Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Пусть требуется вычислить величину А-го выходного отсчета оА. При этом расчете, т..е. в процессе обработки сигнала цифровым фильтром, используется линейная комбинация предшествующих. выходных отсчетов .с предшествующими и настоящими входными отсчетами. Как это делается, показано в примере 3.1. Таким образом, если в линейной комбинации используется (и+1) входных отсчетов с т аредшествую- оьШие хАРАКтеРистиКи циФРовых ФильтРов 44 ГЛАВА 3 45 щими выходными отсчетами, й-й отсчет выходного сигнала будет определяться выражением и„=а,и„+а,и|,,+... +а„и „вЂ” (Ь1и,,+... +Ь,„и ), (3. 3) где все коэффициенты являются действительными постоянными.
3.3. Передаточная функция цифрового фильтра Пример 3.2. В некоторой системе отсчеты входного и выходного сигналов принимают значения на входе: 1, О, 1, О, 1, О, 1,. на выходе: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,... Найдем передаточную функцию системы. По определению г-преобразование входного сигнала равно У (г) = и, + и,г-'+ и,г- '+... = =1+0 г-'+1 г-'+... = 1 =1 1 г-2+г-4+, при ~ г-|1( 1 Аналогично г-преобразование выходного сигнала имеет вид 1~ (г) =и, + и1г '+ и,г-'+... = =1+г '+г-'+... =, при ~г-'!(1.
Ф Следовательно, передаточная функция дискретной (по времени) системы будет равна 6 (г) — — = 1~ (г) 1/(1 — г |) (1 (г) 1/(1 — г 2) — 1+ г — '. Таким образом, в общем случае передаточная функция, соотегствующая соотношению (3.3), задается выражением У (г) а, + а,г '+ ..' . + а„г —" 6 (г)— И(г) — 1+Ь, — +... +Ь Из сказанного выше ясно, что линейное разностное уравнение (3.3) полностью описывает работу линейного цифрового фильтра.
Для анализа передаточных функций дискретных систем используется рассмотренное ранее г-преобразование. Передаточная функция определяется как отношение г-преобразований выходного и входного сигналов. Для рассмотренного выше примера передаточная функция задается выражением Р(г) 1 У(г) 1 — аг ' где У(г) и.Ю(г) — г-преобразования выходного и. входного сигналов соответственно. Выражение (3.4) описывает передаточную функцию линейного цифрового фильтра общего вида. Числитель и знаменатель передаточной функции в общем случае не равны нулю. По виду передаточной функции фильтры обычно классифицируют следующим образом. Рекурсивные цифровые фильтры — фильтры с передаточной функцией типа (3.4), не содержащей общих множителей и имеющей ненулевые коэффициенты в знаменателе. Нерекурсивные цифровые фильтры имеют передаточную функцию, которая принимает вид полинома по степеням г — ' после сокращения всех общих множителей в выражении (3.4): б (г) = Й, + й,г-'+...
+ Й„г-". Как было отмечено в разд. 3.1 со ссылкой на фиг. 3.2, в зависимости от выбора значения а в передаточной функции 1/(1 — аг ') отклик системы на единичный импульс либо возрастает, либо затухает со временем. Это определяет диапазон недопустимых значений а, при которых отклик возрастает до бесконечности. Обобщая, можно сказать, что коэффициенты в знаменателе выражения (3.4) необходимо выбирать таким образом, чтобы переходная характеристика не возрастала безгранично. Это утверждение тесно связано с положением полюсов системы. 3.4.
Полюсы и нули передаточной функции Числитель и знаменатель передаточной функции общего вида, заданной выражением (3.4), являются полиномами комплексной переменной г ' с действительными коэффициентами и поэтому могут быть факторизованы следующим образом: (г-' — а,) (г-' — и,)... (г ' — и„) б(г) =А где а; и ~; — действительные либо комплексные.
В последнем случае они образуют сопряженные пары. Коэффициент А' — действительная постоянная. Величины (а;), 1=1, 2, 3, ..., и, называют нулями, а (Р,'), г= =1, 2, 3, ..., т, — полюсами передаточной функции. Полюсы и нули расположены на плоскости г — '. 3.5. Устойчивость Цифровой фильтр называют устойчивым, когда модули полюсов его передаточной функции больше единицы, или,. что эквивалентно, когда полюсы расположены вне окружности 1г — 1 ~ =1 (называемой единичной окружностью). 47 46 ГЛАВА 3 (З.б) 3.6. Частотная характеристика или У(г) «П В-)лаТ) Например, цифровой фильтр с передаточной функцией 6 (г)— 1+г — ' (1+ 0,5г т) (1 — 0,4г-') является устойчивым. Он имеет два полюса: один в точке — 1/0,5= — 2, второй в точке 1/0,4=2,5, т.
е. оба они расположены впе единичной окружности в плоскости я — '. Однако фильтр с передаточной функцией 1+г ' (1+ 5г ') (1 — 4г-') является неустойчивым. Он имеет два полюса: один в точке — 1/5= — 0,2, второй в точке 1/4=0,25, т. е. оба они расположены внутри круга единичного радиуса в плоскости  — '. Чтобы получить частотную характеристику системы, на ее вход подают синусоидальное колебание и затем исследуют сигнал на выходе. Если система линейна, то на выходе будет синусоидальное колебание той же частоты, но с другими амплитудой и фазой. Поскольку амплитуду и фазу можно объединить представив в комплексной форме, то в качестве входного сигнала обычно используют не действительную, а комплексную синусоиду, изменения которой в системе учитываются умножением на комплексный, зависимый от частоты сигнала коэффициент' ).
С учетом вышеизложенного найдем частотную характеристику цифрового фильтра, заданного соотношением (3.3) . Пусть на вход подается комплексный синусоидальный сигнал е)'""г, 1=0, 1, 2, .... Тогда, поскольку система линейна, сигнал на выходе может быть только вида Н((о) езайт, А=О, 1, 2, ..., где Н((о) — комплексный коэффициент, который зависит лишь от о). Следовательно, в формулу (3.3) можно подставить ий — — е( ~~ и т)А=Н(о))е) нт; при этом разностное уравнение преобразуется к виду Н (О)1 В)аЬТ П В!аЬТ « — (т Е)а(й — 1) Т « ' +П Р)а(й — л) Т вЂ” о 1 у ° - л Ь Н((о)в)аьт+ +Ь Н(а)е)а(ь — )т) (3.5) Н( ) 1аЬт~1 «Ь — 7атт1 ~ Ь В вЂ” 1 ьт) =Е)""Т (а»+ а,Š— )а' -«- ' Автор имеет в виду комплексную форму представления гармонического колебания по формуле Эйлера.
Ниже используется понятие комплексной амплитуды гармонического колебания. — Прим. ред. ОБЩИЕ ХАРАКТ'-РИСТИКИ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ Сократив общий член е)а "т в обеих частях-последнего равенства, получим выражение Нв» а»+ а1Е )а + .. ° + аоЕ ~ 1 -«-Ь е )аТ+... + Ь,„е которое представляет собой частотную характеристику системы в комплексной форме. Модуль Н(а) является амплитудной характеристикой, а аргумент — фазовой характеристикой системы, заданной соотношением (3.3) . Заметим, что выражение (З.б) идентично выражению (3.4) для передаточной функции, если в него вместо г — ' подставить е — зат.
Это иллюстрирует сущность оператора ~ — ' и лолезность передаточной функции, Фиг. 3,3. а — реализация передаточной функции П~(г) по+о~а + +ил 6 — реализация передаточной функции Оа(г) 11(1+Ь1г '+...+Ь г-'и). ГЛАВА 3 3.7.1. Последовательная форма 4 Заказ М 550 3.7. Формы реализации передаточных функций цифровых фильтров В этом разделе приводятся блок-схемы реализации передаточных функций цифровых фильтров, составленных на основе их элементов — сумматора, умножителя и элемента задержки. Эти блоксхемы называют также формами реализации фильтров, поскольку для практического создания фильтра обычно используют одну из этих форм.
Простейшую форму реализации получают, используя выражение (3.4) для передаточной функции общего вида. Введение вспомогательного е-преобразования Х(е) позволяет записать передаточную функцию 6 (~) в виде 1' 1г) Х 1г) Х 1г) У (г) Выражение (3.7) теперь можно представить как произведение двух передаточных функций: б,(з)=ао+а,г-'+... +а„г-'= Х 1г) 1 1' 1г) ~2(~) — 1+Ь,г-~+... +Ь г- Х(з) . Результирующую передаточную функцию б(е) получают при каскадном соединении двух форм реализации, приведенных на фиг.
3.3, а и б, которые при объединении трех сумматоров в один дают блок-схему, показанную на фиг. 3.4. Эта реализация ни в Фиг, 3,4.-'Результат соединения двух форм реализации, представленных на фиг. 3.3. ОВЩИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ коем случае- не является единственной, поскольку можно получить и другие формы, которые приводят к той же передаточной функции. Различные формы реализации заданной передаточной функции подразделяют на канонические и неканонические. Под каноническои реализацией подразумеваются формы, при которых используемое число элементов задержки в точности равно порядку передаточной функции (т.
е. наивысшей степени полиномов числителя и знаменателя), В следующих подразделах описано несколько обычно используемых канонических форм реализации. Форма реализации, полученная выше и показанная на фиг. 3.4, требует (т+и) элементов задержки и, следовательно, согласно определению, не является канонической. Однако эту форму можно преобразовать к виду, показанному на фиг. 3.5, где предполагается, что и -~т. Можно показать, что Фиг 3 5 Каноническая форма реализации ГЛАВА 3 Вхо 1ХОд 3.7.2. Бнквадратная форма ~ход Вхо ход Вхо !ход Вхо Фиг. 3.6. Биквадратный блок.
с'2п 21 2! Р?п Фиг, 3.8. Каскадная реализация. эта форма реализации приводит к требуемой передаточной функции.. Особенно полезной разновидностью формы является такая, для которой п=пь=2. Она показана на фиг. 3.6 и обсуждается ниже. Показанная на фиг. 3.6 простая форма является основным блоком для построения более сложных канонических форм. Эта фор- ма известна как биквадратная, и, поскольку знаменатель ее передаточной функции является квадратным многочленом, она, следовательно, дает два действительных или комплексно-сопряженных полюса. В ~последующих,подразделах биквадратная форма используется для получения передаточных функций более высоких порядков в канонической форме. Следует отметить, что каноническая форма реализации передаточной функции на основе биквадратного блока на фиг.
3.6 ни в коем случае не единственна. Например, на фиг. 3.7 показаны другие канонические формы, имеющие Идентичные передаточные функции. 3.7.3. Каскадная реализация Передаточная функция общего вида [выражение (3.4)1 может быть факторизована следующим образом: ОЬЩИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ Фиг. 3.7, Некоторые канонические формы, построенные на основе биквадратного блока. 52 ГлАРА 3 3.7.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
