Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Полагая и(1) =! ср(1, р) — тр(1, )А ) !, мы, в силу предложения й) ф 21, получаем при 6,~Сетя: л'-'К Пусть ря — положительное число, удовлетворяющее неравенствам.' ря(К (11) с.,~,„(ря)< а. (9) В дальнейшем будем считать, что )А удовлетворяет неравенству 11А 1А 1(Рм (10) н покажем, что 1,=г,, так что решение ~р(1, 1А) определено на всем о~резке 1я~1~гя Так как точка (1а, «Р(1„, 1А), ф, по пРедположению, лежит на гРаниие множества П, то для этой точки одно нз неравенств (4) должно переходить в точное равенство. В силу неравенств (8), (1О), имеем ! 1А.— )А"' ! <" Ь.
7(злее, в силу неравенств (1) О), (9) и (7), имеем (~р(Р,. ф — тр(сд, )яв)/(а. Так как, накоиеи, 1,)1я, то нз всех иеравсисав (4) в равенство может переходить лишь неравенство 1„ = г„ и поточу мы имеем 1я = г,. '1'аким образом, доказано„что при Т4'~ 1„существуют такое число г,)1: и такое положительное число р, что ири 1„:= 1-, г, и ~р — 1АЬ~<. ря точка (1, р) принадлежит мио;кепву Т и выполнено неравенство (7). Аналогично доказывается, что при 1* = 1 существуют такое число г, (1я и такое положительное число р,, чао при г, = 1 ~ 1„ и )ьь — р"( ( р, точка (1, 1А) принадлежит множеству Т и выполнено неравенство ~ ~' (т 1А) — ~' (1 )ь"), < с 'г ( ' )А — 1т " 1 ) аналогичное неравенству (7). Из сказанного следует, что если точка (Р, )ья) принадлежит множеству Т, то, каково бы ни было расположение точки Р относительно т„, всегда существуют такие положительные числа г и р, что при ~1 — 1'! < !) — 1*~<р (12) точна (1, )А) принадлежит множеству Т и имеет место неравенство ~ р(1, 1)- р(1, н )~(ср((1 — ) ~).
(1З) 1гл. л ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ Так как совокупность всех точек (г, р,), удовлетворяющих условию (12), составляет окрестность точки (г", )ь"), то Т есть открытое хгножестгго. Докажем теперь, что функция гр(г, 1ь) непрерывна в точке (т", р, ). Для этого оценим разность гр(1, )А) — гр(гь, )А*), Мы имеем: 1гр(г> )ь) гр(1ч Ра)1~!4Р(т Р) гр(г М )1+ +1ф(1 р"') — Ч (1* ра)! Первое из слагаемых, стоящих в правой части, мало, когда мало число ~1ь — )А" ~ (см. (13)).
Второе из слагаемых мало, когда малым является число (1 — Р (, в силу непрерывности функции гр(1, )ь*) переменного т. Таким образом, гр(1, )ь) есть непрерывная функция пары переменных 1, 1ь. Итак, теорема 13 доказана. Непрерывная зависимость решения от начальных значений Теперь мы будем рассматривать нормальную систему уравнений: хг=гг(г, х', ..., х"), 1=1, ..., и, (14) правые части которых определены и непрерывны вместе со сяопин частными производными (1 5) на пекогором открытом множестве Г пространства гс переменных т, х', ..., х". Пусть х=у"(1, х) (16) — векторная запись системы (14).
Ь) Каждой точке (;, й) множества Г соотвегствует непродолжаемсе решение гр(1, т, Е) уравнения (16) с начальными значениями 1ь=ч, х, = й, определенное на интервале глг (;, й) (1 (гп, (ч, й) (см. ф 22, Л)), который зависит ог начальпьгх значений ч, й. Множество о всех точек (1, -., Е) пространства переменных 1, г, Р, ..., Г, для которых функция гр(1, -., й) определена, описывается, очевидно, условиями: точка -., Е принадлежит множеству Г, а число Р удовлетворяет при эгон неравенствам пг,(-., Ц)(1(ггг„(-., ~).
Теорелга 14, г14ноггсесгггво 8 всех точек (1, г, Е), на г;оторых определена функция гр(1, ч, Е), являгогцаясгг неггродолжаелгылг решенггелг уравнения (16) с начальны,ии значенггялггг т, й, есгпь отгсрыгпое лгнолсесгггво в ггростринспгве перелгенггых 1, т, сг, ..., г". Далее оказывается, что Ягнкцггя гр(1, т, й) непоерывна по совогсупносгггп всех своих ггргуженгггов на лныкесгггве 8. непяерывнля злвиснмость от нлчлльыых знлченип 183 Еопструкция, излагаемая в нижеследующем предложении В), делает эту теорему непосредственным следствием теоремы 13. В) Пусть (т, й) — произвольная точка множества Г.
Вместо независимого переменного 1, имеющегося в уравнении (16), введем новое независимое переменное г по формуле 1=т+а. (17) Вместо неизвестной векторной функции х, имеющейся в уравнении (16), введем новую неизвестную векторную функцию у по формуле х = 9+у. (18) В новых переменных уравнение (16) запишется следующим образом: Ия —,=У( +а, 4+у). (19) Так как функция у'(1, х) переменных 1, х определена на открытом множестве Г, то функция 8'(а у» 6) — У( 1-з й гу) (20) переменных а, у, т, й определена прн условии, что точка (т+г, ф+у) принадлежит множеству Г, Это условие, как легко видеть, выделяет в пространстве К переменных а, у, т, $ некоторое открытое множество Г, и на этом множестве векторная фушсция (20) непрерывна, а ее компоненты имеют непрерывные частные производные по переменным у', ..., у".
Будем считать, что величины т, й являются параметрами в уравнении (19), и пусть у=ф(а,, В) (21) --- пепродолжаемое решение уравнения (19) (см. $ 22, А)) с фиксированными начальными значениями а= О, у = О, т, е. решение, удовлетворяющее начальным условиям ф(0, т, 6)=О.
(22) Переходя к старым переменным по формулам (!7) и (18), мы получим функцию х=ф(г, т, $)= 9+ ф(1 — т... $), (23) (р(т, т, ф)=$. Из того, что решение (21) непродолжаемо, следует, что решение (23) также непродолжаемо, так как если бы решение (23) можно было продолжить, то моакно было бы продолжить и решение (21). являющуюся, как показывает непосредственная проверка, решением уравнения (16), уловлетворяющим начальному условию 184 1гл. ь теОРемы существовлния Лок аз а тельство теоремы 14.
Г1редложепие В) сводит изучение зависимости решения от начальных значений к изучению зависимости решения (при ф и к с и р о в а н н ы х начальных значениях) от параметров, входящих в правую часть уравнения. Это изучение было осуществлено в теореме 13. В силу этой теоремы, непродолжаемое решение у=ф(з, ч, 9) уравнения (19), содержащего в правой части параметры ч, 9, взятое при фиксированных начальных значениях з, = О, у, =- О, определено на некотором открытом множестве Т в пространстве переменных в, ч, й и непрерывно на этом множестве по совокупности всех своих аргументов. Непродолжаемое решение х=<р(1, ч, й) уравнения (16) с начальными значениями ч, й выражается через решение у=чр(з, ~, 9) цо формуле (23).
Переход от аргументов з, ч, 9 функции чр к аргументам Ф, ч, 9 функции «р осуществляется формулами т = 3+ 7, Это преобразование пространства переменных в, ч, й в пространство переменных 1, ч, й является аффинным и потому переводит открыгое множество Т, па котором опрелелена функция чр, в некоторое откры гое множество 8, на котором определена функция <р (см. $ 32, пример 1). Таким образом, множество 8 всех точек (1, ч, й), на котором ощеделена функция !р, является открытым в пространстве неремешпах 1, ~, й. Непрерьпшость функции тр следует из непрерывности функции ф, в силу формулы перехода (23). Таким образом, теорема 14 доказ;ша.
Теоремы 13 и 14 могут быть об1:сдп!!е!!ы в одну: Теорем а 15. Пусть х=гр(1, ч, й, )ь) — непродолжаел«ое решение уравнения (3) с начальнымп значснпялгп -., 9. Тогда функция <р(1, ч, ~~, )ь) определена на некотором открьыпом множестве пространства переменных 1, ч, 9, )а а непрерывна на нем. Эта теорема локазывается так же, как теорема 14,— путем замены переменных (17), (18) и последующей ссылки па теорему 13. Следствия теорем !3 и 14 Теоремы 13 и 14 прелставляют собой несколько необычно сформулированные интегральные теоремы непрерывности.
Приведенные здесь формулировки интегральных теорем непрерывносги (теоремы 13 и 14) являются новыми; опи существенно отличаю~си от формулировок, имевшихся ло сих пор в математической литературе. Нижеслелую!цие предложения Г) и Л) являются прямыми следствиями теорем 13 и 14. Эти предложения по своим формулировкам ближе к обычным формулировкам интегральных теорем непрерывности. Следует, однако, отметить, что формулировки теорем !'3 и 14 наиболее полно охватывают факты, относящиеся к «!епрерывной зависимости решений от параметров и начальных значений.
Предложение Г) по существу было установлено в процессе доказательства $2«1 лиФФегенциРуГмОсть по т!Ачлльным знАченням .: 1«15 теоремы 13, но здесь Оно выводятся из самой теоремы 13, чтоСы иолчеркиуть полноту ее солержания. Г) Если решение «р (Е, 1«) уравнения (1) с начальными значениями Е«, Х«пРи !!=и«опРелелено на отРезке г, ==Е~г,, содеРжащем Ея (это означает, что отрезок г, ~Е(гя содержится в интервалеопределения решения «р (Е, )х*)), то существует такое положительное число р, что при ! г! — 1«') ~р пепродолжаемое решение «р (Е, 1«) с начальными условиями ЕФ х„такжеопределенонаотрезке г,~Е~г,. Далее, для всякого положительного а найлется такое положительное Ь(р, что при г, =Е:=-г,, ~1ц — 1««:~(о имеем )Ч!(Е, 1«) — гр(Е, )«"")((а.
При доказательстве этого предложения используем теорему 13. 3,ак как множество Т ис«х пар Е, )А, на котором определена функция «р (Е, )А), о«крыло, а точки (г„)А«') и (г,, )«*) принадлежат ему, то существует настолько малое положительное число р, что при ~1« — )«: )~Р точки (г„)А) и (г«ь )«) пРинадлежат миожествУ 7'. Это значит, что иигервал определения непродолжаемого решения «р (Е, !ц) содержит вссь отрезок г,. Е.-.:=г„т.е. решение «р (Е, (А) определено на зтоъ! отр«зке. Множество Р всех точек (Е, )х), для которых г,~Е=г„))А — 1««'(=:-р, замкнуто, ограничено и расположено в У; Так как Р сол«ря ится в Т, а функция «р (Е, )«) непрерывна на Т, то она равномерно непрерывна на Р.
Отс«ода непосредственно вытекает правильность второй части предложения Г). Д) Если решение «р (Е, й)=«р (Е, ЕФ ф) уравнения (16) с началь- 1«ыми зная«пнями ЕФ ф при ф=~„определено на отрезке г, ==Е.-.=ггь солеРжаи!«х! Ееь то сУществУет такое положительное число Р, что пРи / ф — х,) ~ р иепрололжаемое решение «р (Е, к) также опрелелено на отрезке г, -:= Е =- г,. Далее, лля всякого положительного я найдется такое положит«лыюэе Ь(р, чго при г«=:-Е-::-г, ~~ — х,~!(«! имеем: ,'Ч(Е, В) — %(Е, х«!)~( .
Прслложеиие Д) выволигся из теорех«ы 14 точно так х'е, как предло;кение Г) из теоремы 13. 5 24. Дифференцируемость решения по начальным значениям и параметраы В прелылущем параграфе была доказана непрерывность решения по начальным значениям и параметрам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
