Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 12
Текст из файла (страница 12)
10.) Цифровой вариант трансверсального фильтра (фиг. 6.2) называется нерекурсивным, поскольку каждый выходной отсчет [формула (6.2)] зависит только от входной последовательности и в от- ИМПУЛЬСНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОНЕЧНОЙ ДЛИТЕЛЬНОС'. И личие от рекурсивного цифрового фильтра не зависит от взвешен- ных сумм выходных последовательностей. Пример 1. Пусть дан нерекурсивный цифровой фильтр, выход- ные отсчеты которого образуются как разность текущего и задер- жанного на Т секунд входного отсчета (фиг. 6.3). Поскольку каж- дое число выходной последовательности пропорционально скоро- сти изменения входной последовательности, этот фильтр можно рассматривать как простейший дифференциатор.
Выходной сиг- нал этого фильтра у (!6Т) = х (АТ) — х [(16 — 1) Т1, что при сравнении с формулой (6.2) дает Во=1 й,= — 1, й„=О, lг )1. Отклик фильтра на последовательность ...,2,3,1, — 1, 6.3. Импульсная характеристика Если на вход произвольного нерекурсивного цифрового фильтра (фиг. 6.4) подается единичный «импульс» 1, О, О, О, .. ., то выходная последовательность будет иметь вид ь„ь~, ь„..., ь~ ~, о, Таким образом, импульсная характеристика представляется совокупностью Ф весовых коэффициентов. Так как число элементов линии задержки может быть только конечным, то импульсная ха- ГЛАВА 6 Выход Вход Единичный импульс Оп1 клик на-0,50 и а о -а,з -1 1 Йпклик на О, а,ь Импульсная хауакгперисп1 ила -ад 6 5 Частотная характеристика (6.3) 1,00, 0,50, 0,50, 0,00, 0,00, п=О -рактеристика нерекурсивного цифрового фильтра будет всегдв иметь ограниченную длительность (в отличие от теоретически бес.
конечной импульсной характеристики рекурсивного фильтра), Следовательно, любой цифровой фильтр с импульсной характери. стикой конечной длительности может быть реализован в нерекурсивной форме, как показано на фиг. 6.4. Фиг. 6.6. Единичный импульс в простом дифференциаторе. Пример 2. Пусть дан простейший дифференциатор из первого примера (фиг. 6.5).
Если на его вход подается единичный импульс, то на выходе будет последовательность 1, — 1,0,0, представляющая собой импульсную характеристику фильтра. 6.4. Дискретная свертка Любую последовательность на входе фильтра можно рассматривать как сумму единичных ~импульсов», возникающих в различные моменты отсчета. Пусть, например, нерекурсивный фильтр имеет импульсную характеристику 2,00, 1,00, 0,50, 0,25, 0,00, 0,00, а на его вход подается последовательность Входная последовательность, как показано на фиг. 6.6, представлена суммой трех взвешенных единичных импульсов, поступающих последовательно на вход фильтра. Полный выходной сиг:нал фильтра складывается из трех соответствующих откликов.
-Следовательно, выходная последовательность может рассматри- ИМПУЛЬСНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОНЕЧНОИ ДЛИТЕЛЬНОСТИ ваться как результат свертки входной последовательности и импульсной характеристики. Соотношение (6.2) описывает дискретную свертку между входной последовательностью и импульсной характеристикой, тогда как соответствующее соотношение для обычного аналогового фильтра, в котором вместо суммы стоит интеграл, описывает непрерывную свертку. Как будет показано в следующем разделе для Фнг 6 6 Иллюстрация дискретнон свертки 1 дискретного случая, при использовании методов з- и я-преобразований операции свертки во временной области могут быть заменены умножением в частотной области.
Выходные отсчеты нерекурсивного фильтра получаются в результате свертки входной последовательности и импульсной характеристики ~формула (6.2)], т. е. Ф вЂ” 1 уЯТ)=~~ ~Ь„х~(Й вЂ” и) Т1, Пусть на- вход подаются квантованные отсчеты косинусоиды постоянной частоты в рад/с: хЯТ)=созйаТ, А=..., — 1, О, .+1, 89 и О и-О где Я' 1~ Н(е1ат) ~ 1 Ь е — 1иат (6.4) Мнимая и-О Следовательно йствитепьная ось Пп Выходная последовательность уа (1гТ) определяется путем подста-' новки выражения для х(ЬТ) в формулу'(6!3). Таким образом, Ф вЂ” 1 Ф вЂ” 1 уа (ЙТ) = ~ 1 Ьи соз [(Й вЂ” п) аТ] = Ке ~ 1 Ь„е1 <м — ™ где Ке обозначает действительную часть и ~=~ — 1.
Экспоненциальный множитель может быть вынесен за зрак суммы, так что М вЂ” 1 (ЬТ) ~~ЕЕ1Ьат у Ь Е вЂ” 7 т ~~р Е1Ь тН(Е1ат) и-О уа (ЬТ) =]~е ] Н (етат) ( е!1ьат+О 1аЦ где Н(е1ат) представлено как Н (е/ат) ] Н (дат) ~ етв 1а> Окончательно, взяв действительную часть, получим у„(ЬТ)= [ Н (е1ат) ] соз [ЬаТ -]- О (а)]. Таким образом, реакция фильтра на косинусоидальный сигнал частоты в представляет собой косинусоиду той же частоты, но со значениями амплитуды и фазы, определяемыми ~Н(е1" т) ~ и 0(а) СООтВЕтСтВЕННО.
СЛЕдОВатЕЛЬНО, Н(Е1' т) яВЛяЕтСя ЧаСтОтНОй Характеристикой фильтра. Из формулы (6,4) видно, что Н(г) — это г-преобразование импульсной характеристики (ЬО, Ь1, Ь2, ..., Ьк — 1) ° т. е. Ф вЂ” 1 Н(г)=~ Ьиг-". (6.5) и-О Таким образом, частотную характеристику фильтра Н(е1а т) можно получить, взяв г-преобразование от импульсной характеристики и полагая г=е1а т. Здесь снова наблюдается прямая аналогия с обычным аналоговым фильтром, час1'отную характеристику которого получают путем подстановки я=~в в преобразование Лапласа Н (ь) от имдульсной характеристики Ь(1).
6.6. Полюсы и нули Кроме импульсной и частотной характеристик, цифровые фильтры могут быть описаны положением нулей и полюсов г-преобразования Н(г) импульсной характеристики. Правая часть ИМПУЛЬСНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОНЕЧНОИ ДЛИТЕЛЬНОСТИ- уравнения (6.5) является полиномом степени У от г-1 и, следовательно, может быть представлена как Н(г) Ьв, 1(г 1 — а1)(г ' — а,)...
(г 1 — ав, 1), где а1, а2, ..., а1 1 — нули функции Н(г '). В общем случае они комплексные и определяются из уравнения Н(г-') = О. Поскольку импульсная характеристика (ЬО, Ь1, ..., Ь~~ 1) представлена действительными числами, нули являются либо действительными, либо образуют комплексно-сопряженные пары. Типичное расположение нулей в плоскости,г-' показано на 'фиг. 6.7. Так как Фнг. 6.7. Конфигурация нулей, определяющая иерекурсивный фильтр.
г-преобразование для нерекурсивного фильтра всегда является полиномом конечной степени [уравнение (6.5)~, оно не имеет полюсов в конечных пределах плоскости,г-'. Отсюда следует, что нерекурсивный фильтр всегда устойчив. Это вполне совместимо с тем, что фильтр не имеет цепей обратной связи. Пример 3. Как известно из примера 2, импульсной характери- Фиг. 6.8. Конфигурация нулей простого дифференциатора. ИМИУЛ! СН)ЯЕ ХАРАКтЕРИСтИКИ КО)!ЕЧ НОГ! ДЛИТЕЛЬНОСТИ 91 ГЛАВА 6 Таблица 6.1 90 Нерекурсиваый фильтр Аналоговый фалътр Цифровые тельностн А! — 1 у(ЬT) = «„Ьих((Ь вЂ” и)7] Непрерывный последова- Тнп входного н выходного сигналов и-О Н фвТ) (] Š— )аТ ) Усеченная цифровая последовательн);)сть Н(4аТ), где Н(г) есть г-преобразование от Ь(иТ), и=0,1, -, У вЂ” 1 Н(г), полнном по степеням г '* Тнп передаточной функции Полюсы н нули Н(г — ') имеет только нули в конечных пределах плоскости г †'* Устойчивость О 2т/Т Частота г,1 могут принимать лишь значения ИЕО (А=О, 1, 2, ...), где ЕΠ— кон- станта, то и-й квантованный коэффициент может быть записан в виде Ь„+ Еи, где член е представляет величину ошибки, лежащую в пределах Ео Ео 2 и 2 — < е„< —.
Подстановка выражения для квантованных коэффициентов в уравнение (6.2) дает Ю вЂ” 1 у (АТ) = ~» ~ (Ь„+ еи) х [(й — и) Т)] = и=О )!! — 1 А! — 1 ='~~~ й„х[(й — и) Т]+ '~~~ е„х[ф — и) Т]. и О и=О В частотной области ~'(Е!аТ) Х(Е)'аг) Н(Е)'аг)+Х(Е)аТ) Е(Е~аТ)' (6,7) стикой простого дифференциатора (фиг. 6.5) является последовательность 1, — 1, О, ....
Ее я-преобразование НЯ=(1 — г 1). Поскольку Н(1) =О, плоскость,г-' содержит единственный куль при е-1=1 (фиг. 6.8). Подставляя е=е1ат, получаем частотную характеристику и )Н!е~"~))=)1 — 8 — ! ~е)=)' 2!1 — соя вт) =2!в)п ( — ") ! Модуль частотной характеристики ~Н(ез" т) ] показан на фиг. 6.9. Фнг. 6.9. Частотная характеристика простого днфференцнатора. 6.7. Сравнение аналогового и нерекурсивного цифрового фильтров В табл. 6.1 сравниваются свойства нерекурсивного цифрового фильтра и обычного аналогового фильтра. Звездочкой отмечены свойства, которых нет у рекурсивного цифрового фильтра.
6.8. Квантование коэффициентов й При аппаратурной реализации цифрового фильтра весовые коэффициенты не могут принимать произвольные значения, так как они представляются ограниченным числом двоичных цифр. Поэтому значения коэффициентов, определяемые при расчете фильт"а, обычно округляются до ближайшего числа, которым они могут быть представлены.
В результате полученный фильтр будет в нек)торой степени отличаться от первоначально задуманного. Пусть Ь„является и-м коэффициентом импульсной характеристики нерекурсивного фильтра. Если квантованные коэффициенты Связь между входом н выходом (у означает выход, х — вход, Ь вЂ” импульсная характеристика) Тнп импульсной характеристики Частотная характеристика Непрерывная, не усечен ная Н(1тв), где Н(з) — пре- образование Лапласа от Ь (1) Н(з), рациональная функция з Н(з) имеет полюсы и ну- ли в плоскости з Устойчив прн расположе- Всегда устойчив* ннн полюсов в левой полуплоскостн з 92 ГЛАВА О 93 Последовательность отсчетов ошибки квантования в формуле (6.7) можно рассматривать как импульсную характеристику -до-" полнительного фильтра, подключенного параллельно с идеальным. Из формулы (6.7) видно, что идеальная частотная характеристика Н(е1" т) будет искажена наложением Е(е~" ~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
