Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Кроме того, будет показано, что этот подход приводит к нычислению по данным таких функций, которые являются естественными выборочными оценками авто- н взаимных ковариационных функций. В разд. 5.3.2 определяются другие выборочные оценки 5.З. Оцениванае ковараационнмя функций автоковариационной функции, а в разд. 5.3.3 выводятся их выбо- рочные свойства. Равд. 5.3.4 и 5.3.5 состоят из обсуждения некото- рых практических вопросов, возникающих при оценивании автоко- вариационной функции.
Предположим, что вместо случайных процессов Х(1) и У(!), являющихся входом и выходом системы на рис. 5.7, имеются лишь реализации конечной длины Т. Тогда модель (5.1.10) можно переписать в виде ОО у(!) — у=) й(и) [х(т' — и) — х] е(и+а(~), 0(Г(Т, (5.3.1) о где х, у — выборочные средние, например т — (е) Ф. о Если предположить, что Х(1) — белый шум, то для непрерывного времени выборочная оценка наименьших квадратов для функции Ь(и) получается с помощью минимизации интеграла от квадрата ошибки: т т! чч 12 Ю- ) з (г)!у! ) ~у® у ) й(и) [х«и) х~ е(и1 ей.
(5.3.2) о д о Если быть более точным„следовало бы оценить и параметр !т,, входящий в (5.1.10). Однако с высокой степенью точности он будет равен величине у, и поэтому для облегчения изложения мы заменим !тт на у до минимизации по функции Ь(и). Ясно, что й(и) можно оценить лишь для 0 ( и ~ Т, но на практике й(и) затухает на довольно коротком участке записи по сравнению со всей длиной. Таким образом, обычно интересуются оценкой й(и) в интервале 0 =' и ( То, где То значительно меньше, чем Т.
Заметим, что, хотя х(!) является реализацией случайного процесса Х(1), принцип наименьших квадратов все же применим, если рассматривать х(т) как фиксированную функцию. Как отмечалось в разд. 4.4.4, знание совместного распределения случайных величин Х(!) не дает ничего для оценнвания й(и) ю. ") См.
примечание переводчика на етр. !54.— Прим. ред. 213 212 Гл. Д Введение в аналое временнйх рядов дд Оаенованае коварааааонних фрнкаай Поступая, как и в равд. 5.1.5, величину 5 можно разложить сле дующим образом: т т ! О е-1!Тю-т!*е -яЦ!Те-т!1! а- )-т!и и ) н-:— о о о Т ! ю н -т,([11! а- ) — т! ! а- ) — т! моя(не е.) а. о о о Меняя порядок интегрирования, получаем т 5= ) [у(!) — у]'Н вЂ” 2Тй) й(и) ~ — „] [х(т — и) — х] )т,' о т х !т ~о -,! 2) е..
Т1 1 мн . ~а [ ' 1 !. а - а -;! х о о Х [х И вЂ” ю) — х] т1! Т(и Дп. Сравнивая (5.3.3) и (5.1.12), мы видим, что в (5.3.3) член т — ) [х(т' — и) — х] [у(т) — у] т(т о аналогичен в (5.!.12) члену Е [(Х(т — и) — р )(1'(!) — р )] =т „(и). Это наводит на мысль определить выборочную оценку взаимной ковариационной функции следующим образом: т с„(и) = — ] [х(т' — и) — х] [у(!) — у] т(т, — Т < и < Т. (5.3.4) о с„,(и)=- Г-) [х(т) — х] [х(С+и) — х] Ж= о т — ~н~ =+ ] [ (с)- ] [ (+.)- ] (, о — Т<и<Т, (5.3.5) так как х(!) = 0 для !(О, !)Т. Аналогично выборочная оценка автоковариационной функции оп- ределяется равенством Равенство (5.3.3) можно переписать в следующей форме: которая соответствует (5.1.12), Таким образом, интеграл от квадрата ошибки полностью определяется, если даны выборочные опенки ковариационных функций и отклик на единичный импульс й(и), точно так же как среднеквадратичная ошибка определялась полностью теоретическими ковариацнонными функциями и откликом на единичный импульс.
Заметим, однако, что, в то время как в подходе со среднеквадратичной ошибкой требовалась стационарность процесов Х(!) и т'(!), метод наименьших квадратов не зависит от этого предположения. Функции х(1) и у(!) могут быть реализациями нестацнонарных случайных процессов. После того как 5 выражена через выборочные оценки ковариационных функций или выборочные ковариационные функции, выборочная оценка наименьших квадратов й(и) получается с помощью вариационного исчисления, как описано в приложении П.5.1. Там показано, что й(и) должна удовлетворять интегральному уравне- нию с „(и) = ] с,„(и — о) й (с) ТЪ, и )~ О, (5.3.7) которое в точности совпадает с интегральным уравнением Вине- ра — Хопфа (5.1.!3), с тем лишь отличием, что функции ухх, ухг заменены на с,, с,„.
Как и прежде, для физической реализуемости й(о) нужно, чтобы й(о) =0 при о(0. 5.3.2. Выборочные ковариацнонные функции В предыдущем разделе мы видели, что выборочная ковариационная функция с,(и) появилась совершенно естественно в качестве выборочной оценки теоретической ковариационной функции ухх(и). Оценку, соответствуюшую (5.3.5), можно записать в виде т-1 и! — [Х(т) — Х] [Х(т+)и!) — Х]ит, 0<|и!<Т, (5.3.8) О, (и!) Т, схк (и) = 5=Тстт(0) — 2Т ) й(и)с т(и)е(и+ Т ) ] схх(и и) "(и)й(~)аие(~ о о о (5.3.6) 21о дд Оценивание ковариационных функций '214 Гл. Д Введение в анализ временных рядов 5.3.3. Свойства оценок ковариационных функций Сейчас мы выведем свойства оценок ковариационных функций с (и) и с' (и), связанные с первым и вторым моментами, предполагая, что сигнал х(() (О ( ( = Т) является реализацией стационарного случайного процесса Х((), обладающего следующими свойствами: (5.3.10) (5.3.1 1) Е (Х(()! =О, Соч (Х(~), Х(у+и)! =т (и), Соч [Х(с)Х(с+и,), Х(п)Х(о+ и )! = = (хх(тз — у) тхх(п — с+ из — и,)+ +Тхх(п с+из)Ухх(п — г — и,)+К,(п — с, и,, из).
(5,3,12) Функция Ке(о — й иг, из) в (5.3.12) является четвертым совмест- ным кумулянтом случайного процесса Х((), так что для нормаль- ного процесса Кь=О. Для других процессов можно показать (8), что при выводе свойств оценок ковариацнй вкладом этого члена где явно подчеркнут тот факт, что х(() = 0 вне (О, Т). Другой оцен кой, которая также широко используется, является т-(и! [Х(~) — Х] [Х((+)и!) — Х! сй, 0([и!..
Т, схх(и) = О, )и!) Т. (5.3.9) Оценки с (и) и с',(и), широко использующиеся главным образом в статистических работах, выбраны по интуиции, а не из-за того, что онн являются наилучшими в каком-нибудь известном смысле. Конечно, в идеальном случае при выборе оценки ковприационной функции нужно было бы выписать функцию правдоподобия наблюденного временнбго ряда. Дифференцируя эту функцию правдоподобия, мы получили бы систему уравнений для выборочных оценок максимального правдоподобия этих ковариаций. Предполагая, что плотность вероятности нормальная, нетрудно выписать функцию правдоподобия, но, к сожалению, полученные в результате дифференцирования уравнения поддаются решению лишь с большим трудом.
Таким образом, приходится пользоваться такими оценками, как с (и) и с' (и), которые, как допускается многими, основаны на интуиции, Однако эти оценки можно сравнить, пользуясь некоторым критерием, таким, как минимальная среднеквадратичная ошибка, и затем выбрать наилучшую из доступных оценок. Такой подход принят нами в следующем разделе. можно пренебречь. Поэтому далее мы отбросим этот член.
Заметим также, что сейчас предполагается Е(Х(()]=0. Эффекты, возникающие, когда допускается ненулевое среднее значение, обсуждаются лишь вкратце. Среднее значение оценок ковариаций. Используя (5.3.11), полу чаем среднее значение оценки ковариации (5.3.8) '-.6 г — !и! т — !и) т: е~„,ия=е[+ 1 хюхаь >а)=+ 1 г,„~~с= о о [ т х(и) (1 — ~ ".~ ), О < ! и ! <Т, О, )и!) Т.
Отсюда )и) ) О, (и!) Т. Аналогично у ( Тхх (и), ! и ! ~ (Т, :в Е['.()1=[ ", (5.3.14) Таким образом, с (и) является несмещенной оценкой чхх(и), с в то время как схх(и) только асимптотическн несмещенная, когда длина записи Т стремится к бесконечности. Однако ниже будет показано, что смещенная оценка имеет меньшую среднеквадратичную ошибку. Ковариация оценок ковариаций. Свойства оценок схх(и) н с' (и), связанные со вторыми моментами, можно вывести, используя (5.3.12), где мы отбросим член Кь Подробный вывод этого результата с объяснением всех приближений дан в приложении П9.! *'.
Здесь дается лишь краткий набросок вывода и результаты иллюстрируются примерами. Ковариация двух оценок**> схх(иг) и схх(из), где аргументами взяты запаздывания иг н из (причем предполагается из)и,)0), равна à — и, с (,„лкь,,„(.з)=с [~ ( хюхуь За, ю Во второй части книги. — Врим. перев. кн Результаты для опенок с~их(и1) и с'хх(ие) получаются из результатов для схх(и,) и схх(ит) с помонгью замены Т иа Т вЂ” )и,) и Т )и,) в знаменателе за знаком интеграла. 216 Гл, 5. Введение в анализ ереленньтл рядов 217 52й Оченивание коеариаиионныл функций т — и, т — О, т — „ — ) Х(о) Х(о+ ив)е(п~ = — ) ) Соч [Х(1) Х(8+и,), о о т-и т —, ! Соч [схх (и~), схк (ит)) = гт ) з [Тхх (и т» (хх (тт т+ о о +и,— и,)+Т ( — 1+и,)Т ( — 1 — и,)] т?!Т? .
(5.3.15) Замена переменных о — 1=г, т=л преобразует область интегрирования из квадрата на плоскости (1, о) в параллелограмм на плоскости (г, з), как показано на рис. 5.11. После этого интегрирование в (5.3.16) сводится к Т вЂ” О 1 Соч [схх(и,), схх(и,)[= —, ~ [» (г)»х (г+и,— и,)+ т <Т 1 + Т„(г+ и,) Т„(г — и,)! йг) с(з, (5.3.17) где пределы интегрирования определяются из параллелограмма на рис. 5.11. Так как подынтегральное выражение не зависит от в, интегрирование по з дает длину ф(г) отрезка на высоте г, а именно Т вЂ” иа — г, г)0, ф(г)= Т вЂ” ит, — (и, — и,)(г~(0, (5.3.18) Т вЂ” и, +г, — (Т вЂ” и,) (г( — (и, — и,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
