Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Перейдем теперь к доказательству единственности. Пусть х=тр(!) и Х=Х(!) — два решения уравнения (3) с обшими начачьиыми аиачеииями Г„, х„и г, (г (г, — нптсриал, являвшийся пересечением интервалов суи.ествоваиия решений ф и Х; очевидно, что г,(1,(г„. Покажем, что если регисиия ф(!) и Х(!) совпадают и некоторой точке С, интервала г,(Г(г, то они совпадают и на некотором интервале,' ! — - Г, / (г, где г — достаточно малое положительное число, положим х,=-ф(1,)=Х(г,); тогда величины 1„х, могут быть прннягы аа иа гальные значения обоих решений Х=ф(!) и Х=Х(Г).
В этом смысле точка (Фи Х,) ничем не отличаетса ог точки (Г„, Х,) н потомУ мы сохРгиигм эа точкой (!и Х~) обозначение (Гге х,); это позволит нам сохранить и друвис прежние обозначения. !!ереходя от диффсреиииальиого урл и.:иия (3) и шггегральиому уравнению (9), мы получаем для обеих функ ~нй ь,"(г) и у(Е) интегральные равенства, которые и оисргго! пой <1'ирме ькгут бып записаны в виде; ф-= Лтр Х вЂ” ЛХ. (26) Выбс!км тси рь, ьшг и прежде, в множестве Г миоькество П с цеигром в точке (1,, х„) (см. неравенства (1!)), содерлияееся в Г, а злам миожссы;о П, таким образом, чтобы шсло г, крои иераесисгн (16), (19), (22), удовлегворяло сиге тому условшо, чго ири '! — 1„=-.
г <мики ш ф и у оирсдслсиы и удовлетворяют иеравеил вам: ! ~! (г) — Х„! ..:: а, ! у (г) — Х, ~ .: и. Это возмоя;ио, зак кш< функции ф(!) и Х(!) непрерывны. Тогда функции ф(г) и Х(!), рассматриваемые иа отрезке !! — г„' =- г, входят в семейство 2„и, слсдова гсги ио, и силу неравенства (18) и соотношений (26), иолуча;и: !М вЂ” Х1='! ЛФ вЂ” ЛХ!!==д(Ф вЂ” Х1 а это возможно только тогда. когда '!!ф — Х ", = О, т.
е. когда фУнкции ф и Х совпадают на отРезке !! — ге ~ ( г. слУчАЙ ноРИАльыоп системы УРАВнений .: 169 $2!'! Докажем теперь, что функции ф(!) и )((1) совпадают на всем интервале г,(Ф< г,. Допустим противоположное, именно, что существует точка тв интервала г, с с(г2, для которой ф(гя) ~ у ф*). Ясно, что Р ,—е 1,. Для определенности будем считать, что ~А')1,. Обозначим через Ж множество всех тех точек г отрезка 1, =.1~2*, для которых ф(!)=у,(Е), и докажем, что множество М замкнуто. В самом деле, пусть тп 22, ...— последовательность точек множества Ф, сходящаяся к некоторой точке -.. Тогда ф(т;)=~(2;), и потому, в силу непрерывности функций Ар и ф()= В ф(;)= Дш Х( )=Х() т, е. точка т так'ке пршеадлежнт множеству /Ч. Обозначим через 1, точную Верхшою грань множества !У'.
Так как Ж замкнуто, то 1, принадлежит этому мномгеству, т. е. ф(1,)= =)((1,); следовательно, !2< г". Но тогда, в силу ранее доказанного, функции $ (Е) и 1((~) должны совпадать на некотором интервале !г.— 1,~ г, и точка г, не может быть точной верхней гранью множества !У'. Таким образом, мы пришли к противоречию. Итак, теорема 2 доказана. Выделим теперь в виде отдельного предложения некоторые факты, установленные при доказательстве теоремы 2 и нужные в дальнейшем: Г) Предположим, что правые части системы (1) (или, в векторной форме, уравнения (3)) определены и непрерывны вместе со своп- дУ' ми частными производными — на открытом множестве Г. Пусгь дх1 (1„х„) — некоторая точка множества Г, а д и а — такие положительные числа, что множество П, состоящее из всех точек, удовлетворяющих неравенствам (!4), содержится в Г. Пусть, далее, Л4 и К вЂ” такие положительные числа, что лля всех точек (1, х), удовлетворяющих неравенствам (14), выполнены неравенства (1о).
Пусть, наконец, г — какое-либо положительное число, удовлетворяющее нбравецствам (16), (19), (22). Тогда решение уравнения (3) с начальными значениями (1„, х„) определено на интервале !К вЂ” 1,) ( г. Более того, опо па отРезке !à — 1а! =.г полУчаетсЯ как пРедел последовательности фУнкций (23), нндуктивно заданных соотношением (24), причем для этих функций выполнено неравенство (25). Доказательство теоремы 3 Перейдем к доказательству теоремы 3, утверждающей, что для нормальной линейной системы и ХФ = Х а~ Я х3+ Ьгя =Г а х2, ..., хл), г = 1, ..., и, (27) /=! ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИл 170 1Гл.
» коэффициенты а,(1) и свободные члены Ь'(1) которой определены и непрерывны на интервале»7!(1(!7м существует решение с произ- вольными начальными значениями ! л 1» а»э ...> х»э ~»(т»(!7ь (28) определенное иа всем интервале !7»(т(!7. Мы покажем, что тот же самый оператор А (см. (10), (11)), применявшийся при доказательстве теоремы 2, ио построенный теперь при помощи правых частей системы (27), порождает последователыисть векторных функций Ч'»(1) р!(1) " »рг(1) "' (29) сходЯшУюсЯ на всем интеРвале !7! ( 1 ( !7м пРичем РавномеРно на любом отрезке, содержащемся в этом интервале.
При этом за !р (1) можно принять произвольную непрерывную векторную функцию, заданную на интервале !7»(г(!7,. Для проведения метода последовательных приближений нам здесь потребуется более точно оценить числа 1<р!!! — »р!), г=0, 1, 2,, При этом будет видно, что в рассматриваемом случае метод последовательных приближений не укладывается в рамки метода сжатых отображений.
Пусть А — оператор, определенный соотношениями (!О) и (11), исходя из системы (27) дифференциальных уравнений и начальных значений (28). Оператор А применим, очевидно, к любой непрерывной функции !р(1), определенной на интервале г7!(1(!7» Из предложения А) следует, что система (27) с начальными условиями (28) равносильна операторному уравнен!ио (8!1) !рг!! —— А»ри 1=0, 1, 2, ..., (81) определены на интервале 7! ( 1 ( !7,. Пусть г,~1~㻠— произвольный отрезок, содержащий внутри себя точку 1» и содержащийся в интервале д»(1(!7в так что !7! (г! (1»(г»(Ч». Покажем, что последовательность (29) равномерно сходится на отрезке г! ~1~ г» к решению уравнения (30).
Для правых частей уравнений (27) мы имеехс для которого мы и найдем решение, определенное на всем интервале 7»(1(!7». Функции последовательности (29), заданной индуктивным соотношением СЛУЧАЙ НОРМАЛЬЛ!ОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ и по гому при г, ==. г ~ гз имеют место неравенства где К в некоторое пологкительпое число. Так как функпии сро(г) и ор,(1) ограничены на отрезке г,: (~гм то на этом отрезке имеет место неравенство !ор (() — фо((И~С где С вЂ” некоторая константа. Далее, на том тке отрезке мы полу- чаем последовательно (см.
(5) и (6)): )о сс) — о с)С-/ ~сг«о с» — г«о с)))о ~~ уо ~с(сг«,о,с,)) гс„о,с.)))о.~(г)ссосс — ),о со с)) — о.о)с=() сг«,о с )) — гс'о с')))"' ~~ Ео (и'К)оС (~ сг«о с)) — у«о «))со ~~ 1 ° ° ° ° со„со — о;с))с=() сгс о;с)) — гс'о-с')))о)~~ со (и К) С ) )о Отсюда получаем (иоК(г„ г,))) осрс ) — В))-=С (и о К (го — г,))' Так как числа С,; ' образуют сходягпийся ряд, то последовательность (29) равномерно сходится на отрезке г, ~(= .г, к некоторой непрерывноп функпии ор((). Для этоп фус)кции мы имеем: г )ла — ло)с ( а~ ) ()г«ес)) — гс~ о«)))о')~ г) )~го со =" поК(г, — г,) ~1 ср; — гс.
,'~ 172 теОРемы существовяния ЯМ)( с( )+['[)стт, «>О, Р>0; (32) оказывается тогда, что она удовлетворяет неравенству и (Ф) ( — (с" с'-" [ — 1). (33) 71ля доказательства предложения 5) рассмотрим наряду с инсегральным неравенством (32) интегральное уравнение и ([) = ~ («в (".) + [3) ссх са и покажем, что имее~ место неравенство п(т)-= х (с). [[ля этого будем решать интегральное уравнение (34) методом последовательных нрибли;кеши!. Так как подынтегральсве вырамсеыие в (34) линейно относительно функции п(с), то последовательность приблимсений равномерно сходится на всем отрезке [л-%,1~1, (см. доказательство теоремы 3).
За исходнусо функцию при построении последовательных приблимсении примем функцию пл(1)=н([). Йалее положим: х;,, ([) = $ («т; (т) + ~) сй. (35) со Мы докажем индукцие[[ по 1, что каждая функция п[(г) удовлетворяет интегральному неравенству п[(1) = ~ ( [(')+ ФИ' (36) се так что последовательность функцид Асрм Асрн .. „Асрп равномерно сходится и функции Аср на отрезке г, =с:-гя.
Переходя к пределу в соотношении (31), мы получаем: ср= Аср. Так как г,:-с (гя есть произвольный отрезок, содержащий точ- кУ Г, и содеРжащиясЯ в интеРвале с)с(с(с7«, то последовательность (29) сходится в каждой точке интервала с7,(г(с7, и потому функция ср([) определена на всем интервале с), (1(с7, и на всем этом интервале является решением уравнения (30).
Итак, теорема 3 доказана. Пользуясь методом доказательства теоремы 3, установим нижеследусощее важное для дальнейшего предложение: Д) Допустим, что заданная па отрезке 1„~ г — г, непрерывная (скалярная) функция и (1) удовлетворяет интегральному неравенству л 221 непРодолжАел1ыГ Решения 11ри 1=0 это неравенство верно, так как па(8)=п(1) (см. (32)). Допустим, что оно справедливо длч функции и;(У), и докажем его для функции и;+,ф. В силу предположения индукции, мы имеем: и; +, (1) = $ (х и; (т) + р) Йя ~ и; (1). 1л Таким образом, гл (г)=- (1) (37) Поэтому, вниду положительности числа я, мы получаем из (35): и;+,(1) = )(ятг; л(т)+ р)сКт, )а Проведенная индукция доказывает неравенство (36); одновременно установлено неравенство (37).
Из этого следует, что предел п(1) последовательности и (1)=п(Е),п,(1),...,п;(1),... Не меньше каждой иа фуч1кцни и;(г), и в частности п(Г)=и(г). Теперь для завершения доказательства предложения Д) достаточно доказать, что решение п(г) интегрального уравнения (34) совпадает с правоб частью неравенства (ЗЗ).
В силу предложения А) Э 20 решение п(1) уравнешш (34) совпадает с решением дифференциального уравнения б(1)= х п(Е)+ 3 при начальном условии п(1,) =О, т. е. с правой частшо неравенс ва (33). Таким образом, предло:кение Д) доказано. ф 22. Непродоллкаемые решения В Ч 3 было введено понятие непродолжаемого решешгя (см. Э 3, А)). Месь при помош,и совершенно элементарных соображений из теоре- м1Я 2 будет выведено, что каждое решение может быть продолжено до решения, далее непродолжаемого (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
