Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Параллельная реализация од В иг. 3.10. Канонические формы на основе цепных дробей. Фиг. 3.9. Параллельная реализация. где все коэффициенты являются действительными и постоянными. Нуль или полюс первого порядка можно получить, приравнивая нулю коэффициенты квадратичных членов в соответствующих дробях. Отбирая дроби с квадратичными числителем и знаменателем и рассматривая их как отдельные передаточные функции, исходную передаточную функцию [выражение (3.8) 1 можно реализовать путем каскадного соединения биквадратных форм.
Это соединение показано на фиг. 3.8 и называется каскадной каноначеской формой. Другая каноническая реализация может быть получена в случае, если передаточную функцию вида (3.4) разложить на элементарные дроби следующим образом: л 6г= уог + у!!з ~ (г)=Уо+~ ! р,, 'Р,, 1=1 где до, уоь у!!, 1=1, 2, 3, ..., и, являются постоянными коэффициентами. Реализация для этого случая показана на фиг. 3.9. Дру- гие формы представлены на фиг. 3.10. ЛИТЕРАТУРА 1. Кадег С, М., 0о1д В., Р1р1а! Ргосезз1пд о1 Ядпа!з, Мсйга~ч-Н1И, 1969.„ есть русский перевод: Голд Б., Рэйдер Ч., Цифровая обработка сигналов, изд-во сСоветское радио», 1973. Глава 4 СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ПО ДАННЫМ АНАЛОГОВЫХ ФИЛЬТРОВ А.
Константинидис синтез циФРОВых Фильтров по дАнным АнАлОГОВых ФильтРОВ 55 . Так, Кайзер. [1» и Гоулден и Кайзер [2» полагают, что вме----- сто аппроксимации оператора интегрирования 1/з с помощью разложения, возможно, выгоднее синтезировать цифровые фильтры путем преобразования передаточной функции аналогового фильтра в плоскость я. Метод билинейного преобразования в том виде, как его предложил Кайзер и использовали некоторые другие авторы [3», изложен В разд.
4.3. Он рассматривается как отображение плоскости з в плоскость ~-', и на этой основе выводятся преобразования общего вида. Билинейное преобразование как метод синтеза цифровых фильтров описано многими авторами. Цель настоящей главы состоит В том, чтобы пересмотреть это преобразование, модифицировать его и предложить многополосное преобразование общего вида, из которого могут быть получены более простые преобразования,. Будет показано, что преобразование Рэйдера и Голда является частным случаем предложенного общего преобразования. Методика синтеза цифровых фильтров путем преобразования аналоговых фильтров в цифровые идентична стандартным методам синтеза аналоговых фильтров в плоскости г и поэтому знакома большинству инженеров.
Однако главное преимущество предложенных методов заключается в том, что цифровые фильтры могут быть синтезированы по таблицам аналоговых фильтров, заданным в плоскости г. 4.1. Введение Исторически разработка и применение аналоговых фильтров предшествовали появлению цифровых фильтров, поэтому при создании последних было вполне естественно обратиться к имевшейся обширной литературе по методам синтеза аналоговых фильтров.
Один из подходов к синтезу цифровых фильтров заключался в замене (в передаточной функции выбранного аналогового фильтра) оператора интегрирования 1/з разложением в ряд, а его степеней разложениями более вь~оких порядков. В литературе по численному анализу можно найти много различных разложений. Эффективное разложение 1/г достигается, например, при использовании формулы Грегори-Ньютона, правил Симпсона, трапецеидальной аппроксимации и т. д. Применительно к цифровым фильтрам (т. е.
фильтрам, оперирующим с дискретиз~ванными сигналами) наиболее подходящей оказалась трапецеидальная аппроксимация, но не из-за «близости» аппроксимации, а благодаря присущим ей свойствам отображения. 4.2. Косвенный метод синтеза цифровых фильтров 1 Постановка задачи По заданной передаточной функции аналогового фильтра (т. е. пто действительной рациональной функции от г), используя функциональное соотношение, найти передаточную функцию цифрового фильтра (т. е. действительную рациональную функцию от я ') путем отображения комплексной переменной г в комплексную переменную цифрового фильтрая '. Прежде чем перейти к билинейному преобразованию, нужно сделать некоторые пояснения.
Для исключения путаницы, которая может возникнуть при работе с частотами на плоскости з или ~, будем считать, что комплексные переменные имеют вид з=Х+12 и я=ехр (вТ+)озТ). Таким образом, я=ехр (г,Т), где г,=вТ+~озТ, так что в соответствует частотам на плоскости ~, а Й вЂ” частотам на плоскости г. 4.3. Билинейное преобразование Кайзер ~[1» и Гоулден и Кайзер [2» предлагают следующее соотношение между комплексными переменными з и г1.. (4.1) Здесь Т вЂ” период дискретизации.
Из соотношения (4.1) следует, что комплексную переменную г заданной передаточной функции аналогового фильтра можно заменить функцией гиперболического тангенса от зн Поскольку функция гиперболического тангенса монотонна,. правильный порядок следования .значений з сохраняется, но. вследствие нериодичности соотношения плоскоть з отображается на плоскость з, в виде последовательности параллельных полос, ГЛАВА 4 56 (4.4) ь г,' Из соотношения (4.1) следует, что (4.2) (4.3) как это показано на фиг. 4.1, а и б.
Область с двойной штриховкой на фиг. 4.1, б, расположенная вблизи начала координат, называется областью главноа полосы. (Этот термин, в частности, соответствует диапазону частот на мнимой оси в пределах этой области.) Фиг. 4.1. Отображение при билинейном преобразовании. т. е. Вся ось И монотонно отображается в совокупность областей вида (2г — 1) л (2г+ 1) л Т Т где г — любое целое. Далее величину з можно следующим образом Выразить через комплексную переменную г — '.
2 1 — г-' Т 1+а' Отсюда следует, что при замене з в заданной действительной рациональной передаточной функции на выражение (4.3) получим действительную рациональную функцию от г — '. Амплитудная характеристика аналогового фильтра воспроизводится во всех частотных полосах (2г — 1) л/Т(в((2г+1) л/Т. Из рассмотр сия главной полосы — п/Т< в<..и/Т видно, что если заданная передаточная функция аналогового фильтра соответствует фильтру ниж- синтез цнФРОВых Фильт1 ОВ пО дАнным АнАлОГОВых ФильтРОВ 57 них частот с частотой среза й„то результирующая функция..отн. в-', соответствующая цифровому фильтру с частотой среза в„бу- дет такой, что В результате частота среза аналогового фильтра изменяется, и это Обычно рассматривается как деформация шкалы частот. Соотношение (4.4) между двумя частотами среза представлено графически на фиг.
4.2. Из-за этой деформации 'для получения пере- Фиг. 4.2. Билинейное преобразование действительных частот. даточной функции цифрового фильтра с требуемой частотой среза вс необходимо использовать передаточную функцию аналогового фильтра, имеющего специально подобранную частоту И,. Однако мы располагаем таблицами нормализованных передаточных функций аналоговых фильтров, т. е.
имеющих Й,=1 рад/с. Кайзер [1» и Кайзер и Гоулден [2» преодолевают эту трудность, используя преобразование нижних частот (т. е. заменяя нормализованную переменную з на з/й,) перед выполнением преобразования (4.3); Относительно билинейного преобразования (4.3) можно сделать два следующих замечания: 1) действительный постоянный множитель 2/Т, как отметили Рэйдер и Голд [3», можно опустить, 2) процесс двукратного преобразования (от нормализованного аналогового фильтра нижних частот к аналоговому фильтру нижних частот с частотой среза Я, и затем билинейное преобразование) удваивает объем вычислений; ГЛАВА Ф 58 (4.5) (4.6) 1+ г-' 1 — г' о / 1~ (4.7) Уг О 1а вст А — с1а о т (4.8) з=~гсс Я 2 1+ (4.9) а при Йс=1 Я с1Я 2 1+ г (4.10) ~-., рэйдер и Голд [3'1 учили, что константу 2!Т можно опустить, и использовали преобразование в виде 1 — г-1 — + ,-1 для которого второе из сделанных выше замечаний также справедливо.
Поскольку любой постоянный множитель не изменяет формы преобразования, можно использовать преобразование вида где /г — действительная константа, определяемая из условия где в свою очередь Й, — частота среза аналогового фильтра, св, —. требуемая частота среза цифрового фильтра. В частности, при использовании таблицы нормализованных аналоговых фильтров нижних частот И,=1 и Следовательно, преобразование (4.6) принимает форму Таким образом, введя в преобразование константу общего вида /г, мы избавились от необходимости выполнять его дважды.
Итак, преобразование (4.9) дает возможность рассчитать циф- Р овой фильтр нижних частот с заданной частотой среза по данным аналогового фильтра нижних частот. При синтезе цифрового фильтра верхних частот, полосового или режекторного фильтров Кайзер [11 и ряд,других авторов [2— 41 предлагают до выполнения билинейного®преобразования хорошо известными в аналоговой фильтрации методами преобразовать нормализованный аналоговый фильтр нижних частот. Эта методика потребует дополнительных вычислений, однако можно ввести новое преобразование, позволяющее рассчитывать цифровой фильтр непосредственно по передаточной функции аналогового фильтра нижних частот (по аналогии с рекомендацией Рэйдера и Голда [31 для случая синтеза цифровых полосовых фильтров). Рассмотрим синтез фильтра верхних частот, для которого нож- сии~~ з цифровых еильг ов по длнным Апллоговых м~льтвов 59 I но непосредственно воспользоваться уже полученным преобразованием (4.5).
При замене аргумента з передаточной функции данного аналогового фильтра нижних частот на 1/з получим передаточную функцию фильтра верхних частот. С точки зрения преобразования (4.5) это означает, что если аргумент з для аналогового фильтра, нижних частот заменить .на (1+я ')/(1 — я — '), то получим выражение для передаточной функции цифрового фильтра верхн их ч а с тот. Итак, в общем случае преобразование аналогового фильтра нижних частот в цифровой фильтр верхних частот описывается формулой где /г деиствительная положительная константа, значение кото рой таково, что частоты среза аналогового фильтра нижних частот (Й,) и цифрового фильтра верхних частот (а,) связаны со- отношением При этом преобразование принимает вид Если аналоговый фильтр нижних частот нормализован, т.
е. если Й,=1, то В каждом из двух рассмотренных случаев преобразования имеют форму, исключающую необходимость: 1) предварительной деформации (эта операция включена в действительную константу А). 2) преобразования передаточной функции аналогового фильтра нижних частот в передаточную функцию аналогового фильтра верхних частот. Таким образом, преимущества этого преобразования с точки зрения минимизации вычислений очевидны. Преобразование Рэйдера и Голда является частным случаем рассматриваемых в следующем разделе обобщенных многополосных преобразований, соогветствующим одной полосе пропускания в главной полосе. При гспользовании этого преобразования в модифицированной форме операция предварительной деформации, предложенная Рэйдером и Голдом, становится ненужной. Обоб- ГЛЛВЛ 4 60 Пусть (4. 14) а — соь в,Т ь1п в4Т сс,- =сов а„Т, р; =соз в,.Т а — сочв,Т ' о1пв2Т ( СО,.~-СО, ) ( 4.15) л — ! П (г-' — 2а;г '+ 1) 2=0 1 з — А 1 — г ' (4.1 1) и) 2, л — 2 П (г ' — 2~2г '+ 1) !=о (4.16) в=А г ' — 2аг '+1 г — 2 (4.12) где л — 2 П (г о — 2~;г '-1- 1) з=~(1 — г-2) ' „' П (г — о — 2аг 1+1) п)2, (4.17) а, =сов а,Т, Я =сов а,.Т, щенные преобразования и частные случаи синтеза цифровых полосовых и режекторных фильтров' вместе с необходимыми расчетными формулами составляют содержание следующего раздела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
