Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В настоящем разделе будут рассмотрены фильтры нижних частот, принадлежащие к 1-й группе, и предложены методы их синтеза. Первый шаг к прямому синтезу цифрового фильтра состоит в том, чтобы показать возможность построения передаточной функции по заданной амплитудной характеристике фильтра. Рассмотрим общий вид квадрата амплитудной характеристики цифрового фильтра. Амплитудная характеристика. Передаточная функция цифрового фильтра, как было показано в гл. 3 [уравнение (3.4)], равна ~~~~ а,г — ~ (~)= ~, Г Г При г ' сов аТ вЂ” )'з1п аТ она,принимает вид «~а~соагаТ вЂ” 1 ~~«а, а1п гаТ 6(гпТ)— !~~ 11~ соа ГаТ вЂ” 1 '«' 11~ а1п пйТ Рассмотрим выражение у„=созлО, где и — целое. Отсюда у„,=соз(п — 1) О=созпОсозО+з1плОВ1п О у„|=соз (и+ 1) О=соз пО соз Π— з1п пО з1п О, у„„=2 соз Оу„— у„,.
(5.3) Учитывая рекуррентность соотно.пения (5.3), а также начальные условия у,=1 и у1 — — сов О. приходи ° . выводу, что у является действительным полиномом от сов О. ГЛАВА 5 Рассмотрим также ПРЯМОИ СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ 71 и„=яп пО. Тогда Поэтому 脄— и„, =2 я1п О соя п0=2 яп Оу„, (5.6) Х дг СО5г ВТ г Х Ьг со5'вТ г Подставив 1 — 1д' (вТ/2) соя ЮТ= 1 + 1««1 ( получим ')' а, 1~2' (вТ(2) <6(оТ) ! '— рг 1я1г (вТ/2) г (5.4) 1я — (2л+ 1) д = -~- оо, (5.8) и„,=ЫП(л+1) О=яппОсояО+соялОяпО, и„,=яп(л — 1) О=я<п пОсояΠ— сояпОяпО.
и так как у„— полипом от соя О, то и„должно иметь вид яп ОХ Х(п м ° О). С учетом этих результатов вернемся к выражению (5.2). Видно, что действительные части числителя и знаменателя являются суммами косинусов углов, кратных шТ, и, следовательно, могут быть представлены в виде полиномов от соя аТ. Мнимые части равны суммам синусов углов, кратных аТ, и поэтому они будут иметь одинаковый коэффициент я!ПгоТ, который умножается на полиномы от соя юТ. В результате выражение (5.2) можно переписать. следующим образом: Х сесо5'вТ вЂ” 151п вТ Х 4г со5'вТ 6 (вТ) Х ег со5'вТ вЂ” 1'51п в7 Х1'гсо5'вТ так что квадрат амплитудной характеристики имеет вид ~ сг со5 в7 + (1 — со51 вТ) Х Йг со5 в7 !6(аТ) !'— Х ег со5г вТ ! + (1 — со5' вТ) ( Х ~г со5г вТ г / ~ г ,где а„и р„— действительные постоянные коэффициенты.
Таким ',образом, квадрат амплитудной характеристики цифрового фильт- ра может быть выражен через действительную рациональную функцию от 1д~ (вТ/2). Выражение (5.4) всегда можно записать следующим образом: !6(ит) ! „„,,в,. (5.5) где е — действительная константа, а Р' (в) — действительная рациональная функция от 1д2(аТ(2). Эта форма записи особенно удобна для описания характеристик фильтра. Ниже мы будем рассматривать только фильтры нижних частот, предполагая, что фильтры верхних частот, полосовые и режекторные фильтры можно получить из низкочастотного фильтра- прототипа. Итак, числитель и знаменатель Р'(о) обязательно имеют степень оп, так что числитель и знаменатель 6(г — ') являются функциями от г — ' одного и того же порядка, совпадающего с порядком передаточной функции фильтра.
5.2. Полиномиальные цифровые фильтры нижних частот Выше было показано, что в общем случае квадрат амплитудной характеристики имеет вид 6~2 ! ! «1 + е1Рь (в) Под «полиномиальными фильтрами» мы понимаем фильтры, для которых функция Р'(в) в формуле (5.6) выражается в общем виде как и Р'(и)=~а,1ц" < ), (5.7) г О где 1д (аТ(2) — аргумент характеристики фильтров нижних ча- стот, а,— действительные постоянные коэффициенты.
Так как выражение (5.6) с функцией Р~(в), имеющей вид (5.7), должно аппроксимировать идеальную амплитудную харак- теристику, то для обеспечения заданной формы !6!' на выраже- ние (5.7) могут быть наложены некоторые специфические ограни- чения способа аппроксимации. Прежде чем приступить к оценке различных видов Р'(о), рассмотрим общую форму этого полино- ма, задаваемую выражением (5.7), и сформулируем его основные свойства. Легко увидеть, что на всех частотах, равных (2п+1) (йд/2), 'где Й~ — угловая частота дискретизации (и, следовательно, также на граничных частотах Найквиста), имеем пРямОи си11тез циФРОВь!х ФильтРОВ 7З 72 ГЛАВА 5 Р (.)=о 1д ° ", (5.9) а=[>1>" ( ' )] 1д,'(вТ/2) 1+ ~ 1а<в,т/2) (5.1 1) у-1 Р (5.12) т.
е. Р'(1В) =а1а'"— (5. 10) вТ и=О и =1а ~ (5.13) так что на этих частотах Р~(в) стремится к бесконечности, а амплитудная характеристика равна нулю. Далее, когда 1д (вТ/2) ~)1, зависимость (5.7) имеет характер и, так как 1д (аТ/2) — монотонная функция частоты о, Р2(в) и, следовательно, ~6!' будут монотонными функциями в. Последнее означает, что Р'(в) будет монотонно неограниченно возрастать, а ! 6)~ — монотонно уменьшаться до нуля на частотах (2п+1) йд/2. Очевидно, что ] 6] ~, определяемая выражением (5.6), периодична по о с периодом 2и/Т=Я~.
Ввиду этого можно ограничиться рассмотрением одного периода, например главной полосы ( — й„/2, й„/2), для которой можно отметить следующее. Квадрат амплитудной характеристики ! 6 ! ~, описываемый формулой (5.6) с функцией Р~(в) в виде (5.7), монотонно уменьшается, начиная с некоторой частоты о„и равен нулю на Рд/2. Сформулированное свойство интересно сравнить с аналогичным свойством аналогового фильтра нижних частот, для которого Р'(й) является действительным полиномом от в~, неограниченно возрастающим на бесконечности, начиная с некоторой определенной частоты. Последнее означает, что передаточная функция аналогового фильтра этого типа и-го порядка имеет нуль и-го порядка на бесконечности, тогда как передаточная функция цифрового фильтра и-го порядка имеет выполняющий ту же функцию нуль и-го порядка на частоте Найквиста.
Разделив главную полосу на полосы пропускания и непропускания, приходим к выводу, что выбор Р~(в) в виде суммы (5.7) приводит к монотонному изменению амплитудной характеристики цифровых фильтров нижних частот в полосе непропускания. Однако поведение в полосе пропускания должно быть оговорено в начальных условиях и может быть монотонным баттервортовского типа, чебышевским с равновеликими пульсациями и т. д. В заключение отметим, что в пределе, когда число членов суммы (5.7) неограниченно возрастает, выражение (5.6) стремится к выражению для идеальной частотной характеристики. Ф 5.3.
Синтез монотонных цифр8вых фильтров Баттерворта нижних частот Простейшей нетривиальной формой Р~(в) ~см. (5.7)) является где а — действительный постоянный коэффициент. Эта функция монотонна и в полосе пропускания, и в полосе непропускания. В этом случае амплитудная характеристика фильтра нижних частот описывается -формулой ! 1 + а1а1П 2 причем постоянная а, определяемая из условия получения на ча- стоте среза в, ослабления в 3 дБ, равна В результате квадрат амплитудной характеристикк рассматриваемого фильтра принимает вид > Для этого уравнения справедливы следующие соотношения: 1) ~ 6 (О)! = 1, 2) ~ 6 (в,)! = 3) 6 —" =О.
Итак, в диапазоне частот главной полосы амплитудная характеристика (5.11) монотонно уменьшается от единицы до нуля, нацоминая в этом смысле характеристику аналогового фильтра Баттерворта нижних частот. Для того чтобы синтезировать цифровой фильтр нижних частот с рассматриваемой амплитудной характеристикой, необходимо найти положение его полюсов на плоскости 1 — '. С этой целью введем вспомогательную переменную где р=и+/о. Так как я — '=е — 1"т соответствует окружности 1В-1] =1, то вспомогательная переменная р при условии, что у — ' лежит на этой единичной окружности, принимает вид ГЛАВА 5 Следовательно, 1 — и~~ 1+2и+и', ' — 2и У ==т ( — 1)" Р +1=0.
(5.15) 1 -1-2и+ о' ' Следовательно, для четных и х —,, ] р — г1 Е1л (2г+1),г2л г с г=О, 1, 2,..., (2л — 1), а для нечетных и Р,= и е1'"~" г с г=О, 1, 2,..., (л — 1). Итак, для четных и 0 (5.14) Поскольку 1а Вт г-'=Х+ 1У Р=и+ 1О, так что г- =х+/у=в 1 — (и +!и) 1+ (и+уо) и, следовательно, г 1 — (и~+ о') Ф х= (11 и)11 Р— 2о г=О, 1, 2,..., (2п — 1). (1+ и)'+ о1 На плоскости р полюсы функции (5.11) будут совпадать с корнями уравнения ГДЕ Ос=1д (асТ(2), а (Вс — ЗаДаииаЯ ЧаСтОта СРЕЗа. ОтСЮДа / 2г+ 1 г с ~, 2л о,=о я~п( — ') и / 2г+1 г с ~ 2л Ф г=О, 1, г,..., (2л — 1), а для нечетных п нужно в этих формулах заменить (2г+1)/2и на гlп. Параметрические уравнения (5.14) описывают окружность на плоскости р радиусом ос с центром в начале координат.
Рассмотрим, в какую кривую эта окружность отображается на плоскости е — ' с помощью преобразования (5.12). Пусть Но для отображаемой окружности и'+ п2 =о,'. ПРЯМОЙ СИНТЕЗ ЦИОРОВЫХ ОИЛЬТРОВ откуда соотношение между х и у принимает следующий вид Оно также описывает окружность радиуса 20а с центром С, имеющим координаты радиус окружности и координаты ее центра оказываются равными р =1д(а,Т), С (вес а,Т, 0). Используя .формулы (5.14) и (5.15), определяем искомые (положе- ния полюсов фильтра Баттерворта нижних частот: х, 1 — 21д соя л+ 1к- 2 1а 2 п 2л и 1 — 2(д 2 со~ 2л я+1к Эти выражения справедливы для четных и; при нечетных и в них следует (2г+1)/2п заменить на г(п и учесть,.
что г принимает значения О, 1, 2, ..., (и — 1). Таким образом, синтез проводится в следующей последовательности: 77 прямои синтез ЦИФРОвых ФИЛЬТРОВ ГЛАВА В 0 0 0 ~1=4,5/0,9=5 к1 ц, (осТ 1 4,5л 10 1д (1 + 1, 18'") = 60, откуда 6 Э о, =з1п 0 =ь ~5,02732, 0 -+- у1,49660. г= 0 1 2 3 4 5 6 7 1) По заданным характеристикам рассчитывается порядок фильтра и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
