Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Общее соотношение плоскостей показано на фиг. 2.12,а, где полоса шириной ьг из лбвой половины плоскости з (ее устойчивой области) отображается внутрь круга единичного радиуса в плоскости е. Существенным свойством отображения является то, что все полюсы преобразования Лапласа в плоскости з, которые расположены по одной вертикали с интервалами 1Й, отображаются в единственный полюс в плоскости я. Следовательно, я-преобразование дискретизованной экспоненты имеет только один полюс в плоскости я. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ДИСКРЕТИЗАЦИИ И г-ПРЕОБРАЗОВАНИИ 29 а Т Преобразованию Лапласа дискретизованной экспоненты е ~, записанному в виде Р*(я) = где Р=е'~ , соответствует е-преобразование г (г)— (2.31) с полюсом в точке е=р (фиг.
2.12, б). Этот полюс находится внут- 5~Т ри круга единичного радиуса, если 11е ~ ~(1, что соответствует затухающей экспоненте. Для получения е-преобразования непрерывного экспоненциального сигнала, заданного выражением ~(1)=е~~, 1-> 0 (~(1)=0, ~< О), необходимы следующие операции: 1) дискретизация: ~е (1) б (1) + з~тб (1 Т) + е2~~~б (р 2Т) 2) преобразование Лапласа: Р* (.с) =1+ е'~те — т+ е~'~ е-2 т+ 3) подстановка г = езт:: ~; (г) 1 +ЕСТ~-1+ Е2л~Тг 2+ 1 г 5 т $ т 1 — е" г' г — е" с полюсом в точке я=е й . Следует отметить, что положение з Т полюсов в плоскости е меняется с изменением интервала дискретизации Т.
2.8. Общее соотношение между сигналами и положениями полюсов ИЗ раССМОтрЕНИя ЭКСПОНЕНцИаЛЬНОГО СИГНаЛа Е'а =Евана+'"а1Т видно, что угол, набегающий за один интервал дискретизации, равен юАТ, что соответствует фазовому углу полюса в плоскости е (фиг. 2,11, а и фиг. 2.13, а). Модуль полюса, равный е~~т, показывает, как меняется амплитуда экспоненты за интервал дискретизации. Приведенные рассуждения позволяют легко установить связь положения полюсов в плоскости е с соответствующими экспонентами. Эти общие соотношения иллюстрируются на фиг. 2.13.6.
З2 ГЛЛВЛ 2 ! ! ! ф !О, пФ вЂ” 1, Аг (дг = [2луА, п= — 1, (2.54) (2.45) (г — за) (г гь) ° г— (2.57) Тогда Р(2)= откуда делением можно получить (2.48) Р (г) — 1 г-з + г-4 — г-в (2А9) Следовательно, (2.50) Эта функция соответствует дискретизованному отклику на единич- ный скачок с такой постоянной.времени, которая йрнводит к из- менению 'величины отсчетов на 50о~~ в течение каждого интерва- ла дискретизации Т (фиг. 2.15,а). Фиг. 2.15, Обратиое г-преобразование. а — днскретнзоваиная переходная характеристика, Р(з) з/[(з — 1)-з/(з — 0,5)]; б — дискретнзованная косииусоида, Х(з)=1 — з — '+з — ' .... 2) Деление. В мето,(е разложения на простые дроби предполагается, что Р(г) легко факторизуется, что не всегда возможно, особенно если Р(г) является отношением полиномов высоких степеней. В последнем случае делением поливом можно представить в видЬ обобщенного ряда, и тогда 1"*(1) может быть также записана непосредственно в виде ряда !д~~ + !!~да ' + ..
„~, +д т Ь )д „вЂ” с -пг +стд-пг . ° ° ~*Я=С „о(1+(и — т) Т)+с,д „б(1+(п — пд 1) Т)+ (2.46) Для физически осуществимых сигналов степень г может быть только отрицательной или равной нулю и, следовательно, необходимо выполнение условия п(т, т. е. число нулей не должно превышать число полюсов. Разность п — т показывает число интервалов дискретизации, необходимых для вычисления выборки.
Пусть, например (фиг. 2.15,6), ~()=соз —,. да (2.47) 7* (~) =б (~) — о (~ — 2Т)+ о($ — 4Т) — о(1 — 6Т) . ВВЕД!'1!ИГ В ТЕОГИ)О ДИСКРЕГИЗЛЦИИ И з-1!РЕОВРЛЗОВЛ!!ИГ! 3) Контурное интегрирование. Как отмечено в предыдущем случае, деленйем Р(г) можно разложить в ряд по отрицательным степеням г: Р (г) =С!)г + Сд2 + Сзг + (2.51) где коэффициенты с„равны значениям 1(пТ), а ряд является суммой полюсов всех порядков на плоскости г при г=О.
Для определения произвольного коэффициента с следует умножить обе части (2.51) на г" ', что дает г"-дР(г)=с,г"-'+с,г"-'+... +с„г '+с„+,г'+..., (2.52) а затем взять интеграл по контуру, охватывающему все полюсы: $г"-1г(г)нг=$!с,т '-)-... -)-сг '-)- . '. !нг (2.53) Поскольку в правой части (2 53) остается единственный член с Итак с„=)(ит)= . ~ г"-'Р(г) нг. (2 55) Отсюда интегрированием по контуру при соответствующих значениях п можно получать значение с . Такое интегрирование, обычно выполняемое по методу вычетов, дает ЯпТ) =Хафез(г"-дР(г)1 для и=О, 1, 2,... —.
(2.56) Для функции Р(г) общего вида где г, гь — нули и г1 г2 — простые полюсы вычет в полю се гь равен 1~,,=(г — г,,) гг(г) ~ =з,. Фактически Рл является значением остатка функции Е(г) при г= =гь когда полюс в точке гв изъят. Член г" — ' в формуле (2.55) для определения с„соответствует введению дополнительного полюса в начале координат (п=О), в результате чего с возрастанием п растет порядок у нулей (фиг. 2.16, а).-Вычеты в полюсах функции г'(г) могут быть получены расчетом либо непосредственным -измерением на плоскости, причем из-за возрастания порядка нуля в начале координат:выче. ты умножают. на г)," — '. Последнее.
позволяет ввести понятие 'временных конфигураций, полезное для.. и)иллюстрации .многих - качест'- Заказ № 550 3 35 34 ГЛА11А а воцноц ШТ1 р/г Ввацмно ком пенсцруккцся 1 Я вЂ” 1 Я -1х Дцскретяцзованный скачок, Г(г) =— е-1 п=г 1 ' п=О четц (о:58) х (1+1)Т='рх (АТ)+и(АТ). в Фиг. 2.16. Временные конфигурации и вычеты. а-т а — представление г: б — примеры временных конфигураций; в — представление вычетов фаворами.
41 венных результатов. Поскольку вычет в полюсе умножается на гй, т. е. на положение полюса для каждого интервала Т, то любому полюсу вне круга единичного радиуса соответствует возрастаю зя (неустойчивая) составляющая, а любому полюсу внутри такого круга соответствует устойчивый затухающий сигнал. Нескс.. ко примеров приведено на фиг. 2.16,б. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ДИСКРЕТИЗАЦИИ И г-ПРЕОБРАЗОВА111114 Вычет, может -быть представлен графически ' в виде фазора (вектора), исходящего из местоположения полюса на плоскости, причем его угол после каждого интервала Т изменяется на величину аргумента гй из-за наличия дополнительного нуля в начале координат. Результирующая величина 1(пТ) равна сумме фазоров всех вычетов, При этом учитываются только действительные составляющие, поскольку мнимые исчезают.
Несколько примеров приведено на фиг. 2.16, в. 2.10. Разностные уравнения, г-преобразования и передаточные функции Непрерывные временные функции 1 (1) могут рассматриваться как решения дифференциальных уравнений, которым можно сопоставить аналоговые вычислительные ~блок-схемы. По аналогии импульсную последовательность 1(п1) о(1 — пТ) можно рассматривать как решение соответствующего разностного уравнения, которому также можно сопоставить блок-схему. При решении дифференциальных уравнений существенной операцией является интегрирование, описываемое в плоскости е оператором 1Д. В разностных уравнениях существенной операцией является единичная задержка, описываемая оператором 1/г, или г — '.
Анализ дифференциальных уравнений в плоскости г приводит к понятию передаточных функций и представлению временных функций в плоскости е с помощью преобразований Лапласа. Аналогично анализ разностных уравнений в плоскости г приводит к понятию передаточных функций с аргументом г и к г-преобразованиям. Система, показанная на фиг. 2.17, а, включает элемент задержки (г — ') и цепь положительной обратной связи с коэффициентом р. Она имеет два выхода х1 и х2 и вход и.
Импульсы могут свободно циркулировать в системе с временем задержки Т. Если при 1=ИТ импульс на выходе х1 равен х1(ИТ), то импульс до задержки равен х1 [(1+1) Т~, поскольку он приходит,на выход х1 в момент 1= (юг+1) Т. Сигнал, который попадает на вход по цепи обратной связи, равен рх1, и, следовательно, разностное уравнение может быть записано в виде Если на вход и подать единичный импульс в момент 1=0, он'появится на выходе х2 в момент 1=0 и на выходе х1 в момент, 1,— Т, в результате чего на выходе х2 будет сигнал ха(Т) =р. Далее импульс будет циркулировать по петле обратной связи,,изменяясь при каждом обороте в р раз. На выходах х1 и ха образуются.им-, 3» 37 36 ГЛЛВЛ г (2.60) хг 1н 7) аг)11г) 1~ 1 11а05 а1г) =1+2г '+г +0,5г хг1к7') =х11н+1) Т =/Зх1кТ) ~- и1к7) 1 — 1г) =— а г+8 Собопкенные копебанан) 1Собоп~венные нопебанав) гХ (г)=рХ (г)+-е)(~) (2.61) или (2.63) или х 1*~ =Н (г).
(2.68) пульсные последовательности, показанные на фиг. 2.17,а. Эти по- следовательности в плоскости г могут быть представлены в виде Х, (г) =1+ рг-'+ ~'г-'+..., -, 1',2.59) Х, (г) = О+ г-'+ Вг-'+ ~'г-а+... = 1 г — р Фиг. 2.17. Система с обратной связью в области г. а — импульсная характеристика системы; б — влияние перемены знака обратной связи. Исходное разностное уравнение в области г может быть записано следующим образом: (г — р) Х, (г) = с) (г). (2.62) Ф Эти уравнения позволяют получить собтношения, связывающие вход и выход системы (передаточные функции): Х,(г) 1 Х,(г) 0(г) г — р 0(г) г — р ' В обоих случаях передаточные функции имеют одинаковый знаменатель с полюсом в точке г= р, который "Оответствует дискретизоваиной -затухающей экспоненте.
Таким- образом, г-преобразование импульсной характеристикй представляет собой передаточ- ВВеД1.н11е В теОРи1О ДисКР1 тизл11ии и с-пРеОВРлзОВлни1я ную функцию. Следовательно, в области г наблюдается. такое же соотношение между импульсной характеристикой "Й' МфЩаточной' функцией, как и в области з. В обеих областях системы имеют' свой характерный отклик на единичный импульс либо на любой другой входной сигнал. Следует заметить, что изменение знака в цепи обратной связи, как показано на фиг.
2.17, б, ~не .приводит к неустойчивости системы, а лишь сдвигает полюс В точку г = — р, в результате чего иг)11г) Фиг. 2.18. Отклик системы на обобщенный входной сигнал. импульсная характеристика имеет вид затухающих колебаний. Устойчивость системы определяется ~~~; при ~~~ ) 1 полюс расположен вне круга единичного радиуса и система является неустойчивой. Если на вход подается сигнал общего вида У(г)=и,+и,г-'+и,г-'+..., (2.64) каждому его члену соответствует свой отклик, так что если импульсная характеристика системы задана выражением (фиг.2.18) Н (г) =Ьв+Ьтг +Ьаг + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
