Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Если ((1) =О, то модуляции нет и отсутствует выходной сигнал; если же ~(1)— постоянная, на выходе будет только несущая. Таким образом, импульсная дискретизация имеет те же свойства, что и модуляция с подавлением несущей. 2.4.
Преобразование Лапласа дискретизованного сигнала В линейных, непрерывных (т. е. не дискретизованных) системах с сосредоточенными параметрами временные функции часто имеют вид суммы экспоненциальных составляющих: и т ~Я=а,е' '+а,е''+... =~~ аде'~' ~ )О, (2;4) 1=! ~ (~) = О, 1 ~ О, где зА — полк ы преобразованного в комплексную плоскость сигнала, кот.рые могут быть либо действительными, либо представлять собой комплексно-сопряженные пары, а. е А — обычная форма этих составляющих. ГЛАВА г 22 23 что эквивалентно (з — з) Т=О, (2.11) т. е. з=з», или (з„— з) Т=-+- )и2л, (2.1 2) (2.5) (2.13) 2Т =2л.
(2.14) (э — ал) Р»(з)= ~ Фиг. 2.6. Расположение полюсов для днскретизованной экспоненты или как У (5) Р() О() ' (2.15) У (э)) Вычет= 1~ (Б) ] 5 $. (2.16) (2.9) (2.10) Отсюда вычет= а»/Т для всех и. Х аке'" Ь(~-пТ) = ак (ЗЮ+е'" 8(~-Т)+ЕцтЯ-2Т л=О Фнг. 2.5. Импульсная дискретизация одиночного экспоненциального сигнала. Рассмотрим импульсную дискретизацию одной составляющей ~»(1) =а»е'»' (фиг. 2.5).
Дискретизованный сигнал будет описываться выражением л со ЯЯ= ~~) , 'а»е'»'Ь(( — иТ)= л О =а„[Ь(1)+е'» Ь(( — Т)+е» Ь(1 — 2Т)... ], которое представляет собой сумму задержанных (запаздывающих) импульсов с комплексными коэффициентами а»е'» ', а»е"», .... Поскольку преобразование Лапласа запаздывающего импульса выражается как ХЬ (1 — и~)=е — т то преобразование дискретизованной экспоненты можно записать в виде ~..( Ре() 1+ а»т — ьт+ г~»т гт+ (26) Р ( ) а» . а» (2.7) — зт (я» — а) т при ~]ео» ')т ~ (1.
Полученный результат можно сравнить с преобразованием соответствующего аналогового сигнала Ха»е'»' = (2.8) (э — а») 2.5. Представление дискретизованных сигналов в комплексной плоскости Для преобразования Лапласа обычной дискретизо(ванной экс- поненты а» Р» (з) (1 — 5) Т 1 — Е» полюсы находятся из условия (Я» — 5) Т е =1, ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ДИСКРЕТИЗАЦИИ И Я-ПРЕОБРАЗОВАНИИ )л2п т.
е. з=з -+- » Т э — Оо < и(оо. Эти результаты изображаются на плоскости з (фиг. 2.6) полюсом з», который соответствует непрерывному сигналу, и множеством дополнительных полюсов, расположенных на одной линии через л„ интервал 2п(Т. Этот интервал соответствует частоте дискретизации Й, заданной соотношением Поскольку функция Р» содержит бесконечное число полюсов, ее можно записать в общем виде с помощью суммы +со где з — полюсы, а коэффициенты : Ь„являются вычетами в полюсах.
В случае когда Р(з) дредставляется отношением полиномов вычет в простом полюсе з; определяется выражением Применяя это соотношение к Р», получим Вычет= ", ],, +;„г„~т, +,ло — оо (и(с;.э. ( . 7) 2.1 Те» ВВ1-Д(-:ИИВ В Т1:ОРИГО ДИСКРГТИЗАШ(И И а-ПРВОВРАЗОВА11ИИ 25 ГЛАВА 2 24 Следовательно, '() Т вЂ” (ай — Ф) + 1 з — (Яй -1- 1пй) а — (ав — 1'пй) 1 1 + + Р— М а — (ай+ Ф) (2.18) (2.19) (2.20) Фиг. 2.8. Расположение нулей и полюсов и частотный спектр дискретизованного сигнала. а — расположение нулей и полюсов; б — частотный спектР. получаемый иа мнимой оси. +со — Р (я+ ~пн1 (2.23) Ф Таким образом, эффект дискретизации состоит в том, что конфигурация нулей и полюсов дискретизованного сигнала является суммой конфигураций нулей и полюсов исходного сигнала, повторяющихся в плоскости з через интервалы )й. Следовательно, частотный спектр, оцениваемый на мнимой оси, является суммой исходных спектров Г ()(о), расположенных через интервалы ) й '(фиг.
2.8,6). Когда повторяющиеся конфигурации нулей и полюсов складываются, полюсы оказываются в тех же точках, где они были в конфигурации исходного сигнала, а нули занимают другие положения: они оказываются в точках, н которых сумма повторяющихся конфигураций равна нулю. Для полного непрерывного сигнала 7" (1) = а,е"'+ а,.е"'+... а„е' ' преобразование Лапласа записывается в виде 1(з)= — '+ — '+ - .
-— Я вЂ” 51 5 — Ба Я вЂ” Юй Фиг. 2. 7. Расположение нулей и полюсов и частотный спектр непрерывного сигнала. После приведения к общему знаменателю получим Р т ъ С(5 — Яа) (Я 5Ь) (а — 51) ( — ) . ° . (2.21) где числитель дает нули Р(г), г=б„гь, ..., показанные на фиг. 2.7. Нули — это такие значения г, при которых сумма составляющих превращается в нуль.
Отметим, что частотный спектр РЦ(о) можно получить, вычисляя Р(г) в виде суммы или произведения на мнимой оси в плоскости г. Если теперь дискретизовать сигнал )(1), то соответствующее ему преобразование Лапласа будет иметь вид йа ай ()= („,) + („,, 1 - ° ° ((, . (2.22) — е~ В плоскости г каждая составляющая сигнала представляется множеством полюсов, расположенных на одной линии через интервалы )й. Следовательно, полюсы г'*(г) расположены так же, как и полюсы Р(г), но повторяются с интервалом 1Я (фиг.
2.8,а). Каждый член суммы (2.22) дает Р*(з) = — ' т 1 а — (зт — (й) 'а, 1 + Т 1с а — (л, — 10) ау, 1 + Т ~ 8 — (5й — 1Й) Т можно представить в виде ряда, что 1 1 я — ат я — (51 + /Й) 1 1 5 — а, а — (а +10) + + 1 1 (сй + /Я) + ' + г(з)+~(з+Ф)...1= ГЛАВА 2 26 (2.24) еат Е(а+йа) т (2.26) то иль>а Плбогбппь е ая Ьх 2.6. Восстановление сигналов. Теорема отсчетов Поскольку при дискретизации сигнала в общем случае происходит перекрытие спектров, результирующий сигнал на произвольной частоте а; (фиг. 2.9) представляет собой сумму многих составляющих, складывать которые необходимо с учетом их фаз, что приводит к громоздким вычислениям. Если же для упрощения учитывать лишь несколько перекрывающихся спектров, то точ- Фиг.
2.9. Представление сигнала на произвольной частоте. ность результатов может быть сомнительной. По этой причине в дискретных системах частотные методы не нашли такого широкого применения, какое они имеют в аналоговых системах. Увеличений частоты дискретизации Й раздвигает спектры и уменьшает их перекрытие. Как видно из фиг. 2.9, спектр дискретизованного сигнала содержит спектр исходного сигнала Р(~в). В этом состоит отличие от процессов модуляции, при которых спектр исходного сигнала на выходе отсутствует. Таким образом, исходный сигнал в принципе можно восстановить с помощью фильтрации.
Это, очевидно, можно сделать идеально лишь при выполнении следующих условий: 1) спектры не перекрываются; 2) фильтр имеет идеальную прямоугольную характеристику, поэтому полностью пропускает Р(~в) и подавляет все другие спектральные составляющие. Условие 1 требует, чтобы в спектре Р(1в) не было составляющих на частотах выше й(2, и тогда спектры не перекрываются Фиг. 2.10. Восстановлен'" игнала и теорема отсчетов. о — условие, необходимое для восстановления сигнала; б — требуемая характеристика фильтра. Введ-ние В теоРию дискРетизАЦии и а-пРеОБРАзОВАний: -" '" 27.. (фиг.
2.10); Условие 2 не может быть. полностью выполнено, по-" скольку любой реальный фильтр не имеет идеальной характеристики типа показанной на фиг. 2.10,6 и всегда несколько видоизменяет Е(1в). Эти рассуждения показывают, что теоретически можно идеально восстановить сигнал с ограниченным спектром по его выборкам, если частота дискретизации й превышает 2х (х — наивысшая спектральная составляющая сигнала). В этом состоит суть теоремы отсчетов. Эффектом дискретизации можно пренебречь в том случае, когда на вход низкочастотной системы поступают сигналы, дискретизованные с относительно высокой частотой. Ф 2.7.
Соотношение между плоскостью з и плоскостью ъ. е-преобразования В разд. 2.3. установлено, что преобразование Лапласа дискре- 5 Т тизованного экспоненциального сигнала е а имеет вид Р() ° т ° т,'а' ' где член е — ат дает бесконечное множество полюсов в плоскости г. Чтобы облегчить анализ и трактовку результатов, удобно сделать замену е'т=.г, или е 'т = г-1 (2.25) которая приводит к соответствующему е-преобразованию Р(е), РаССМатРИВаЕМОМУ В ПЛОСКОСТИ Е.
СЛЕДУЕТ ОтМЕтИтЬ, Что Š— ат СООтветствует задержке на один интервал дискретизации Т в плоскости я, тогда как е — ' означает такую же задержку в области е. По- скольку ] г] =е'т, ~ г=вТ, (2.27) и тогда точка гА в плоскости г отображается в точку ВА в плоскости е (фиг. 2.11,а). Фиг. 2.11. Соотношение между плоскостью г и плоскостно и. л соотношение между аА н аа., б — единичная окружность в плоскости л.
ГЛАВА (2.28) и так как ~ г ~=енот, (2.29) езт (2.32) (2.33) ' чивая (2.34) (2.35) (2.36) Рассматривая .угол яь получим.е и',. И й — л<.~.г~< +л при — л<вТ(л или — — <в<— то путь вдоль мнимой оси в плоскости я на фиг. 2.11,6 отображается в единичную окружность в плоскости е, так как а равняется нулю на мнимой оси и, следовательно, ~ е ~ = 1. При этом полоса Фиг. 2 12. Отображение плоскости з в плоскость г.
а — преобразование г-ез: б — полюс днскретизованиой экспоненты. 5Т . шириной ьг в плоскости я при отображении перекрывает всю плоскость е, и все последующие полосы из плоскости з отображаются в ту же плоскость е. Строго говоря, эти полосы отображаются в последовательность поверхностей Римана, которые накладываются в плоскости е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
