Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Проверьте расчетным путем несколько выходных отсчетов, используя выражение, полученное в и. 1, а. ЛИТЕРАТУРА 1. Веппе1 ~Ч. й., Ярес1га о1 Япап11зед Я~па1з, ВБТ1, 27, 446 — 472 (1948). 2. Ра1нпег 1.. К., йо1с$ В., Мсйопе8а1 С. А., Ап Арргоас)т 1о 1)ье Арргох1гпа11оп РгоЫегп 1ог Йопгеснгэгче Р1р1а1 Е111егз, 1ЕЕЕ Тгапк оп Аиггсо апгг Егес1гоасоизггсз, А11-18, № 2, 83 — 106 (1970).
3. Ка1зег 1. Р., Ир1а1 Й11егз, 1п: Буз1ет Апа1уз1з Ьу Жр1а1 Согпрн1егз, Кно Р. Р., К~а1зег 1. Р., ейз., ~Ч11еу, И.'1г., 1966, СЬ. 7; есть русский перевод: Кайзер Д., Цифровые фильтры, приложение к переводу книги: Голд Б., Рэйдер Ч., Цифровая обработка сигналов, изд-во «Советское радио», 1973. 4. Не!гпз Н. Р., Иопгеснгз1че Ргр1а1 Р111егз: Рез1дп Мейойз 1ог Ас)неищ Брес111- са11опз оп Ргег)непсу Кезропзе, 1ЕЕЕ Тгапз. оп Аиро аль Егес1гоасоиз11сз, АЦ-16, 336 — 342 (1968). Г~гава 7 МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Р.
Коутс 7.1. Дискретное преобразование Фурье гд ффи иенты разложения Х~(п) зад~~ы формулои Х,(п)= — ~ хв(1) ехР( — 2 1п1'о1) "1. 1 1" о (7.2) Дискретное преобразование Фурье определяет линейчатый спектр дискретизованной периодической функции времени. Обратное дискретное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию времени по ее спектру. Эти преобразования обычно сокращенно называют соответственно ДПФ и ОДПФ. ДПФ служит для анализа периодических функций, и его можно получить исходя из теории рядов Фурье [1]. Пусть хо(1) — непрерывная периодическая функция с периодом Р и частотой 1о —— =11Р так что х (1) = х, (1 + тР), т — целое.
Функцию хо(1) можно разложить в ряд Фурье: +со х (1)= ~~~ Х (п)ехр(2л1п1,1), 0<1< Р, Обычно хо(1) является действительной функцией, и тогда Х,(п)— комплексные (но это ограничение не обязательно). Поскольку мы рассматриваем х, как функцию времени, то Хо(п) можно назвать комплексным спектром хо(1).
По действительной и мнимой частям Х,(п).можно найти амплитуду и фазу составляющих, образующих колебание хо(1). Рассмотрим дискретизацию периодической функции хв(1). Для того чтобы эту функцию можно было дискретизовать однозначно, в ее спектре не должно быть составляющих с частотой, выше некоторой частоты 1,, т. е. Х (п)=0, ~п~)п„ где п1 — целое значение и, задающее частоту 1,: п11о =11. методы пРеОБРА30ВАния ФуРье ГЛАВА 7 Известно, что поэтому А( — 1 Х(а)= — ~ хе(й)ехр( ~ ) ~-о получим А( — 1 Х(а) = х ~' ,х(й)ехр( ). А-О (7.4) (7.5) А — 1 х ( — ) -~ хе( — ) 6(~ — Й) (7.З) и аналогично или На фиг. 7.1 показаны такой ограниченный спектр и колебание, которому он соответствует.
В соответствии с теоремой отсчетов, рассмотренной в гл. 2, интервал дискретизации Т равен Т— 21'1 2п)7р 2п, так что число отсчетов на период будет 2п,=И, Л Фнг. 7.1. Периодическая функция хр(1) с ограниченной полосой частот н ее спектр Хр(л). В результате дискретизации получаем периодическое, нормализованное относительно Т колебание вида Это колебание определено на интервале, равном его периоду, т. е. при 0<1(р Поскольку х(г/Т) — периодическая функция, для расчета коэффициентов ряда Фурье используется соотношение (7.2): А( — 1 Х(а)=х ( х(т)ехр( х т )а(т).
0 (Замена Р на У в делителе и пределах интегрирования соответствует переходу к нормализованной переменной.) Подставляя выражение (7.3), получаем Х(а)= х 1 2.' «,(т )е(т — )е)ехр(,ч т) '( т). А 0 Окончательно с учетом того, что по определению Х (те) Хр (~) е Соотношение, связывающее х(й) с Х(п), может быть получено непосредственно из формулы (7.1), если подставить 1=ИТ и учесть, что при ограниченной ширине спектра функции хо(1) сумма содержит конечное число членов.
Итак, Следует заметить, что х(й) — периодическая функция, т. е. х (Й) =х (Й+ тУ), т — целое, Х(п) =Х(п+тЛ/), т — целое. Тот факт, что спектр является периодическим, объясняется периодичностью спектра любой дискретизованной функции, а его дис- гллвл 7 102 МЕТОДЫ ПРЕОБРЛЗОВЛНИЯ ФУРЬЕ Хо (и) хЯ ехр (2л//)д() =97. Тогда х (й) = Х1 Х (и) % ь, А =О, 1, л о 1 — аерирд — — 1 Х(п) 7.2.2. г-мериое ДПФ -1О -З О +З +1О и Х (Й1р р"2р Фиг.
7.3. Соотношение между коэффициентами ряда Фурье н ДПФ. Фд — 1 Ф~ — 1 =Х Х п о г Х(и1, П, ° ° °, и )= Фд-1 Л~~-1 Х Х П Л( ад-о а,-о кретный характер связан с тем, что сама дискретизуемая функция также периодическая. Итак, при дискретизации периодической функции хо(1) соотношение (7Х) позволяет по выборкам хо(1) найти спектр Х(п), который на интервале О(п(М вЂ” 1 в точности равен спектру Хо(п) исходной периодической функции.
Функция х(А) и ее спектр графически представлены на фиг. 7.2. Поскольку соотношение (7.4) Фиг. 7.2. Дискретизированная периодическая функция х(А) и ее периодический спектр Х(п). получено на основании теоремы отсчетов, оно является точным и экономичным (при расчетах) эквивалентом исходного интегрального соотношения (7.2) и может быть использовано для вычисления коэффициентов разложения на ЦВМ. Соотношения (7.4) и (7.5) будем называть дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) и обратным дискретным преобразованием Фурье (ОДПФ) соответственно.
Заметим, что переменная п меняется здесь от нуля до М вЂ” 1. Получаемый спектр -можно интепдгфетировать следующим образом. Первые ()д(/2 — 1) точек Х(п) -соответствуют ()д(/2 — 1) спектральным линиям Хо(п) на положительных частотах, как показано на фиг. 7.3, а последние ()д(/2 — 1) точек Х(п) соответствуют ()д(/2 — 1) спектральным линиям на отрицательных частотах. Пара преобразований, заданная соотношениями (7.4) и (7.5), встречается и в другом виде. Например, множитель '/)д( и знак минус у экспоненты могут быть записаны как в прямом, так н в обратном преобразовании, общий смысл при этом не меняется.
Естественно, спектр в этом случае нельзя непосредственно отождествлять с тем, который определен формулой (7.2). Иногда оба преобразования приводятся с одинаковыми множителями (1/)др')'~'. 7.2. Теоремы и свойства дискретного преобразования Фурье 7.2.1. Одномерное ДПФ Экспоненты в ДПФ и ОДПФ принято записывать в сокращенном виде'1 М вЂ” 1 Х(п) — Х х(А) à — "'", и=О, 1,..., М вЂ” 1.
ДПФ, как и преобразование Фурье, можнг обобщить на г-мерный случай: Ф, — 1 Х м, Я7"~.ь~Я7ф - . ° Я7 Х(п и, ° ., п ), г г Х я~ — рддьдя~ — р~а~а.. Лд г гХ(ф ~ ... )р ) рУд ЛРз г а -о г А„п,=О, 1,...,М,— 1 при я=1, 2...,, г. 7.2.3. Использование ДПФ для вычисления ОДПФ Формулу ДПФ, если в ней произвести перетасовку членов и ввести масштабный коэффициент, можно использовать для вычисления ОДПФ.
Это позволяет использовать один алгоритм для вычисления обоих преобразований. '> Заметим, что некоторые авторы используют эксйоненту с отрицательным. ддоказателем. ГЛАВА 7 104 105 (7.6) Представим ДПФ в виде ряда х(0)у +х(1)11!'.— +... + х(у — 1)117 (у 11 Х (л)— МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Таким образом, в общем случае Ф вЂ” 1 Ф вЂ” 1 — х(~) у* (~) = ~) ! Х (и) У* (и). и изменим запись порядков х(Ф вЂ” 1) 11!' ~~! !!" -1- х(Ф вЂ” 2)'11~ <~! ~!и + + х(0) 11!е Х(п) х — х х (у 1) 11! Ип)17+и + х (ф — 2) 11!' А~и ф'+2п 1- ! х (О) фг — Фпр +Фи но (ехр ( — 2щп) ~1 для целых и.
Тогда Х (и) х(0) Юе+ х(Ф вЂ” 1) 11"+и+ .. + х(1) 1~ т. е.'имеет форму ОДПФ. Итак, для получения ОДПФ массива Х(п) достаточно все члены, кройе Х (0), поменять местами: Х (1) с Х (М вЂ” 1), Х (2) с Х (М вЂ” 2), а затем сумму умножить на № 7.2.4. Теорема Парсеваля Пусть даны две функции времени х(й) и у(й) с соответствующими ДПФ Х(п) и У(п).
Поскольку Ф вЂ” 1 у(ф)='~~ ~1~(п)Я7и~, ~=0, 1, ф — 1 п-о то у~ (~г) = ~~1~ ~У* (и) Я7 п о Тогда среднее значение почленного произведения последовательностей х(А) и у*(А) равно М вЂ” 1 М вЂ” 1 М вЂ” ! Ф вЂ” ~~ ~х(й)у*Я= — ~~ ~х(Й) '>, 'У*(п)Яà — ™. А-О п-о Изменяя порядок суммирования, получаем Ф вЂ” 1 Ф вЂ” 1 И вЂ” ! — Г* (и) '), 'х(й) Я7 — "а='), '1'*(и) Х(п).
и-о а-о -о А-О и-о В частности, если положить у(й) =х(~~), то х(~)хе(р) =1х(ь) !' и И вЂ” ! Ф вЂ” 1 — ~ х (й) ~ ' = ~~ ~~ Х (и) ~ '. (7.7) ~-о п-о Полученный .результат известен как теорема Парсеваля. Она показывает, что средняя мощность дискретизованной функции времени равна сумме мощностей отдельных спектральных составляющих и не зависит от их фаз. 7.2.5. Ортогональность Свойство ортогональности для дискретных рядов можно сформулировать следующим образом: М, если п(п!ОйМ)= — р, (7.8) О, если п(гподМ) ~ — р. Выражение п(тода)=а означает, что и представляет собой число, которое после многократного деления на М дает остаток а.
Например, 12(!под 5) =2. Такая запись эквивалентна требованию, чтобы п=аИ+а, а — целое число. Первое из равенств (7.8) легко доказывается, так как при п(1пой М) = — р имеем п=аИ вЂ” р и Я7тпЯ7итр Я7таМ е т. е. каждый член суммы Утаи Ь и суммирование М членов дает № Чтобы показать справедливость второго равенства, достаточно заметить, что Я7тиЯ7тр — ' 147пф где р — целое число, не равное нулю и не являющееся множителем № Тогда, во-первых, ~ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
