Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Заметим, что, хотя данные и подчиняются определенной высокочастотной структуре, предсказать точное значение следующей партии невозможно. Многомерные временные ряды. Во многих случаях представляет интерес вектор к(7)=(х,(7), х,(7), ..., х,(7) ), состоящий нз временных рядов. В этом случае х(7) называют многомерным временным рядом. Так, например, мы имеем двумерный 0 10 20 30 40 $0 60 70 Намер паршаас Р и с. 6.2. Выход продукции и 70 последовательных партиях промышленного процесса.
временнбй ряд в радиолокации, когда хс(1) является «курсовым углом цели» радиолокатора по азимуту, а хх(7) — «курсовым углом цели» по возвышению. Заметим, что эти два временных ряда равноправны в том смысле, что ни один из них не влияет на другой, ибо они характеризуют различные виды движения радиолокационной антенны. Иногда хс(1), ..., хс(7) являются входными сигналами некоторой физической системы, а хс+с(1), ..., хч(1) — соответствуюсцими выходными сигналами той же системы. Например, хс(1) могло бы харгктеризовать скорость потока холодной воды у впускного отверстия в водонагреватель, а хх(1) — температуру потока у выпускного отверстия.
Зная устройство водонагревателя, можно сделать разумный прогноз ряда хх(7) по ряду хс(1). В этом случае временные ряды неравноправны, поскольку изменения хс(7) могут вызвать изменения в хс(1), но не наоборот. 5.! Стационарные и нестицианарные слрнааные процессы 179 178 Гл. б. Введение в анализ временном рлдов 5.1.2. Описание случайного процесса таблица 5.! Выход продукции в 70 последовательных цартиик проыышлеииото процесса 47 — 54 и — »в » — гв »9 — 29 29 -Вб бб — 70 45 54 36 54 48 44 64 43 52 38 39 59 40 57 54 53 49 34 35 54 25 59 50 71 56 37 74 51 58 50 47 64 23 71 38 71 35 56 40 58 23 60 55 41 45 68 38 50 60 5о 45 57 50 62 74 50 58 60 44 57 50 45 65 55 41 59 48 80 Теперь должно быть ясно, что слово «ряд» во временных рядах употребляется весьма вольно для обозначения непрерывных функций времени х(!) или же дискретных последовательностей (х»), упорядоченных во времени.
Слово «время» также употребляется весьма вольно в том смысле, что ! может относиться к некоторому другому физическому параметру, такому, как пространственная координата. Например, при изучении вибрации самолета иногда производят эксперил»енты, в которых датчики деформации прикрепляются к крылу нли к какой-нибудь другой части самолета, н флуктуирующие напряжения в этой структуре измеря»отса на различных высотах полета. Хотя самолет летит в течение некоторого промежутка времени, полученная запись является скорее функцией области в пространстве, пересекаемой самолетом, чем функцией времени.
Временные ряды, зависящие от нескольких переменных. В некоторых случаях ряд является функцией х(!», 1-, ..., 7н) нескольких физических параметров ть 72, ..., !л. В этом случае он называется случайно»л» полем. Например, х(!», В) может представлять измерения локальных флуктуаций магнитного поля Земли в точке с координатами !», 72. В других случаях изучаемый процесс может быть многомерным, а также зависеть от нескольких переменных. Например, геофизики заинтересованы в исследовании соотношения между магнитны д полем Земли х»(!», !2) н глубиной океана хе(!», !2).
Определение случайного процесса. При анализе данных в виде временных рядов возникает необходимость выполнять различные операции над фактическими числами, полученными из некоторого эксперимента. До того как данные собраны, удобно рассматривать их, как это делается во всех статистических работах, как один нз многих наборов данных, которые могли бы быть получены из этого эксперимента. Это достигается тем, что с каждым моментом времени ! в интервале ( — оо ~ ! ~ о) связывается некоторая случайная величина Х(!), имеющая выборочное пространство ( — оо ( (Х(!)(оо) и плотность вероятности !х»»1(х), Кроме того, нужно задать совместные плотности вероятности, относящиеся к любому произвольному набору моментов времени (!», Вь ..., ! ).
Таким образом, временнбй ряд можно описать с помощью упорядоченного множества случайных величин Х(!) ( — оо ~ ! ~ оо) в случае непрерывного ряда и упорядоченного множества случайных величин (Х»), 1=0, »-1, ~2, ..., в случае дискретного ряда. Упорядоченное множество случайных величин называется слу«айныл» процессом. Случайный процесс дает вероятностное описание физического явления, которое развивается во времени по вполне определенным вероятностным законам. Заметим, что выборочное пространство, связанное с одномерным случайным процессом, дважды бесконечно. Оно простирается для каждого момента времени от — оо до +со, и само время изменяется также от — оо до +оо Дважды бесконечное множество функций времени, которые могут быть определены на этом выборочном пространстве, называется ансамблем.
Ансамбль. Наблюденный временнбй ряд х(!) рассматривается как одна реализация бесконечного ансамбля функций, которые могли бы быть наблюдены. Этот один или несколько временных рядов, предназначенных для анализа, рассматриваются как выбранные случайным образом из такого ансамбля функций, наподобие того, как производится выборка лиц среди населения для проведения обследования. Такая выборка должна быть представительной для всего описываемого населения, что следует учитывать, начиная обследование.
Точно так же при работе с временными рядами для ясного понимания вопроса полезно в начале исследования описать точный характер ансамбля, или популяции, типи шым представителем которого считается наблюденный временнбй ряд. Предположим, например, что нужно измерить высоту волн с помсщью передатчика, прикрепленного к бую. Если буй бросают в море случайным образом, то наблюденный временнбй ряд можно было бы рассматривать как один из многих рядов, которые, Гл. 5.
Введение в анализ времеииь!х рядов 180 558 Стаиаанарные и нестачионарныв случааньм проиессь! 181 возможно, наблюдались бы при слегка отличающихся местоположениях буя. Более тщательная проверка, возможно, обнаружила бы, что этот врсменнбй ряд типичен, если принять во внимание конкретное время дия нли время года или жс конкретный район в океане. Чем больше факторов влияют па эксперимент, тем шире становится ансамбль описываемых временных рядов и, следовательно, тем большая осторожность требуется при интерпретации результатов. Х(!) 12 рис. 8.3. Представители внсвмбля, образованного случвйныы процессом.
Во многих практических задачах интересно знать, как изменяются свойства временнбго ряда, когда некоторые внешние условия намеренно изменяются по плану эксперимента. В других случаях невозможно осуществлять контроль над внешними факторами, Например, нельзя управлять солнечной радиацией при изучении ее влияния на статистические свойства атмосферной турбулентности. Тем не менее корреляция статистических свойств временных рядов с этими неконтролируемыми факторами может ока- заться важнейшим выводом, полученным нз анализа рядов.
Основная цель этого обсуждения закшочается в том, чтобы показать следующее: вопрос о том, из чего должен состоять ансамбль возмогкных временных рядов в любой конкретной задаче, должен решаться на основе Разумных научных заключений, а не на основе чисто статистических аспектов. Распределения вероятностей, связанные со случайным процессом. Если ансамбль ясно определен, то поведение временнбго ряда в данный момент времени можно описать до сбора данных с помощью случайной величины Х(!) и ее плотности вероятности (х(о(х) "1, Как подчеркивалось в гл. 3, выбор функции !хи!(Х) является делом здравого суждения или опыта. Аналогично случайные величины Х ((1) н Х ((г),соответствующие двум моментам времени (1 и (2, можно описать с помощью нх совместной плотности вероятности ! „, (хг, хг), которую сокращенно обозначим !'!2(х1, хг). Один из способов интерпретации этих плотностей вероятности состоит в следующем; через отверстие шириной бх1, расположенное около точки хь в момент времени (1 проходят члены ансамбля функций, составляющие от пего долю (1(х1) бхь как показано на рис.
5.3; аналогично через отверстие от х, до х1+ бхг в момент времени (1 и отверстие от хг до хг+ бхг в момент времени уг проходят члены ансамбля, составляющие долю (12(х1, хг) бх16хь Другой полезной функцией является условная плотность вероят- ности Х!2(хь хг) .Уг)1( ! 2) У! (х,) которая читается как «плотность вероятности Хг прн условии Х, = =хг». Таким образом, из проходящих через отверстие от х, до хг+ бх1 в момент (1 членов ансамбля, составляющих от него долю (1(х1) бх1, только часть функций, составляющая от прошедших долю (х1, хг) бхь пройдет через отверстие от хг до хг+ бх. в момент (2. 2~! В общем случае одномерный случайный процесс может быть описан с помощью совместных плотностей вероятности Г Х,1,! Х (1.!...
Х(1„) (Х! Х " Хь) для произволыю выбранного набора моментов времени (1, (, но такое описание могло бы быть довольно сложным. На практике необходим более простой подход, основанный на младших мо ментах. (5.1.1) '! Строго говоря, случайные величины Х(Г) следует опнсыввть ик функциями распределения, твк квк плотности вероятности могут не существовать, но мы не будем обращать нв это внимания, поскольку это несущественно с практической точки зрения, 182 Гл. 5. Введение в анализ времеяиыл рядов дд Стационарные и яестоциониркые слуяойяые процессы 183 Простые моменты случайного процесса. Для любого 1 можно определить одномерные моменты вида Е ((Х (1))') = ) х'У х и, (х) с(х.
(5.1.2) Отсюда очень просто описать случайный процесс, построив функцию среднего значения 12(1) и функцию дисперсии оз(1) в зависимости от времени. Аналогично двумерные моменты Е [(Х(гг)) (Х(сз)) ~ = — ) ) Х~Х',Ухгггхг 1(хп хз)йхгсух2 (5.1.3) можно было бы использовать для описания зависимости между значениями временнбго ряда в двух соседних точках 62 и йь Простейшим из моментов (5.!.3) и наиболее важным на практике яв.ляется аегоковариационная функция в! Тхх(11 Уз)=-Е[(Х(Уг) — р(12))(Х(лз) — р(сз))~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
