Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 32
Текст из файла (страница 32)
5.2.3. Процесс скользящего среднего конечного порядка Предположим, что веса Ь» линейного процесса (5.2.7) равны нулю при й)1, т, е. Хз Р = 7зоЛз+ Ь~Хз з + .. ° + изчез ы (5.2.23) Тогда если Л, — чисто случайный процесс, то Хз называется про- цессом скользящего среднего конечного порядка 1. Процессы скользящего среднего конечного порядка полезны во многих областях, например при прогнозе поведения эконометри- ческих систем и систем управления.
Однако наиболее полезны они в сочетании с процессами авторегрессии, которые будут введены в следующем разделе. Из (5.2.17) получаем, что ковариационная функция процесса скользящего среднего конечного порядка (5,2.23) равна нулю при А)1. Рассмотрим, например, процесс скользящего среднего второго порядка: Х, — (»=Л, +0,5Л,, +0,5Х, Из (5.2.17) получаем, что ковариационная функция процесса Хз равна Т (0)=оз [1+(0,5)з+(0,5)з] =1,50оз Т„т(1)= ф [1(0,5) + (0,5)з) = 0,75о', Тхх (2) ол [1 (О'5)) 0'5ол ' т (й)=0, й' э3. Отсюда корреляционная функция равна 1, й=О (й) О 5, й=1, 0,333, 1=2, О, й>3, 201 200 с,о г,о с,о 0;, О -с,о (5.2.24) -г, -3,0 1,0 » г О и 0 -г -о Следовательно, (5.2.27) Гл.
б, Введение в анализ временнйл рядов Примером непрерывного процесса скользящего среднего конечного порядка является процесс у(с), использованный при выводе процесса Башелье †Вине, для которого ковариационная функция (5.2.22) равна нулю при [и[)т. 5.2.4. Процессы авторегрессии Непрерывный процесс первого порядка. Рассмотрим линейную систему первого порядка, описываемую дифференциальным уравнением вида (2.3.2), а именно Т вЂ” + х (г) = х (г), где г(г) — вход системы, а х(с) — ее выход.
Если в эту систему вводится белый шум 2(г), то выход Х(!) будет линейным процессом (5.2.6) с й(о) = (1/Т) ехр ( — о/Т), Процесс Х(г), определяемый уравнением Т Ад(с) + [Х(г) — р] =Л(г), называется процессом авторегрессии первого порядка. Из (5.2.!1) следует, что корреляционная функция выхода равна рхх (и) (5.2.25) Условие устойчивости (5.2.!2) требует, чтобы временная константа Т была положительной. Это является также условием того, что процесс Х(г) — стационарный, а его дисперсия конечна.
Дискретный процесс первого порядка. Дискретный процесс авто- регрессии первого порядка получается из чисто случайного процесса Хс с помощью уравнения Х, — р=а, (Х,, — р)+Ус. (5.2.26) Используя х-преобразование, (5.2.26) можно записать в виде (! — аса ')(Х, — р,)=Хс. (Х,— р)=.[ с )Ус=Ус+асз 'Ус+асс 'Хс+ ... = т ! — асх 2 = Хс+ асяс- с+ асяс — 2+ ° . Используя (5.2.17), получаем отсюда, что корреляпйонная функция процесса авторегрессии Хс равна р (й)=а~"', й=0. ~1, х2, ..., дг. Корреляционная и ковариационная функции Условие устойчивости, или стацнонарности, (5.2.!8) сводится теперь к условию [с»с~ ( 1, так как г',[ й»1 = 1/(! — [ас[). »-е Пример. На рис. 5.8, а показан ряд из 40 членов, полученный согласно уравнению (5.2.26) при сс, - 0,9, Значения чисто случайного процесса Хс брались из таблиц независимых нормальных чисел [7].
При ссс = 0,9 корреляционная функция равна рхх(/с) = =(0,9)~»~. Эта функция становится близкой к нулю лишь при больших значениях /с. Таким образом, соседние точки процесса имеют С,о Р и с. 8.8. Выборки процессов нвторегрессни первого норяякв и нк теоретичеснне корреляционные функции; е) ас +0,9; б) ас= — 0,9, большую положительную корреляцию, например рхх(!) =0,9, и плавный характер ряда отражается в плавности корреляционной функции.
Ряд, показанный на рис. 5.8, б, соответствует случаю с»с= — 0,9. Соседние точки теперь имеют высокую отрицательную корреляцию, так как рхх(я) = ( — 0,9)'»', и корреляционная функция осциллирует от положительных до отрицательных значений, отражая осциллирующий характер ряда. Заметим, что непрерывный процесс авторегрессин первого порядка (5.2.24) может приводить лишь к положительным корреляциям, и поэтому он соответствует дискретному случаю ас ) О. Процесс авторегрессии первого порядка иногда называют марковским процессом первого порядка.
Это обусловлено тем, что случайная величина Хс при фиксированной Хс с не зависит от предшествующих величин Хс ь Хс — з и т. д. Из (5.2.26) видно, что если Хс — нормальный процесс со средним значением 0 и Гл. Д Введение в анализ временных рядов Непрерывные процессы второго порядка. Непрерывный процесс авторегрессин второго порядка можно записать в виде па% + а Х + [Х(1) г"[ Л(1) (5.2.28) диспеРсией оа, то УсловнаЯ плотность веРоЯтности )хп)[хп о(хь х~ г) является нормальной со средним значением агхг г и дисперсией о'. я' 0.2.
Корреляционная и ковариационная функции ческую структуру. Однако период и фазы постоянно изменяются благодаря воздействию случайной компоненты Еь Процесс (5.2.31) можно рассматривать как выход дискретной линейной системы, на вход которой подается чисто случайный про- 3 Можно различать два типа процессов второго порядка. В случае, если хаРактеРистическое УРавнение ааРа+аг)а+1= 0 имеет вещественные корни п,=![Та и па=11Т„уравнение (5.2.28) можно записать в виде Т,Т, "'Х (Т, +Т,) «~ -[- [Х(1) — р] =Е(1). (5.2.29) Если же корни характеристического уравнения комплексны п~= =го„е1а, па=от е уа, то процесс второго порядка можно записать в виде —,, — „„— — — „, + [Х(1) — р[=я(1), (5.2.30) 1 «тХ 2$ «Х где ь=созй. Процессы (5.2.29), (5.2.30) можно рассматривать как выходы линейных систем второго порядка, на вход которых подается белый шум. Например, процесс (5,2.30) соответствует системе второго порядка (2.3.8) нз гл.
2, где вход состоит из непрерывной последовательности случайных импульсов. Отсюда выход Х(1) является непрерывной искаженной периодической функцией. Для того чтобы (5.2.30) имело смысл, необходимо принять, что изменения 3(1) создают разрывные изменения ускорения выхода Х(1). Дискретные процессы второго порядка. Для дискретного времени процесс авторегрессни второго порядка имеет вид Х, — В=а,(Х,, — р.)+аа(Х, т — р)+Л,. (5,2.31) Моделью (5.2.3!) пользовался в 1921 г. математик )Ол. Он утверждал, что при 2, =-0 в (5.2.31) эта модель описывает поведение простого маятника, демпфированного сопротивлением воздуха, пропорциональным его скорости.
Если 21 является чисто случайным процессом, то маятник подвергается случайным толчкам через равные промежутки времени. Вместо затухающих колебаний маятник теперь совершает возмущенное периодическое движение. На рнс. 5.9 показан ряд из 40 членов, полученный по схеме дискретного процесса авторегрессии второго порядка (5.2.3!) при ат=1,0 и оса= — 0,5. Видно, что ряд имеет определенную периоди- ы 0 -2 1,0 лз, 0 Р и с. 5.9. Выборка процесса авторегрессии второго порядка и теоретическая кор- реляционная функция. (5.2.32) для случая оса ) — 4ат. Если оса ( — 4сса, то 1 1 тс 1а1п 2яуо (я + 1)1 а!и 2яУо (5.2,33) цесс Уь Функция отклика этой системы на единичный импульс была введена в равд. 2.3.5. Она равна аЧ-1 лл.а Ь = я1 — га Гл. Д Введение в анализ временных рядов д2. Корреляционная и ковариацианная функции где пе= Келии, по= йе воин.
В гл. 2 было показано также, что длЯ стационарности Х, нужно, чтобы параметры ае и а, из (5.2.31) лежали в треугольной области а,+а (1, а! ао) — 1 (а (1. (5.2.34) Корреляционные функции. Используя (5.2.10) и отклики на единичный импульс, приведенные в табл. 2.6, получаем корреляционную функцию непрерывного процесса (5.2.29): — ~и цт, 7 — !ирт ~е ' — ое Рхх( ) т, — то Аналогично получаем корреляционную функцию непрерывного процесса (5.2.30): — С !и! — 2 (и) е ога (иы У1~ !и!+ т) (5.2.36) Рхх " )' ! — Со где сР = агсз!п у1 — ~о Корреляционную функцию дискретного процесса (5.2.3!) можно получить из (5.2.32) и (5.2.17). Для случая действительных корней она имеет вид и,(! — т.)и! — и (! — и)и!! и для комплексных корней (й) Ф '!сов(2иуВΠ— яо) (5.2.38) Рхх соо то Коэффициент затухания !с, частота !о и фаза сро в (5.2.38) даются выражениями Й ) ао соз 2кЛ = а~/(2 )à — ао ), 1 — йо !89о= ! ! Кил 192ЯУо.
Для ряда, изображенного на рис. 5.9, где ие= 1,0 и ссо= — ОД коэффициент затухания !1=0 71, частота !о=0125 и фаза цоо=18'30'. Корреляционная функция этого ряда построена под самим рядом на рис. 5.9. Видно, что она затухает очень быстро. Из-за большого разнообразия корреляционных функций, порождаемых процессами авторегрессии, они находят широкое применение в качестве моделей для анализа стационарных временных рядов.
Задача оценивания параметров процессов авторегрессии будет обсуждена в равд. 5.4. 5.2.5. Общие процессы скользящего среднего — авторегрессии Этот раздел содержит краткую сводку наиболее важных свойств процессов авторегрессии и скользящего среднего. Общий процесс авторегрессии порядка т для дискретного времени порождается чисто случайным процессом Хе с помошью разностного уравнения (Х, — Р)= (Х,, — Р)+ (Х,,— Р)+ ... ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
