом несмотря на возмущения отра- Гл. 5 Введение в анализ временных рядов женного радиосигнала, обусловленные вариациями полного коэффициента отражения из-за вращения пропеллера, вибрации моторов и изменений относительного положения самолета, вызванных рысканием н покачиванием во всех направлениях.
Понятно, нельзя ожидать от следящей системы, чтобы она сопровождала самолет абсолютно точно прн таких неблагоприятных условиях. Следовательно, нужно было бы исследовать характеристику работы системы в среднем и ее вероятный разброс, а не точную характеристику. Один из способов описания этих свойств использует среднеквадратичную ошибку между желаемым и действительным выходными сигналами системы. В свою очередь, среднеквадратичную ошибку можно выразить через ковариационную функцию входного и желаемого выходного сигналов.
Поэтому знание ковариапионных функций достаточно для синтеза систем с минимальной среднеквадратичной ошибкой. Оценивание отклика линейной системы на единичный импульс. Другое применение критерий минимума среднеквадратичной ошибки находит в задаче об «идентификации системы». В этом случае в распоряжении имеются входной сигнал и соответствующий ему выходной сигнал от некоторой системы; требуется вывести линейное приближение к этой системе для дальнейшего его использования при управлении или моделировании. Предположим, например, что система представляет собой «черный ящик» (рис. 5.7).
Если вход является реализацией случайного процесса Х(1), то выход можно рассматривать как реализацию случайного процесса У(1), где У (1) — рг = [ Ь (и) [Х (с — и) — р4 сКи+ Л (1), (5.1.10) о Равенство (5.1.!О) утверждает, что выход можно рассчитать, беря взвешенное среднее от входного сигнала, причем весовая функция должна равняться Й(и).
В (5.!.10) Х(1) является шумом, нли членом ошибки, содержащим систематическую компоненту (обусловленную несовершенством аппроксимации линейной системы) и случайную компоненту, обусловленную ошибками измерения н недостаточным контролем над переменными, управляющими выходом, Если ковариационные функции процессов Х(1) и У(1) известны точно, то можно воспользоваться винеровскнм критерием минимума среднеквадратичной ошибки. Этот критерий утверждает, что функция й(и) должна быть выбрана так, чтобы минимизировать среднеквадратичную ошибку шумовой компоненты, т.
е. е)х'Р)) — --я [()сВ~О) — „) — 1 ч),))хР— ) — „)л (1. о (5.1.11) 5.Л Стационарные и нестационарные случайные процессы 191 р и с 5.7. Определение отклика на единичаый импульс на основе минимума сред. неквадратичной ошибки. (У(1) — р ) ~ Ь(и)Х о Г + Е ~) ) й (и) й (и) Х о о Е [Л (1)( = Е [(У (1) — рг)~) — 2Е Х (Х(1 — и) — рх) и)и Х (Х (с' — и) — рх) (Х (1 — Ф) — р х) г(и с(п = 7„(0) — 2) Ь (и) тхг(и) еси+ ) ) Ь(и) Х о о о Х " (и) ) хх (и — и) и)и с"ю где ухх(0) = и' — дисперсия У(1); тх (и)=Е [(Х(с) — р )(У(г+и) — р )( есть взаимная ковариационная функция между Х(1) и У((+и) н т (и) = Е [(Х (с) — р ) (Х (1+ и) — рх)( есть автоковариационная функция Х(1), Отсюда среднеквадратичная ошибка полностью определяется ковариационными функциями утх(0), ухх(и), ухх(и) и откликом на единичный импульс Ь(и).
(5.1.12) Целесообразность использования критерия (5.1.1! ) мы обсудим полнее в равд. 5,3.1, где будет рассмотрена задача идентификации системы по записям конечной длины. Если предположить, что процессы Х(1) и У(1) стационарны, то (5.1.11) можно записать в виде 192 193 (5.1,13) рхх(и)=рхх( и). (5.2.4), 7 Заказ № 1213 Гл. 5. Введение в анализ временных рядов Функцию й(и), дающую минимальную среднеквадратичную ошибку, можно получить с помошью вариационного исчисления, как показано в приложении П5.1, откуда следует, что й(и) должна удовлетворять интегралыюму уравнению Винера — Хопфа тхг (и) = ~ Ь (о) (хх (и — о) гЫ. и Ъ О.
Заметим, что й(п) должна тождественно равняться нулю при отрицательных с, чтобы аппроксимирующая система была физически реализуемой, Основная мысль этого раздела заключается в том, что линейная система, дающая наилучшую аппроксимацию к данному процессу, полностью определяется ковариациоинымн функциями ухх(и) и ухх(и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
