Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 9
Текст из файла (страница 9)
4.4. Обобщенные преобразования аналогового фильтра нижних частот в многополосный фильтр О(аоо(а о (ао1(а 1... О<" — П ( Т ' где Т вЂ” период дискретизации. Отсюда следует, что преобразова- ние где А — действительная положительная постоянная, преобразует передаточную функцию аналогового фильтра нижних частот в передаточную функцию.многополосного полосового цифрового фильтра с числом полос пропускания, равным (и — 1). Так, для одной полосы пропускания в главной полосе получается преобразование вида а=ао=соза„Т. Преобразование (4.12) было получено Рэйдером и Голдом [3), но оно не содержало действительной постоянной й, и поэтому его применение требовало предварительной деформации. Включение в формулу константы К как показно ниже, позволяет избежать этой операции. Ю Пусть аналоговый фильтр нижних частот имеет частоту среза Й„а заданные верхняя и нижняя частоты среза полосового цифрового ~фильпра будут а2 и а! соответственно.
Тогда, если =ехр ( — ~вТ), т. е. при условии, что г — ' меняется вдоль окружности единичного радиуса 1'5, 6), имеем а — соя вТ (4.13) ыпвТ ' синтез ~.'~иповых о ильтпов по длнным лнллоговых Фильтров 61 так что точка 0=0 соответствует точке 1 в = — агссокс =а Т ОО1 т. е. воо является центральной частотой полосы. Далее, откуда после упрощений получаем Таким образом, по заданным верхней и нижней частотам среза полосового цифрового фильтра можно найти частоту среза аналогового фильтра нижних частот и постоянную К удовлетворяющую уравнению (4.16). Поэтому нет необходимости предварительно деформировать передаточную функцию аналогового фильтра нижних частот. Теперь, возвращаясь к преобразованию (4.11), можно сделать следующее заключение. Если не з, а 1/з заменить на правую часть выражения (4.11), то получится многополосное режекторное преобразование.
Это может быть сформулировано следующим образом. Преобразование где А — действительная положительная постоянная и О(а 'о(аоо' -а '1( всо<~ — !) ( Т ~ 62 ГЛАВА 4 1 — г ~ г 2 — 2аг д+ 1 ' (4.18) где а =а =СОЗ ВД Т. Я "+"д т со,. — Вдд= — агс1 Д 2,. 2 Нри этом 1+г ~ 5= 1 г-д 1 Г я 2 = — — + — агс10 4, ып а,т сочв,т — а ' (4.20) 1 Гя 2 сод — — ~ — — агс1д Й 1. 2 ~ Т Т с ° ( Я +Я а 2 Вд,— ад= — агс1д Й,. д Т 4.5. Замечания преобразует передаточную функцию аналогового фильтра нижних частот в передаточную функцию многополосного режекторного цифрового фильтра с (и — 1) полосами режекции.
Для случая одной полосы режекции приведенное преобразование принимает вид Если г — ' находится на окружности единичного радиуса, то т (4.19) Центр полосы режекции совпадает с частотой (1/Т) агссоза, т. е. рассчитывается по формуле 1 Вд =Вд, = — агссоз а. т Пусть верхняя и нижняя частоты среза режекторного цифрового фнль1Ра Равны Вдг и он а Й, — частота сРеза аналогового фильтра нижних частот. Тогда должны выполняться следующие соотношения: яп0д Т сочв Т вЂ” а Отсюда получаем формулу которая совпадает с выражением (4.15), а также формулу ~=а,1а ', ' т.
(4.21) Ф Замечания, сделанные для случая полосового фильтра, в равной степени применимы и здесь. Так, нет необходимости в предварительной деформации, поскольку уравнение (4.21) имеет две степени свободы. В разд. 4.3 был рассмотрен и модифицирован метод синтеза цифровых фильтров с применением билинейного преобразования. Затем в разд. 4.4 были предложены два многополосных преобра- синтез циФРОВых ФильтРОВ НО дАнным АИАлОЕОВых ФильтРОВ 63 зования. Одно из них, соответствующее случаю многополосного пропускания, было использовано для получения обобщенной формы преобразования Рэйдера н Голда Щ, ~не требующей предварительной деформации передаточной функции аналогового фильтра.
Из другого преобразования общего вида, соответствующего многополосной режекции, была выведена формула для преобразования с однополосным подавлением. Один частный вид преобразования (4.12) соответствует случаю а=О и /г=1, для которого В этом случае получается математически симметричный полосовой цифровой фильтр. Другой частный вид преобразования имеет место при А 1, когда Этот вид преобразования соответствует преобразованию Рэйдера и Голда [31 н, как следует из приведенного уравнения, служит ограничением при выборе верхней и нижней частот среза цифрового фильтра или частоты среза аналогового фильтра — прототипа фильтра нижних частот. Последнее означает, что при выборе частот среза полосового фильтра необходимо использовать аналоговый фильтр нижних частот с частотой среза, удовлетворяющей приведенному условию. Учитывая также, что мы хотим вос;- пользоваться таблицами фильтров (для которых 0,=1), перед преобразованием типа Рэйдера и Голда следует предварительно преобразовать аналоговый фильтр нижних частот в другой аддалоговый фильтр нижних частот.
ГЛАВА 4 4.-7. Пример (4. 23) Требуемый цифровой фильтр Частота среза Замена 5 на Пояснения 1 — г-з й 1+г 1 ,Т й = асс1а 2 Нижних частот / 2д 6105.1 ~ ( 2д8,810а 1 1+ г-~ й 1 — г-~ озсТ ~с1н ' с Верхних частот ( Я -~-Я ) г з — 2аг-1 1 — г-' Полосовой оззэ о з ° центральная частота озо й = йсс1я сб = со5 ИТ ~ж Т а— 1 — г з г-' — 2аг-'+ 1 Режекторный ОЗ1, ОЗа> центральная частота озо /2я 6105~ 1 — г1 ~~32.105 2 / 1+г ' а соз ейоТ 5 Заказ № 5сО Пусть в формулах (4.12) и (4.18) 1 =О.
При этом выражение (4.12) принимает вид .=в(,'+,') (4.22) Из сопоставления формул (4.22) и (4.6) следует, что преобразование (4.22) может быть получено из (4.6) путем замены ~ ' на ( — ~ — '). Этот результат очень важен, поскольку он приводит, как было показано в работах 16, 7), к частному случаю математически сим метр ич ного полосового ф ильтр а. Аналогично от преобр азов ания (4.18) при замене ~ — ' на г — ' можно перейти к случаю полосовой режекции: (Ясно, что в обоих преобразованиях констаиты й одинаковы.) Итак, приведенные соотношения позволили получить два частных вида спектральных преобразований из плоскости э в плоскость ~ †'. Таблица 4.1 Преобразования передаточной функции аналогового фильтра нижних частот с частотой среза Й, из плоскости 5 в плоскость г — ' синтез циФРОВых ФильтРОВ пО дАнным АнАлОГОВых ФильтРОВ 66 4.6.
Сводные данные по, преобразованиям В табл. 4.1 приведены все случаи преобразований н соответствующие им р а счетные фор мулы. Эти преобразования, которые являются по своему характеру алгебраическими, могут быть использованы независимо от того, представлена ли передаточная функция аналогового фильтра в виде суммы элементарных дробей или равна отношению полиномов от э. Рассчитать цифровой фильтр нижних частот Чо следующими параметрами: Частота среза 6 кГц Переходная частота 8,8 кГц Максимальное ослабление в полосе пропускания 1 дБ Минимальное ослабление в полосе непропускания 30 дБ Частота дискретизации 32 кГц Допустимые границы характеристики ослабления цифрового фильтра изображены на фиг. 4.3,а.
Для расчета соответствующих параметров аналогового фильтра воспользуемся соотношением (4.10) . Переходная частота 01 равна Поэтому допустимые границы характеристики ослабления впало' гового фильтра принимают вид, представленный на фиг. 4.3,б. Отметим, что частотные оси на фиг. 4,3,а и б связаны нелинейным соотношением. Из фиг. 4.3, б и таблиц передаточных функций [8, 9] находим, что указанным границам удовлетворяет следующая передаточная функция: 1 + п5 (1 +- О5) (1 + С5+ Й5') где а=0,25517931, о= 1,793438, с=0,4066687, д=0,9845149.
Характеристика ослабления фильтра с такой передаточной функцией приведена на фиг. 4.3, б. ' э Теперь искомое преобразование (4.10) примет вид ГЛАВА 4 иа Р ф са 2 1 го 40 во Иго ,О 10 оъ3 о 10 1г И 1В 1В 20 кГЦ ~о ~~ 3 ~Я еа г ЛИТЕРАТУРА 1О 1,0 1,5 2,0 2,5 З,О рад/с или я = 1,4966058 1 +4!г-' Фиг. 4.3. а — заданные границы характеристики ослабления; б — характерисгика ослабления реализуемого фильтра.
Таким образом, заменив переменную в в Н15) на полученное выражение, получим ~ (х) — ~1( (В) ~ а 1,49бббба (1 — а-1)/(1+а-1) > или (1+ г 1) (1,571558+ 0,856884г-'+ 1,571558г ') (3,684070 — 1,684070г ')(3,813767 в 2,410288г-т + 2,596521г ') СИНТЕЗ ПИ''ГОВЫХ ФИЛЬТРОВ ПО ДАННЫМ АНАЛОГОВЫХ ФИЛЬТРСЗ. 67 Характеристика ослабления рассчитанного фильтра приведена на фиг. 4.4. Там же для сравнения нанесены заданные границы характеристики ослабления.
Фиг. 4.4. Характеристика ослабления цифрового фильтра. 1. Кио Р. Р., Ка1зег Л. Р., Яуз1е(пз Апа!уз!а Ьу Р!дИа! Соп)ри(ег, ()й!еу, 1966; есть русский перевод главы 7 Кайзера Д. «Цифровые фильтры» в книге Голда Б. и Рэйдера Ч. «Цифровая обработка сигналов», изд-во «Советское радио», 1973.
2. Сто!реп К. М., Ка!зег Л. Р., Рез!дп о1 ЮЫеЬап(1 Яап)р!е(1 )ла(а РИ(егз, ВЯТ1, Чо!. 43, Раг1 2, 1533 — 1546 (1964). 3. Яа((ег С. М., (до!с1 В., Майа! МеИю(1з 1ог Яап)р!е(1-Ра1а Р!11егз, Ргосее(1!пауз Р1гз1 А!!ег1оп Соп1егепсе оп С1гсщ1 ап(1 Яуз(егп ТЬеогу, !963, рр. 22! — 236. 4. (до!б В., Ка((ег С. М., П!гт!1а! Ргосезз!пд о1 5!арпа!з, МсСгга~ч-Н1!1, 1969; есть русский перевод: Голд Б., Рэйдер Ч., Цифровая обработка сигналов, изд-во «Советское радио» !973 5. Сопз(ап(!пЫез А. (2., Рте((иепсу Тлапз1оггпа(1опз 1ог Р!дИа! Р!1(егз, Е1ес1гоп 1е11егз, 3, № 11, 487 — 489 11967).
6. Сопз1апнпЫез А. О., Рге((иепсу Тгапз1оппанопз 1ог Р!дна! Р!Иегз, Е1ес1гоп 1е11егз 4 № 7 115 — 116 11968) 7. Сопз1апнпЫез А. О., Р!р1а! Р(Иегз (п Рте()иепсу 1)!ч!з!оп МиИгр!ех Те!ерЬопе . Яуз1еп)з, КезеагсЬ Г4ерог1, ТЬе СИу 1Лп!ч., 1 оп(!оп, Липе 1969. 8. »аа! К., Пег Еп1тчиг1 чоп Р!Иегп пи! Н(Не ((ез Ка(а!одев Ь!оггп!ег1ег Т!е1раззе, Те!е1ип1сеп А(д, 1967. 9. СЬг!91!ап Е., Е!зепгпапп Е., Р)Иег Рез!дп ТаЫез апд (дгарЬа, 77Иеу, И. 'г'., 1966. 111>Ямо1и синт1;3 11иФРОВь1х ФильтРОВ 69 А.
Константинидис 5.1. Введение (5.1) Угтвая часпюта (5.2) так что у„+ у„= 2 соз Оу„ и, следовательно, Глава 5 ПРЯМОЙ СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ' Как и при синтезе аналоговых фильтров, задачу прямого синтеза цифровых фильтров можно разделить на два этапа: 1) прямой синтез цифровых фильтров нижних частот; Фиг. 5.1. Характеристика идеального фильтра нижних частот. 2) прямой синтез цифровых фильтров верхних частот, полосовых и режекторных фильтров по передаточным функциям фильтров нижних частот.
Это разделение значительно упрощает задачу синтеза, так как, если передаточные функции фильтров верхних частот, полосовых и режекторных фильтров можно получить из передаточных функций фильтров нижних частот, достаточно разработать методику синтеза фильтров нижних частот. Идеальная амплитудная характефйстика цифрового фильтра ' нижних частот имеет прямоугольную форму (фиг. 5.1). Однако квадрат амплитудной характеристики физически осуществимого фильтра, как будет показано ниже, является действительной рациональной функцией от 1д~ (оТ/2) .
Таким образом, задача синтеза сводится к нахождению неко- горой функции, аппроксимирующей идеальную амплитудную ха-. рактеристику в заданном смысле. Такой подход к синтезу является прямым, поскольку, начиная с определения идеальной ам- плитудной характеристики, используемые данные имеют' отношение только к цифровым фильтрам. В зависимости от способа аппроксимации этой идеальной характеристики искомые передаточные функции классифицируются следующим образом: 1) максимально гладкая, или аппроксимация Баттерворта; 2) чебышевская аппроксимация [2]; 3) эллиптического типа [3]; 4) обобщенная полиномиальная аппроксимация [5]; 5) параметрического типа [6].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
