Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Степень искажения идеальной характеристики на произвольной частоте может быть точно определена в каждом конкретном случае путем расчета Е(е1 ~) из последовательности отсчетов ошибки в формуле (6.6). Полезная оценка среднеквадратической ошибки ~Е(е1" ~) ~~ может быть легко получена при статистическом анализе эффекта квантования [11. Заметим, что ~Е(е~ ') ~'=Е(е~"')Е*(еР ), где * означает комплексную сопряженность. Заменив Е(е~" ~) с учетом формулы (6.4), получим Ф вЂ” 1 Ф вЂ” 1 ~Е(Е1"Г) ~'=~~ ńŠ— л1'"Г ~~ Е Ел1"'Г = л=О л=О Ф вЂ” 1 й =~~ ~е„+ Перекрестные члены. л О Если сделать обычно принимаемое предположение о некоррелированности последовательных отсчетов ошибки, то среднее значение перекрестных членов будет равно нулю, и среднеквадратическая ошибка может быть аппроксимирована математическим ожиданием л О Если, кроме того, предположить, что ошибка имеет равномерное распределение в пределах — ЕО/2(е„(ЕО/2, то Ео л— и, следовательно, ~Е(е — 1аг) ~2 у 12 Таким образом, результирующая частотная характеристика будет аппроксимировать идеальную со среднеквадратическим отклонением (ЕО/2)4И)3.
Следует подчеркнуть, что это отклонение имеет вероятностный смысл, и поэтому иногда действительное отклонение на некоторых частотах будеч больше. Тем не менее это весьма полезная, легко рассчитываемая величина, дающая оценку ИМПУЛЕСНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОНЕЧНОГ1 ДЛИТЕЛЬНОСТИ 6.9. Проектирование иерекурсивных фильтров методом частотной выборки Метод частотной выборки формулируется полностью в частотной области и поэтому весьма удобен для проектирования фильтров на основе их частотного представления. Частотная характеристика У-каскадного,нерекурсивного фильтра задается выраже> нием Ф вЂ” 1 Н(е~"")=~~ ~Ь„е — 1" '.
л=О (6.4) Пусть эта характеристика дискретизируется по частоте с интервалом ЦМТ Гц. Если обозначить отсчеты частотной характеристики через НО, Н1, Н,, ..., Н~ 1, то Ф вЂ” 1 Н вЂ” Н (ег2"'/1У) = ~ Ь„е — 1"'"'~~. l (6.8) л О Это соотношение, связывающее импульсную характеристику с частотными отсчетами, является дискретным преобразованием Фурье. Импульсная характеристика может быть получена обратным дискретным преобразованием Фурье действительной и мнимой частей частотных выборок (т.
е. их амплитуд и.фаз): Ф-1 ~~Р Не1'~л Я. л г-О Расчет импульсной характеристики может быть произведен с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ). (Теория и применения дискретного преобразования Фурье и БПФ подробно обсуждаются в гл. 7.) Если нужно найти У действительных коэффициентов импульсной характеристики,- как записано выше, то для этого, исходя из соображений симметрии спектра, достаточно взять У/2 комплексных, независимых отсчетов частотной характеристики с интервалом ЦИТ Гц вплоть до частоты наложения Ц2Т Гц. Это позволяет однозначно задать импульсную характеристику нерекурсивного фильтра, а его частотная характеристика будет в точности равна заданным отсчетам в Ф/2 точках.
максимально достижимого затухания .в,„полосе.. непропускания фильтра, т. е. там, где идеальная частотная характеристика .до-. стигает нулевых значений. ИМПУЛЬСНЬ1Е ХАВАКТЕРИСТИКИ КОНЕЧИОП Д ЧИТЕЛЬНОСТИ ГЛАВА В 94 актеристики..Например, уровень боковых лепестков характерирак р стики фильтра нижних частот на фиг. 6.10 может быть неприем е- лмым.
Если достаточно взять меньше чем Ф «фиксированных» отсчетов частотной характеристики, то оставшиеся свободные отсчеты можно варьировать с целью поиска минимума какого-либо гп о, о, -16а а,1 — 1ВО воо 75Р юоп 1а5о аполло 15оп Частота, Гц — гоо -гго о Фиг. 6.11. Фильтр ннжннх частот с нмпульсной характеристикой конечной длительности, У= 128 121.
параметра фильтра. Эти свободные отсчеты берут обычно в переходных полосах и варьируют так, чтобы получить минимум боко-. вых лепестков в полосе непропускания. Наличие отсчетов в переходной полосе приводит, естественно, к ее расширению. Этим приходится расплачиваться за уменьшение боковых лепестков. Рэбинер и др.
[2~ использовали эффективный алгоритм минимизации для вычисления значений отсчетов в переходной полосе рИда фильтров нижних частот и полосовых фильтров; в результате были получены частотные . характеристики типа показанной на фиг. 6.11, Прнмер 4. Нерекурсивный фильтр имеет 30 отводов и'частоту синхронизации 3 кГц. Необходимо получить частотную характеристику фильтра нижних частот с частотой среза 700 Гц. При 30 отводах можно выбрать 15 точек частотной характеристики с интервалом 1500/15=100 Гц, не доходя 100 Гц до частоты я 0,6 СЛ 0,5 ~ о ФР,З ЕЭ. Фиг.
6.10. Частотная характеристика фильтра нижних частот, заданная 15 отсчетами. наложения 1,5 кГц. Поскольку частота среза фильтра нижних частот должна быть 700 Гц, идеальная прямоугольная характеристика дискретизуется так, что все отсчеты вплоть до частоты 700 Гц имеют одинаковую величину, а все другне равны нулю (фиг. 6.10). Если с помощью обратного ДП<Ф этих отсчетов рас:читать соответствующие значения 30 весовых коэффициентов, то частотная характеристика полученного фильтра будет иметь вид, показанный на фиг. 6.10.
Эта характеристика проходит через 15 заданных точек и имеет, как и требовалось, срез на частоте ГОО Гц. Хотя частотная характеристика фильтра, подобного рассмотренному выше, принимает заданные. значения в точках отсчетов, нежду ними она может недопустимо отклоняться от идеальной ха- -~п 3 -Бп $ -вп Е -1аа К, -1га Я- -ча 1пюю гююп тпю ~пап яаю Частппа, Гц ГЛАВА 6 ИМ1!.~ЛЬС1!ЫГ ХА!'АКТЕРИСТИКИ КОИ!:Ч1!СП ДЛИТЕЛ!эИОСТИ 97 '"' '1~ 6.10.
Временные окна Общепринятый подход к расчету нерекурсивных фильтров состоит в аппроксимацин импульсной характеристики ~бесконечной длительности идеального фильтра импульсной характеристикой конечной длительности. Непосредственное усечение идеальной ха- 1,0 0,9 0,7 0,5 В РЭ4 $ 0,З 0,2 0,1 1Ю З00 и~о Юа то ИЮ ЮЮ0 тоИ50та Фасаоаа,Гц Фиг. 6.12. Частотная характеристика фильтра нижних частот со взвеп1енной импульсной характеристикой. рактеристики эквивалентно умножению на прямоугольное временное окно, в результате чего в частной области имеет место явление Гиббса, проявляющееся в нежелательных выбросах в точках резких переходов идеальной частотной характеристики.
Этот эффект типичен и для фильтров, синтезируемых методом частотных выборок (фиг. 6.10). Умножение импульсной характеристики на временное окно соответствует свертке частотной характеристики с преобразованием Фурье для окна. Тщательный выбор формы окна позволяет сгладить частотную характеристику и значительно уменьшить пульсации.
В литературе рассмотрены свойства ряда временных окон ~[2 — 4]. Пример. Пусть дана частотная характеристика фильтра, показанная на фиг. 6.10. Воздействие простого временного окна на уровень боковых лепестков можно продемонстрировать умножени- ем импульсной характеристики на окно типа «косинус с аь!едесталом»: 11 + соз (2Л1//!/Ту = е — ! 2лцит+ ] + е+12л$(ит 1 1т 1 2 Точка отсчета 1=0 соответствует здесь средней точке конечной импульсной характеристики, что предопределяет использование симметричного временного окна.
В частотной области этому соответствует свертка частотной характеристики Н(ез' т) (фиг. 6.10) с преобразованием Фурье для окна, причем это преобразование в рассматриваемом случае является простым линейным спектром из трех составляющих с весами '/2, 1, '/~ на частотах — 1//!/Т, О, +1//!/Т соответственно. Результирующая частоткая характеристика ~Н,(е!' т) ~ показана на фиг. 6.12. Она определяется выражением Н, (е! Г ) Н (е1' ! -2 'лгг1 Г ) + Н (е!'" Г) + — Н [е!' !"+~лР1Г ! Г) 2 2 Хорошо видно, что исходная характеристика (фиг. 6.10) оказалась сглаженной таким образом, что пульсации боковых лепестков значительно уменьшились, но одновременно вдвое расширилась переходная полоса.
6.11. Реализация фильтров Существует три основных способа реализации фильтров с конечными импульсными характеристиками: 1. Прял1ая свертка. При этом определяют импульсную характеристику, и фильтр рассчитывается непосредственно по формуле (6.2) . 2. Быстрая свертка. Свертку выполняют как обратное преобразование Фурье произведения ДПФ импульсной характеристики и ДПФ части входных данных.
Для эффективного расчета ДПФ используют алгоритм БПФ (гл. 7). 3. Способ частотных выборок. Отсчеты частотной характеристики берут в качестве весовых коэффициентов на выходах ряда параллельных цифровых резонаторов (гл. 8). В заключение следует подчеркнуть, что и основные характеристики, и возникающие при синтезе проблемы одинаковы для всех фильтров с импульсными характеристиками конечной длительности независимо от способа реализации фильтра. Упражнения 1.
Выходные отсчеты нерекурсивнсго фильт"= получаются путем усреднения текущего и предшествующего входных отсчетов. При условии, что период синхронизации равен 100 мкс, найдите: 7 Заказ № 53! ГлАВЛ а а) Выражение, связывающее выходной и входной,сигналы. б) Импульсную характеристику. в) Частотную характеристику. (Представьте графически амплитудную и фазовую характеристики и сравните с простым дифференциатором, который был рассмотрен в этой главе.) г) Положение нулей на нлоскости а-' (графичесюи). 2. При условии, что на вход фильтра из задачи 1 поданы: а) последовательность ..., 1, 1, 1, ...; б) дискретизованный по времени и амплитуде синусоидальный сигнал частоты 5 кГц, удвоенная амплитуда которого равна 2, определите выходную последовательность, непосредственно используя частотную характеристику, полученную в п. 1,в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
