Богнер, Константинидис - Введение в цифровую фильтрацию (1044115), страница 6
Текст из файла (страница 6)
(2.65) то на выходе получим Х(г)=ио(Ьо+Ь,г-'+Ь2~ '+ ° ° ° ) + +иъг т(Ьо+Ь1 +Ь г + ' )+ » и -2(Ь -~-Ь г-т+Ь г з+... )+..., (2 66) что можно представить в виде произведения г-преобразований входной последовательности и импульсной характеристики, т.' е. Х(г)=с) ~г) Н(е), (2.67) ГЛАВА 2 Упражнения иа г-преобразования Импульсная харантпврисптка Л(выход) Ф и(г) Ь(г) (1 — Ьг-') (1 — сг ') Х(в) =— 1 1 в 1+ вт (2.69) х (() =1 — е-~Р', (2.71) получим Таким образом, г-преобразование импульсной характеристики является передаточной функцией системы.
Итак, окончательный результат можно получить, перемножая непосредственно г-преобразования и передаточные функции. При этом следует соблюдать осторожность при переходе из области непрерывных сигналов, поскольку методы г-преобразования основаны на использовании не непрерывных, а только импульсных сигналов, Фиг. 2.19. Аналоговые и дискретные системы.
а — аналоговая система; б — соответствующая дискретная система. В качестве примера на фиг. 2.19, а .показан непрерывный отклик аналоговой РС-цепи на единичный скачок. Преобразование Лапласа отклика равно произведению преобразований скачка и импульсной характеристики: Однако ошибочным будет выражение для г-преобразования, полученное на основании Х(в) в виде г г г' Х (г) — (неверно) . Чтобы получить корректное г-преобразование, необходимо передаточную функцию из в-области преобразовать во временную область, а затем каждый ее член выразиу'через г-преобразование. Следовательно, используя Х (г) — — — — ) (верно). (2.72) На фиг. 2.19, б показана блок-схема этой системы. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ДИСКРЕТИЗАЦИИ И а-ПРЕОБРАЗОВАНИИ 1.
а) Получите г-преобразование для ~(() = е ' при интервале дискретизации Т=1, 0,5 и 0,2с и изобразите полюс цреобразования на г-плоскости. Запишите первые три-четыре начальных члена разложений в ряд этих преобразований и представьте графически относительные величины членов разложения на одной шкале времени. 1 б) Найдите г-преобразование для ~(1) =1 — е — ' в виде про- изведения при интервале дискретизации Т = 1 с и нанесите на график нули и полюсы в г-плоскости. 2. Найдите г-преобразование для ((ь) =е — о" сов ( при интервале дискретизации Т.
1Примечание: выразите ((ь) в экспоненциальном виде и затем скомбинируйте к-преобразования отдельных членов.) Нанесите на график нули и полюсы в г-плоскости при Т=тг(4, л/2. Кроме того, покажите, как будут располагаться нули и полюсы при Т вЂ” и и Т=д. 3. Для следующей системы найдите передаточную функцию относительно выходов х, и х2 н запишите несколько первых членов разложения передаточной функции в ряд.
(Примечание: 1/(1 — а) =1+а+а2+а'+ ....) При условии, что на вход поступает одиночный импульс, найдите последовательные значения отсчетов в точкахх1 и хгсигналов, циркулирующих в системе, и сравните результат с полученным в первой части задачи. 4.,При условии, что два выхода системы, рассмотренной в задаче 3, склг.",ываются, найдите результирующую импульсную характеристи:у, просуммировав импульсные характеристики в точках х1 и х2. Зап.;шите также выражение для результирующей передаточной функции и нанеснте на график нули и полюсы в плоскости г. Глава 3 гллвл г 40 3.1. Общие замечания ЛИТЕРАТУРА о~ =а,.и~, и =и, (/г) + и, (Й) + . .
. + и„ (Iг), для умножителя для сумматора для элемента задержки п„=и„,. Наконец, найдите последовательность импульсов на выходе системы, на вход которой поступают чередующиеся положительные и отрицательным импульсы. .Для этого с учетом соответствующей задержки просуммируйте импульсные характеристики, полученные в первой части задачи. ~,равните результат с тем, который был получен в упражнении 3, а также получите его независимо умножением передаточной функции на я-преобразование входной последовательности импульсов. Книги, содержащие разделы по а-преобразованиям и дискретным системам: 1. Кпо В.
С., Ап1огпа11с Соп1го! Яуз1егпз, Ргеп11се-На!1, 1967. 2. Сгпр1а 5. С., Назс!ог1 1., Рппс!агпеп1а1з о1 Ап1огпа11с Соп1го1, %11еу, 1970. 3. СгаЬе! К. А., КоЬег1з К. А., Ядпа1з апс! 11пеаг Яуз1егпз, %11еу, 1973. Более глубокое изложение можно найти в следующих книгах: 1. !.!прог! О. Р., ТЬеогу о1 Яагпр1ед Оа1а Сон!го! Яуз1егпз, 7Иеу, 1965. 2. Кпо В.
С., 01зсге1е Оа1а Сон!го! Яуз1егпз, Ргеп11се-На!1, 1970. 3. Ргеегпап Н., Изсге1е Типе Яуз1егпз, %!1еу, 1965. 4. нпгу Е. 1., ТЬеогу апс! Арр11са11оп о1 1Ье а-Тгапз1оггп Ме1Ьой, %11еу, 1964. ОБШИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ А. Константинидис ! В классической линейной теории цепей электрические свойства элементов схем описываются линейными математическими операциями над токами и напряжениями. Так, для резистора, индуктивности и емкости справедливы математические соотношения ®=ар), ®=~ „,, (~)= „, где все символы имеют общепринятые значения. При использовании этих формул совместно с законами Кирхгофа получают систему линейных дифференциальных уравнений (или, в общем случае, уравнений, сводимых к дифференциальным), характеризующих конкретную линейную цепь.
Однако элементы, которые используются в цифровых фильтрах, выполняют не такие функции, как резисторы, индуктивности и емкости. Они,,как ~правило, характеризуются зависимостью между входом и выходом, а не соотношением между токами и напряжениями. Так, Приведенные здесь символы и указанные операции иллюстрируются на фиг. 3.1. Пусть элементы цифрового фильтра соединены одним,из желательных способов. Это соединение с учетом выполняемых элементами функций определяет действия над сигналами, которые либо изменяются по величине, либо складываются с другими сигналами, либо задерживаются.
Это значит, что для системы, состоящей из таких элементов, с одним входом и одним выходом можно составить линейное разностное уравнение, описыва:ощее ее поведение. Для иллюстрации рассмотрим следующий пример. Пример 3.1. Дискретная система работает таким образом, что каждый выходной отсчет сигнала получается в результате сложе- ГЛАВА 3 42 43 ОЛ = а'с ЦК и1н) = 2. и;~Л) Фиг. 3.1. Элементы цифрового фильтра. и =и +ссо =О+а 1=а. 'ч = ин-1 ния входного отсчета с частью а предшествующего (по времени) выходного отсчета.
Решение. Уравнение, описывающее данную систему, выводится следующим образом. Обозначим А-й выходной отсчет через оА, так что предшествующий выходной отсчет будет иА 1. Пусть так- же иА будет А-м входным отсчетом. Система описывается уравне- нием ил =иА+ ссоА (3.1) которое справедливо для положительных отсчетов времени (т. е. для всех положительных А).
Уравнение 13.1) является линейным разностным уравнением первого порядка. Поучительно рассмотреть работу этой системы во временнбй области. Для этого используем входной сигнал и„=(1,0,0, 0,...), который имеет значение 1 при ~=0 и нуль при всех других ~. Если предположить, что элемент задержки (фиг. 3.2) не содержал Фиг. 3.2. Выходной сигнал ок = и~ + ао~ 1 при ик = 11, О, О, О, ...). ОБЩИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ отсчетов сигнала в начальный момент времени, то система будет работать следующим образом. При 1=0 сигнал на входе равен 1, и, так как элемент задержки содержит нуль, на выходе также будет нуль. На выходе сумматора, следовательно, появится первый выходной отсчет, равный 1. Он сразу же оказывается на входе элемента задержки и запоминается в нем.
Система остается в таком состоянии до тех пор, пока через интервал Т на ее входе не появится следующий отсчет. В этот момент времени на выходе элемента задержки в точке С мгновенно появляется хранящийся в нем отсчет, равный 1, который в точке Р умножается на коэффициент а. Таким образом, следующий выходной отсчет в точке В равен ) Эта величина снова запоминается в элементе задержки.
Аналогично выходные отсчеты в следующие моменты времени будут равны с~~=а~, А=О, 1, 2, 3, . 13.2) На фиг. 3.2 изображен выходной сигнал для трех различных положительных значений а. Из графиков, а также равенства 13.2) видно, что выходные отсчеты уменьшаются по величине с течением времени (т. е. при увеличении А) только при условии, что модуль коэффициента а меньше единицы. Следовательно, система устойчива тогда и только тогда, когда ) а) (1.
Полученный выходной сигнал можно рассматривать как импульсную характеристику системы. Она имеет уже знакомый вид затухающей экспоненты, который характерен для изменения напряженпя в КС-цепи. 3.2. Уравнение цифрового фильтра Приведенные выше рассуждения и материал, изложенный в гл. 2, позволяют дать обобщенную характеристику цифровым фильтрам. Пусть иА — А-й отсчет входного сигнала цифрового фильтра. Тогда ил „вЂ” отсчет того же сигнала в момент 1=(к— — г) Т. Аналогично, .если оА — А-й отсчет, выходного сигнала, то пА, — выходной сигнал в момент 1= (А — г) Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
