Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В настоящее время имеется эффективная, малогабаритная и экономичная цифровая техника. Современная технология позволяет размещать многие тысячи схемных элементов на одном квадратном сантиметре, н можно ожидать, что вскоре 'появятся специализированные интегральные схемы, выполняющие функции цифровых фильтров [131. Цифровы системы обладают рядом преимуществ по сравнению с аналоговыми. Они абсолютно стабильны и воспроизводимы, хорошо приспособлены для реализации на интегральных микросхемах, имеют большую гибкость и совместимы с цифровой аппаратурой для передачи данных. Однако почти очевидно, что быстродействие ЦВМ всегда будет недостаточным,для некоторых задач.
Достигнутый в настоящее время предел — около одного мегагерца, постоянно увеличивается. 1.2. Сравнение аналоговых и цифровых фильтров Аналоговые системы с сосредоточенными параметрами состоят из элементов, выполняющих интегрирование и дифференцирование: )" 1 (1) й )" о (1) Ж с ' ~'~ с. Р)=С ~„~), и11)=~ и, кроме того, содержат масштабирующие устройства — усилители, резисторы, трансформаторы, для которых о= Ф, о2 =Ао„о2 =ЛЪ,.
Уравнения, аписывающие такие системы, являются линейными, интегродиффвренциальными. Например, система первого порядка на фиг. 1.2, а описывается дифференциальным уравнением 1 й~ — — + 0 =01', Д1 2 1» (1.1) на фиг. 1.2, б представлена импульсная характеристика этой системы. Решения уравнений имеют вид суммы членов, соответствующих собственным затухающим либо возрастающим по экспоненте ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1 откуда х [(и — 1) Т11— Х 1й7) а (ЙТ) (1.3) ВЬ1х (пТ) + (1 — В) х (пТ) =з (пТ), 1 ~пт) х(пТ) =з(пТ)+ Ву (пТ) 1 О+В о+ в' и 0 1 2 012345 -п о 1 В Вл и 0 Вл-1 1.3.
Время и частота х(пТ)=з(пТ)+Вх[(п — 1) Т'1, (1;2) синусоидальным или косинусоидальным колебаниям'системы и вынужденным колебаниям от входного воздействия. Если элементы системы линейны, то для нее применим принцип суперпозиции. Переменные в аналоговых системах определены в любой момент времени. Фиг. 1.2. Непрерывиая, или аиалоговая, система первого порядка. а — цепь; б — импульсная характеристика, Фиг. 1.3. Цифровая система первого порядка. а — блок-схема; б — импульсная характеристика.
В цифровых системах переменные известны лишь в дискретные моменты времени. В этих системах используются операции сложения и умножения, а также задержка, кратная интервалу времени, равному Т секунд, между отсчетами, т. е. интервалу дискретизации, или периоду синхронизации. Возможность задержки обеспечивается путем хранения значений сигнала сколь угодно долго. Простейшим примером является система первого порядка (фиг. 1.3,а). Здесь значение на выходе у(пТ) равно х(пТ), задержанному на один интервал дискретизации, т.
е. предыдущее значение х берется в качестве последующего значения у. Эта система юписывается уравнением х (пТ) — х [(и — 1) Т1 =х(пТ) — + х 1пТ) а 1пТ) где Л1 — оператор первых разностей, определяемый следующим образом: 61х (пТ) =х (пТ) — х [(и — 1) Т]. Уравнение (1.3) является разностным, как, следовательно, и уравнение (1.2). Аналогично разностными являются уравнения, описывающие дискретные системы с задержкой. Эти уравнения играют здесь ту же роль, что и дифференциальные уравнения в аналоговых системах. В обоих случаях уравнения, к счастью, являются линейными, что позволяет применять принцип суперпозиции. Приведенная система обладает импульсной характеристикой в виде экспоненты (фиг.
1.3,б), подобной той, которую имеет йУ.-цепь, но дискретизованной. В данном простом случае этот результат может быть легко получен. Пусть на вход подается единичный импульс з(О) =1 (с последующими нулями), а у в этот момент равен нулю. В последовательные моменты отсчетов имеем з(пТ) у(пТ) =х [(и — 1) Т) 1 0 Как и в случае аналоговых. фильтров, здесь наблюдаются соответствующие затухающие синусоидальные колебания, являющиеся элементарными откликами систем высших порядков.
Цифровые фильтры, так же как и аналоговые, обычно описывают во временнбй либо в частотной области. Во временнбй области задается импульсная характеристика в вИде последовательности чисел (обычно конечной). Эти числа могут быть использованы ГЛАВА 1 ВВЕДЕ11ИЕ 1 Т О 1 2 — 1 Т Т ьиепосрейственио -с помощью свертки (поскольку. система подчиня-: ется принципу суперпозиции), так-что; у(1)= х(А) й(1 — Х) Ю, у(п1)=~ х(гТ) Ь Ип — г) Т1, г либо после их предварительного преобразования.
Описание в ча- .стотной области (амплитуд и фаз) — по-видимому, наиболее об- щий вид описания фильтров, как аналоговых, так и цифровых. В случае цифровых фильтров дискретное преобразование Фурье (ДПФ) позволяет непосредственно находить частотную характери- стику, а алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ) неред- ко делают методы преобразования в частотную область предпоч- тительными.
Поэтому часто, когда заданы временные характери- стики, целесообразно переходить в частотную область и исполь- зовать преобразования Фурье: у(пТ) =х(пТ), й(пТ) Обратное ДПФ ДПФ ДПФ У (тР) = Х (тР) х Н (тР) При теоретических исследованиях бывает-,полезно описывать передаточную функцию ее полюсами и нулями — частотами (обыч- но комплексными), при которых передаточная функция становится равной бесконечности или нулю. Пример такого представления показан на фиг. 1.4 для аналогового, максимально плоского, т.
е. баттервортовского, фильтра (4-го порядка). Все физически реа- Фиг. 1.4. Расположение полюсов максимально плоского аналогового фильтра. а — фильтр нижних частот; б — полосовой фильтр. лизуемые'линейные системы описываются подобным образом.'-Ес-: ли принять, что определенное расположение полюсов 'и 'щлей обеспечивает приемлемую характеристику, то задача' сводится.1с синтезу системы с заданным расположением полюсов и нулей.: ' Фиг.
1.5. Периодичность по частоте. а — повторение полюсов и нулей.. б — частотная характеристика Одно из существенных различий между аналоговыми и цифровыми системами состоит в том, что последние имеют периодическую по частоте а конфигурацию полюсов и нулей (фиг.
1.5). Повторяемость с интервалом ЦТ Гц (Т вЂ”. период дискретизации) является результатом принципиально. дискретного представления сигналов. Удобно представить эту циклическую структуру, отображая з-плоскость с помощью преобразования т Фиг. 1.6.
Отображение плоскости в в плоскость г. ГЛАВА 1 14 ВВЕДЕНИЕ при котором ось а отображается, в окружностъ.единичного радиу-,, са и каждый оборот по окружности соответствует одному периоду на оси о (фиг. 1.6). Оказывается, что з является переменной, которая имеет такое же значение для цифровых фильтров, как з для аналоговых систем, а з-преобразование соответствует преобр азов анию Л апл аса.
1.4. Ограничения На практике как для аналоговых, так и для цифровых фильтров существуют свои проблемы. Для первых — это проблемы стабильности и точности элементов; вторые имеют абсолютно точные элементы, но значения величин в этих фильтрах могут быть только квантованными. Последнее обстоятельство может оказаться несущественным при использовании больших вычислительных машин, оперирующих с многоразрядными числами с плавающей запятой, но это может быть очень важным при использовании специализированных машин, работающих с числами с фиксированной запятой. Переменные величины в аналоговых системах заданы с неогра~(иченной точностью, в цифровых же системах они квантованы, и каждое сложение и умножение может стать источником ошибок округления, т.
е. шума. Эти факторы оказывают влияние па структуру систем. 1.5. Гибридные системы Большинство идей, касающихся цифровых фильтров, применимо и к другим дискретным фильтрам; это дает возможность создавать различные гибридные системы, например для экономного использования центрального процессора. Так, можно применять цифровую память и аналоговые устройства сложения и умножения или задержку в дискретном виде и аналоговую память на емкостях. 1.6. Методика синтеза Основная идея синтеза как аналоговых, так и цифровых фильтров состоит в аппроксимации искомой характеристики реализуемой математической функцией.
Фильтр мс1!кет быть определен либо во временнбй области, либо в частотной, либо...? Вследствие значительного объема данных по характеристикам аналоговых фильтров (баттерво!ртовских, чебышевских, эллиптических, бесселевских) иногда имеет смысл использовать эти данные для отыскания подходящих разностных уравнений с помощью соответствующих преобразований.
В противоположность аналоговым фильтрам цифровые фильтры часто реализуются очень просто после того, как получены подходящие разностные уравнения. Прак- тические.соображения, такие, как стоимость или шумы, влияют, скорее лишь на выбор конкретной реализации среди многих воз-. можных. Как и во многих других областях техники, на синтез цифровых фильтров оказывают влияние методы машинного проектирования [14~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
