Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 11
Текст из файла (страница 11)
2) Находится положение полюсов на плоскости г — ' и выбираются те из них, которые лежат вне единичного круга. 3) Из равенства (5.8) следует, что точка я — '= — 1 является нулем и-го порядка. С помощью этого нуля и найденных на предыдущем этапе полюсов формируется искомая передаточная функция. Рассмотрим следующий пример. Пример. Рассчитать цифровой фильтр нижних частот с максимально гладкой амплитудной характеристикой, имеющей частоту среза 4,5 кГц.
Переходное отношение должно быть равно 0,9, ослабление на переходной частоте лучше 60 дБ. Частота дискретизации равна 18 кГц. Расчет порядка фильтра и. По переходному отношению и частоте среза вычисляем переходную частоту откуда го!=2т4 =10л крад/с. Далее, Следовательно, для переходной частоты получаем Берем ближайшее целое п=4. Равенство 1д (а,Т~2) =1 означает, что шолюсы в плоскости р лежат на единичной окружности и в соответствии с (5.14) их координаты равны Они имеют следующие числовые значения: И,.
О,. ~ 0,92388 ~- 0,38268 -+- 0,38268 ~- 0,92388 В плоскости,г — ' полюсы будут располагаться на мнимои оси и иметь координаты хр' Уг 0 -+- 0,19891 -~- 5,02732 -~- 0,66818 -~- 1,49660 расположение полюсов в плоскости я показано Сразу же отметим, что четыре из них лежат внутри круга единич- Фиг.
5.2. Расположение полюсов фильтра. Баттерворта с л=4 в Т л/2.- ного радиус, а и са, а остальные четыре — вне его. Таким образом, устойчивость ц"фрового фильтра обеспечивается следующими полюсами: 78 79 ГЛАВА З ПРЯМОИ СИНТЕЗ цифРОВЫх ФИЛьтроВ Расчатньй Формулы Праооразованна тав фильтра ( ~ — а ) а г-' — а Нижиих частот =.,„Р+" т 1 — аг-' -('-,") а г-'+ а Верхиих частот „,( Р+ ')т 1+аг 1 2ай г а — г 1+ 1+1 й+1 Полосовой й — 1 2ай Ь+1 — й+1 — в-а — — г '+1 2а 1 — й г-' — — г-1+— -1+й 1+й Режекториый 1 — л 2а 1+А' 1+1' Б 7 1 В 4 5 Часаптц кГц Каждая пара этих - полюсов" образует квадратный трехчле1~ с нулевым коэффициентом при я — '.
Поэтому трехчлен от я-', соответствующий паре пол1осов ( — 0,38268~-10,92388) в плоскости р, будет равен 9, = 1,23464г-'+ 2,76536, а для другой пары полюсов (0,92388-+10,38268) в этой же плоско- сти 9, =0,15224г-'+ 3,84776. Не еобходимо также учесть, что фильтр 4-го порядка должен иметь нуль 4-го порядка в точке я — '= — 1.
Итак, искомая передаточная функция равна ~ (г-')=К ~ 1 ал где К вЂ” константа нормализации. Нормализуя на нулевой частоте в=0 (для нее я — '=1), полчаем , полу- 1=К— откуда К= 1. Амплитудная характеристика рассчитанного фильтра изображена на фиг. 5.3. Фиг. 5.3. Амплитудиая характеристика фильтра Баттерворта с л 4, вот л/2. Аналогично можно синтезировать цифровые фильтры Чебышева и эллиптические (фильтры,Кауэра) ~1 — 3~. 5 4 Частотные преобразования [4] Наиболее эффективный метод синтеза фильтров верхних частот, полосовых и режекторных фильтров по данным низкочастотного фильтра-прототипа состоит в использовании частотных преобразований.
В табл. 5.1,пр~иведены преобразования, необ- Таблица 5-1 Преобразоваиия цифрового фильтра-прототипа иижиих частот с частотой среза р , щ*+щ т а = сов вот = -("-,") = 1я * т1д 2 ходимые для перехода от заданного- цифрового, фильтра нижних. частот пс фильтрам других типов.
Некоторые частотные преобразо- вания иллюстрируются па фиг. 5.4.. 81 80 ГЛАВА 5 1,0 Е = 0,5 1,О 1,О ЛИТЕРАТУРА 0,5 0 1 2 3 4 5 Частота, кГц в Упражиеиим 6 Заказ № 550 0 1 2 3 а 5 О 1 2 3 4 5 Частота, кГц Частота, кгц а г 0 1 2 3 4 5 О ! 2 3 4 5 Частота, кГи Частота, ко б д Фиг. 5.4.
Примеры частотных преобразований. а — исходный фильтр-врототнп нижних частот; б — преооразоваииый фильтр нижних частот; г — фильтр верхних частот; г — полосовой фильтр; д — рсжекториый фильтр. 1. Найдите каноническую форму фильтра с передаточной функцией Ю 6(г)= где а — действительное число, по модулю меньшее 1. Найдите амплитудную и фазовую характеристики и объясните их форму. 2. Передаточная функция имеет на плоскости 21 — ' пару комплексно-сопряженных полюсов в точках ~2ехр(~-~л/4) и нуль 2-го порядка в точке 21 — '= — 1. Найдите выражения для передаточной функции и амплитудной характеристики.
ПРЯМОЙ СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ 3. Требуется, чтобы при частоте дискретизации 16 кГц цифровой фильтр нижних частот имел частоту среза 3 кГц. Ослабление в полосе пропускания должно быть не более 1 дБ, а в полосе непропускания, начиная с частоты 4,4 кГЦ и выше, — не менее 30 дБ. Используя соответствующие таблицы для аналоговых фильтров и применяя билинейное я-преобразование, получите выражение для передаточной функции искомого цифрового фильтра. 4.
Замените в передаточной функции, полученной в задаче 3, все элементы задержки я — ' на — 21 — '. К какому изменению амплитудной характеристики это приведет? 1. Сто!6 В., Кадег С. М„Пр1а1 Ргосезз!пд о! Яапа!з, Мс(згачг-Н1!1, 1969; есть русский перевод: Голд Б., Рэйдер Ч., Цифровая обработка сигналов, изд-во «Советское радио», 1973. 2.
Сопз$ап11шдез А. О., Бупйез1з о1 СЬеЬузЬеч Ид11а! Е114егз, Е1ес!гоп !.е!!егв, 3, № 3 (МагсЬ 1967). 3. Сопз1ап11пЫез А. й., Е1!ар!!с ЕИрЫ Б!1егз, Е!ее!гоп !.е!!егз, 3, № 6 ()ипе 19671. 4. Сопз1ап11пЫез А. О., Зрео1га! Тгапз!огпи11опз 1ог Пдйа1 Р114егз, Ргос. !ЕЕс, 117, № 8 (Аид. 1970); есть русский перевод: Константинидис А., Спектральные преобразования для цифровых фильтров, ТИИЭР, 117, № 8 (1970). Ь.
Сопз1апЫВЫез А. О., Рапи!у о1 Еан1прр1е 1очлразз 01дйа1 Е111егз, Е1ес!гоп 1-е!!егз, 6, № 1~! (Мау 1970). 6. 0есгку А. О., Яуп(Ьезтз о! Кесшяче 01дйа! Ра11егз 1.)эапц Фе М1п1пнпп р-Еггог Сга4ег1оп, 1ЕЕЕ Тгапв. ои 4исйо апг! Е!ес!гоасоив!!сз, А11-20, № 4 (Ос1. 1972). Глава 6 Линия задержки с отводами<И Ътводов) Анаяоеовый вход 6.1. Введение Аналоговый вход хЩф д вой д у~~т) = Ьох~~ т)+Ь,хУ-~) т')+,, .+Ь„, х~Я- И-~) т~ (6.1) ФИЛЬТРЫ С ИМПУЛЬСНЫМИ ХАРАКТЕР ИСТИ КАМИ КОН ЕЧ НОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ Г.
Локхат Эта глава является первой иэ нескольких глав, посвященных фильтрам с импульсными характеристиками конечной длительности. К таким фильтрам относятся фильтры, реализуемые в нерекурсивной форме, а также фильтры на основе частотных выборок (гл. 9) и дискретного преобразования Фурье (гл. 8) . Основные методы проектирования, которые будут рассмотрены, применимы во все~этих случаях. Несмотря на то что фильтры с импульсными характеристиками конечной длительности реализуются при большем объеме памяти и часто при большем числе арифметических операций по сравнению с рекурсивными фильтрами определенных типов (гл. 3), они обладают рядом преимуществ.
Эти фильтры всегда устойчивы и проектируются на основе заданной импульсной характеристики. Легко реализуются фильтры с симметричными импульсными характеристиками и, следовательно, со строго линейными фазовыми характеристиками. Наличие связи между импульсной характеристикой и частотной характеристикой через дискретное преобразование Фурье позволяет использовать некоторые процедуры оптимизации при проектировании этих фильтров в частотной области.
6.2. Аналоговый и цифровой траисверсальные фильтры Как известно, аналоговый трансверсальный фильтр состоит из многоотводной линии задержки, ряда взвешивающих резисторов и сумматора (фиг. 6.1). Выходной сигнал получается в результате суммирования задержанных и взвешенный входных сигналов. Так, если х(1) — сигнал на входе линии задержки с У отвода- ми, то на выходе будет сигнал и+1 у (1) = ~ .Ъ„х (1 — пТ), и О где Т вЂ” время задержки между отводами в секундах и Ьв, Ьн ..., Ь~ ~ — постоянные весовые коэффициенты, определяющие конк- ретную операцию фильтрации. Поскольку для получения у(г) из ИМПУЛЬСНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОНЕЧНОИ ДЛИТЕЛЬНОСТИ. уй) =Ь,х(К)+Л,х(~-т~-~-- -+И х (т-<И вЂ” ~)т~) Э Фнг.
6.1. Трансверсальный фнльтр. х(г) используются лишь задержка, умножение на константу и суммнрованис, рассматриваемый фильтр является линейным и, подобно любой линейной цепи, может быть описан импульсной и частотной характеристиками. Цифровая реализация линейного трансверсального фильтра возможна при условии, что входной сигнал предварительно днскретизуется по времени и квантуется по уровню (фиг.
6.2). После- Фнг. 6.2, Цнфровой трансверсальный фнльтр. ГЛАВА 6 показан на фиг. 6.3. Импульс Инсаровой вход фетвой ход Ло~"! - Ьи-1 Фнг. 6.4. Отклик на единичный импульс. 1) Т~ . 2, 2,1„.. цирровой выход у(вТ)- Фиг. 6.3. Простейший дифференциатор. "' довательность чисел, вырабатываемая аналого-цифровым преобразователем (обычно в двоичном коде), поступает на Ф-каскадную линию задержки (сдвиговый регистр), где числа сдвигаются на один каскад каждые Т секунд под воздействием тактового импульса.
Часть схемы между Х и У (фиг. 6.2) — это чисто цифровой фильтр, поскольку все операции здесь выполняются в цифровом виде и как х(1еТ) на входе, так и у(АТ) на выходе являются числовыми последовательностями (1е=... — 1, О, +1, ...). Входная последовательность может рассматриваться как дискретизованный по времени и преобразованный в цифровую форму входной аналоговый сигнал, хотя в действительности она может иметь и другое происхождение.
Величина выходного отсчета уЯТ) связана с входной последовательностью соотношением И вЂ” 1 у (1еТ) = ~~~ Й„х [(Й вЂ” п) Т1. (6.2) л О Это равенство эквивалентно соотношению (6.1), устанавливающему свяЪЬ между входом и выходом аналогового трансверсального фильтра. Необходимо, однако, отметить, что при цифровой реализации точность весовых коэффициентов ограничена длиной слова и, кроме того, при умножении в дискретной форме возникают ошибки округления. (Ошибки округления могут интерпретироваться как шум; их совокупное воздействие иа работу фильтра анализируется статистическими методами. Этот подход обсуждается в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
