Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ГЛАВА 7 МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ 106 Мнимая ось Дейсгов игоельная ось вигпеяьна 727 Автокорреляционная функция Автокорреляционная функция (АКФ) Р (й) задается форму- лой Строго говоря, по размерности эта величина может быть лишь пропорциональна рассеиваемой мощности.
Налример, если х(й) измеряется в вольтах, то Х(п) также будет измеряться в вольтах, а Р „(и) — в (вольт)', а не в ~ваттах. Тем не менее общепринято называть это произведение мощностью. Если х(~) получено из непрерывной периодической функции времени х(7), которая имеет спектр с ограниченной шириной, так что эффект наложения частот отсутствует, то Р (и) будет представлять собой точное периодическое повторение энергетического спектра функции х(1).
Наиболее важное применение спектрального анализа связано с исследованием апериодических непрерывных колебаний. Интерпретация получаемого при этом непрерывного комплексного спектра не имеет прежнего физического смысла. К сожалению, простое усечение апериодического колебания и дискретизация полученного отрезка не всегда позволяют получить адекватный спектр колебания. Основной причиной этого является то, что отрезок не может полностью представлять всего колебания. Спектр одного отрезка является «необработанным» или «несглаженным». Сглаживания можно достигнуть интерполяцией Р„„(п).
Этот вопрос подробно обсуждается в разд. 7.11. Фиг. 7.4. Векторная сумма Ф корней из единицы (У 8).  — 1 )ь"™ является т-м из М корнеи из единицы. На ф . На фиг. 7.4 о-вторых, ф ля 1'у'=8. Умножение эти корни представлены в векторной форме для индекса т на р не изменяет векторной диаграммы. Многоугольник, образующийся при графическом суммировании, имеет сторон и является правильным, если 1у не ~кратно я~.
6. Начало первого вектора соединяется с концом последнего, так что у с 'мма векторов равна нулю. 7.2.6. Энергетический спектр ДПФ периодического временного ряда х(й) с периодом Лг представляет собой комплексный спектр Х(п). Часто бывает полезно не Х(и), а энергетический спектр последовательности исследовать не (и), а х(Й), который определяется «мощностью» каждои компле составляющей спектра.
«Мощность», кот ру о ю имеет и-я составляющая спектра, обычно рассчитывается как произведение Р (п =Х(п) Х*(п)=!Х(п)~', п=О, 1,..., М вЂ” 1. (7.9) М вЂ” 1 ~„„(~) = ~~)1 Р (п) 117ьи п=о Это можно доказать, заменяя в формуле (?.10) Временнйе ряды их преобразованиями Фурье: М вЂ” 1 й„„(й)= ' ) т О М вЂ” 1 Х (р) Я~р~п р-о М вЂ” 1 Х(п) 5'ьп1~' и п=о еняя порядок суммирования, получим К вЂ” 1 ~Ч ~~хх И) ~~ ) ~ ~~) ~ Х (п) Х (р) 11~ьп и-о р-о М вЂ” 1 ф'т (и+р) т-о И вЂ” 1 Ма К„(Ц= —,'Я х(т) х(й+т), Й=О, 1,...,!Ч вЂ” 1. (7.10) т=о Напомним, что для непрерывной переменной автокорреляционная функция и энергетический спектр образуют пару преобразований Фурье.
Аналогичное соотношение для дискретной переменной имеет вид ГЛАВА 7 108 Используя свойство ортогональности 1см. формулу (7.8)1 при сум- ' мировании по т (в заданных пределах), получаем Л! при р — п, 0 в противном случае. Таким образом, и ~р) ~ Х(п) Х( — и) 11~ ". л О Поскольку коэффициенты ДПФ в симметричных точках являются комплексно-сопряженными, т. е. Х ( — п) =Х* (и), )!) — 1 !)! — 1 то ))„„(А) =~~ х(л) х* )и))г' =~~~~ Р„(л) )г'". )7.11) в=О л О 7.2.8. Взаимный энергетический спектр и взаимная корреляционная функция Результаты, полученные в двух предыдущих разде аз елах можно обобщить. Для двух функций х(А) и у(А) взаимный энергетический спектр и взаимная корреляционная функция определяются соответственно как Р„„(п)=Х(п) У*(п)=Х*(п)У(п), п=О, 1,..., И вЂ” 1, !)! — )4!'.
Я„„(А) — ~~~ х(т)у(А+т)= т Ф вЂ” 1 — х Й+т)у(т)= т=О и в Если х и у — апериодические функцйи, здесь та кже необходимо. сглаживание. 7.2.9. Свертка Операция свертки двух периодических функций х( ) ! ) ,Ь) . ЬИ) определяется соотношением (гл. 2) у(т)= ~,! х(1)Ь(т — 1), т=О, 1,..., —, ( . Ъ Л! — 1 (7.13Ъ МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ 109 , Л' — 1. (7.14) импульсная характеристика содержит только ь отсчетов, тогда х( ) и у( ) не ограничены, т. е. речь идет не об об'афу ции с использованием периодической о о раимпульсной характеристики. Задача фильтрации может быть ешена с применением более тонких приемов об аботки а которое очень похоже на выражение, используемое для получения корреляционной функции (разд.
7.2.7). Единственное существенное отличие состоит в том, что последовательность Ь перед почленным перемножением с х реверсируется. Учитывая это (знак минус у пе- ременной суммирования !) и повторяя тот же анализ, который был использован для вывода зависимости между АКФ и энергетиче- ским спектром, получаем А! — ! у(т)=~~ ~[Х(п) Н(п)~1~" т=О, 1, а О Отсю а сюда Видно, что операция свертки во времейной области э)Овива= лентна умножению в частотной области. Соотношения (7.13) и (7.14) имеют большое значение, посколь- ку позволяют осуществлять линейную обработку сигналов и мо- делировать линейные системы. Применительно к этим зад им задачам ( ) и у(т) рассматриваются как входной и выходной и на системы а Ь(Ь)— н й сигналы , а Ь(Ь) — как ее импульсная характеристика.
р, с ертку можно производить либо непосредст- венно на основании соотношения (7.13), либо косвенным методом, используя ДПФ для преобразования периодических функций в е- мени в частотн ю обла . В у асть. В последнем случае для получения ункций вре(и) при заданных Ь (Й) и х (Й) нужно вычислить и перемно- жить соответствующие преобразования Н (и) .и Х (и) . Затем 1' (и) преобразуется с,помощью ОДПФ в выходной сигнал а первый взгляд вычисление свертки в частотной области ка- жется более длительной операцией по сравнению с прямым метоиногда позволяет м. деиствительности же косвенный метод иног сэкономить значительную долю счетного в емени. П и будет рассмот ена в а времени. ричина этого ссмотрена в разд.
7.10 после изучения очень эффективного метода вычисления ДПФ Ф и ОДПФ известного как быстрое преоб- разование Фурье. о сходство этого метода с нерекурсивной Отметим также что фильтрацией лишь чист рекурсивный фильтр: о внешнее. В уравнении, описывающем н- ес — ! у (т) = ~~~) ~ х (!) Ь (т — !) при всех т, ~-О МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ГЛАВА 7 6, (1в) = д,(1) ехр( — 1а1) Ж, +со а,(~)= ' ~6,01о)ехр01о~) сЪ. а/ 1од М оиа: /декада 0 2л/ —," 1в ®1 дБ (7.15) ! а,(0)! 7.3.
Анализ непрерывных систем Как было показано, ДПФ предназначено для анализа и обработки дискретных периодических сигнало . т ДПФ непосредственно для численного анализа дискретизовать Д непосре 1х непрерывных сигналов 1. На первый 1 ВЗГЛЯ ЭТО МОЖНО д ва~ннь х как иск етизованные васделать, используя ДПФ или ОДПФ как ди р рианты прямого и обратного преобразований Фурье: 'К сожалению, по ряду причин, которые будут кратко рассмотрены, Оответствия между дл мНОГих сиГналов не сущестВует точнОГО со п еобразованием Фурье и ДПФ. Поэтому имеет смысл найти опрео ий рациональный подход к анализу непрерыв ывных сигналов.
щ Если непрерывный сигнал является апериод ическим с неограниченным спектр ектром можно установить класс сигналов, к которому лов п инимающих Он относится. Это может быть: а) класс сигналов, приним нулевые значения вне некоторых предело р в во в еменнбй области; б) класс сигналов, равных нулю вне некоторых пр д е елов в частотбласти. Отметим, что эти своиства сигналов яВляются Взаи моисключающими. Они либо оба отсутствуют, ли о р у иб п ис тствуют по отдельности, но никогда не присутствуют вместе. Если сигнал де(1) ограничен во времени некоторыми пределами, то его спектр 6о(~а) не может быть ограниченным по полосе. Е спектр 6о(~о) низкочастотный, то можно ожидать, что сигсли сп нал оо(~) может быть дискретизован с такои достаточн астотой ~ чтобы полученное колебание д(1) имело спектр 6()о), в разумных пределах соответствующии 6о(~а) — — 2(1( У. Э иллюстрируется на фиг.
7.5. Ясно, что частоту дискретизаие ции ~„нужно выбирать таким образом, чтобы отношен '> Существует ограниченный класс сигналов которые м можно анализировать с помощью ДПФ. Он включает периодические колебания с ограниченным спектром, дискретизованные в соответствии с теоремой отсчетов. было достаточно малым с точки зрения"'допустимого искажения ' спектра 6Ца). Несмотря на то что общего правила выбора частоты дискретизации для ограниченной по полосе функции получить нельзя, можно руководствоваться следующими соображениями. Пусть коле- В Сг а~ Сгд/гу)~ Фиг.
7.5. Наложение спектров, вызванное дискретизацией колебания с неограниченной полосой частот. Фиг. 7.6. Низкочастотный спектр и-го порядка. МЕТОДЫ ПРЕОГзРЛЗОВЛ11ИЯ ФУРЬЕ 112 ГЛАВА 7 тм 1-й порядок — Р/г +Р2 2-й порядок 3-й порядок +Р2 — Рlг Разрывы 6 (1со) =0 ~) ~1 ° 7.4. Вычисление ДПФ 8 заказ зь ьдо Отношение частоты дискретизации к номинальной частоте среза 5 10 20 40 100 о зю -зо вз сз сзз з -~0 с~ ~ед зз еЦЯ~ 'Й ~ -50 ~~И~ ~ оз % оз ~Из'3 -бО '.Е ф.мз ~ ~Ь~~ -70 щз тнз за еж ~ сз~' -80 =' -100 Фиг. 7.7Х'.оотиошеиие между степенью наложения спектров сигиала с неограни- ченной полосой и частотой дискретизации.
бание имеет спектр низкочастотного вида, асимптотически спадающий от номинальной частоты среза (которую для удобства определим как точку пересечения асимпчуоты с осью частот) ыа 20г1 ДБ на декаду. Такой спектр, который назовем спектром и-го порядка, показан на фиг. 7.6. Кривые, приведенные на фиг. 7.7, показывают зависимость отношения (7.15) от нормированной по частоте среза частоты дискретизации для этого спектра и позволяют выбрать 1д.
Ко второму классу относятся сигналы до(1), ограниченные по полосе: В этом случае колебание должно быть бесконечной длительности. Кроме того, предполагается, что до (1) — апериодическая функция. Это может быть, например, шумовое колебание, прошедшее через идеальный фильтр нижних частот с прямо~Гольной характеристикой. На фиг. 7.8 показано, как из колебания д(1) выделяется от- РЕЗОК дЛИтЕЛЬНОСтЬЮ Т, СОдЕржащнй уч' ОтСЧЕтОВ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДПФ этих отсчетов предполагает периодическое повторение отрезка колебания д(1). Если уч' недостаточно велико, то разрывы на концах отрезка могут привести к тому, что ДПФ полученной последовательности х® будет существенно отличаться от преобразования Фурье функции д(1). Это заставляет учитывать две особенйости' применения ДПФ.
Во-первых, если речь идет о фильтрации (т. е. о вычислении Х(п), взвешивании составляющих спектра по опре-. Фиг. 7.8. Разрывы, вызванные усечением колебания. деленному закону и обратном преобразовании во временную область с помощью ОДПФ1, то основное внимание должно уделяться ВЫбОру таКОГО уч', Прн КОтОрОМ ИМЕЕТ СМЬ1СЛ ПрОВОдИтЬ ВЕСОВУЮ обработку и адекватное обратное преобразование.
Во-вторых, если нужно найти сглаженный-энергетический спектр, то уч' также должно быть велико, нд, кроь1е того, иногда может возникнуть необходимость предварительно сгладить разрывы на концах отрезка весовой обработкой отсчетов. В разд. 7.2.3 ~было показано, что ДПФ и ОДПФ .могут быть,вычислены с помощью одного алгоритма. Таким образом, .имея схему вычисления одного .из преобразований, второе можно вычислить, прибегая лишь к простой перетасовке данных. Следовательно, достаточно рассмотреть ностроение основной схемы вычисленый М вЂ” 1 А(г1) = ~)~ а (7~) Я7-ззь юг=0 1 Ж вЂ” 1 (7 16) ь-о Г'ля оценки ДПФ на основании этого алгоритма необходимо заменить переменные следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
