Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Доказательство предложения Е) вытекает из предложения 3) $17. Можно также провести его и непосредственно. Сделаем это. Предполагая, что на величины (20) наложены условия (21), мы получаем из формулы (19) путем дифференцирования следуюшие соотношения: а=с'(1)ф,(1)+ ... +с" (Ф)ф„(1), й=с'Н)фг(Г)+ ... +с" (ОФ. (1). г1" н=с'(1)ф~~" '(1)+ ... +с" (1)ф„'" 'Щ, а'"~ =с' (1)ф~ (г)+ ... + с" ® ф„(1)+ +с'(г)ф'," п(1)+ ... +с" (1)ф'„" '-(1)= =с'(1)фГ ~ (О+ ° ., +с" (С) фГ~И)+Ь(1). Подставляя эти выражения в уравнение (16), получаем тождество.
Таким обрааом, если функции с'(К), ..., с" (1) удовлетворяют соотпо' несениям (21), то функция (19) является решением уравнения (16). Примеры 1. Если известно нетривиальное (не равное тождественно пульп) решение ф(1) уравнения (4), то порядок этого уравнения можно снизить на единицу, т. е. свести его решение к решению линейного уравнения порядка и — 1. Лля этого произведем замену у=ф(г) ' (22) где ъ — новая неизвестная функция. Мы покажем сейчас, что результат подстановки (22) в левую часть уравнения (4) приводит нас к уравнению Ь (Г)п~ ~+ Ь (Г)з ~ '- -г-Ьл-$(Р)ТУ+ Ь И)6=0 (23) для ъ, причем Ь,(г) = ф(1), Ь„®= 0.
(24) Так как все наше исследование справедливо для уравнения л-го порядка, коэффициент при п-й производной у которого равен единице, то соотношение (23) приходится делить на Ьр(г)=ф(1), и потому ! 45 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ и-гь ПОРЯДКА $!а! сведение уравнения (4) к уравнению (23) имеет место лишь на таком интервале, где ф(1) не обращается в нуль. Полагая = 1) (1) )( ) Ф(~) = и заменяя неизвестну)о функцию в новой неизвестной фушсцией мы приходим к уравнению и'" "+1 (1)тв'" ')+ +1,(1)а>=0 порядка а — 1. Если имеется решение )((1) этого уравнения, то решение т) уравнения (23) получаем квадратурой: =') Х(1) 11, а решение у уравнения (4) получается подстановкой найденной функции ъ в (22).
Докажем, что подстановка (22) приводит уравнение (4) к виду (23), причем выполнены соотношения (24). Дифференцируя соотношения (22), получаем; где не выписаны члены, содержащие производные от о порядков, мень!них чем л. Из этого следует, что уравнение (4) принимает вид (23), причем Ь,(1) =ф(1). Так как ф(1) есть решение уравнения (4), то с =1 есть решение уравнения (23). Подставляя решение ))=1 в (23), получаем 7У„(1) = О. Таким образом, соотношения (24) .доказаны. 2.
Приведем доказательство формулы Лиувилля (15) для одного уравнения и-го порядка, не опирающееся на формулу Лиувилля для СиСтсх)ы (см. формулу (16) й 17). При этом мы будем пользоваться нрйвилом дифференцирования .детерминанта, данным в й 17 (см. й 17. Е)). В силу этого правила дифференцирования мы получаем из. (14); Ю(1)=%',(1)+...+ Ю;.(1)+...+ Ю„(1), где !!)'; (1) есть определитель Вронского !ь'(1), в котором продифференцирована 1-я строка.
Если 1(н, то в результате дифференцирования 1-й строки мы получаем строку, совиадаюгцу)о с (1 —,' 1)-й строкой определителя !Р'(1), и потому мы имеем: !Р) (1) = !Ра (1) ° = !Р ) (1) = О. При дифференцировании н-й строки мы получаем строку )гю (1),)..> (1) которая в силу уравнения (4) является линейной комбинацией строк определителя т!'(1), причем и-я строка берется с коэффициентом 146 линейные УРАВнениЯ с пеРеменными коэФФициентами [Гл. 3 — а>(8). В силу наличия в определителе >У'„(>) строк определителя Вронского с номерами 1, ..., н — 1„эти строки в линейной комбинации можно отбросить, и остается лишь н-я строка с коэффициентом — а>(1).
Таким образом, для определителя Вронского получаем дифференциальное уравнение 1Р(1) = — а> (1) 11Г~Г). Решая его, получаем формулу Лиувилля (15). $ 19. Нормальная линейная однородная система с периодическими коэффициентами Среди линейных уравнений с переменными коэффициентами особенно важную роль играют уравнения с п е р и о д и ч е с к и м и коэффициентами. Настоящий параграф посвящается изложени>о некоторых свойств нормальных линейных однородных систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, Из приводимых здесь свойств этих систем центральным является теорема Ляпунова. Приведенное здесь доказательство теоремы Ляпунова менее элементарно, чем все предыдущее изложение книги.
Оно опирается на матричное исчисление, необходимые сведения из которого излагаются в добавлении П. 11усть Х= А(1)Х вЂ” нормальная линейная однородная система уравнений„записанная в матричной форме (см. Е> 17, К)). Мы будем предполагать, что коэффициенты этой системы являются периодическими функциями времени 1 с периодом т, т. е. матрица А(1) удовлетворяет условию А (1 - 1- ) = А (Г). А) Для В якого (»агрпчпого) ре>пения Х=1® уразне>шя (1) (см. 6 17, К)) найдется такая постоянная (невырожденная) матрица С, что >1>(г+ т) = >1>(г) С. Матрицу С мь> буче назьн>ать основной для решения (2). Если Х = >1> (>) — какое-либо другое решспие уравнения (1), а С вЂ” его оспщп>ая матршш, то мы имеем: С=Р 'СР, где Р— некоторая незырождеппая постоянная матрица.
$191 системА с певиодическими коэФФициентАми 147 Для доказательства существования матрицы С заметим, что, наряду с решением (2), решением уравнения (1) является и матрица Ф(!+а). В самом деле, Ф (! + т) = А (! + т) Ф (Е + т) = А (!) Ф (Е + т). Таким образом, в силу формулы (27) $17 имеем: Ф (! + т) = Ф (1) С, где С вЂ” постоянная матрица.
Для доказательства формулы (3) также воспользуемся формулой (27) $ !7. Так как Ф(Е) есть решение уравнения (1), то в силу упомянутой формулы имеем: Ф (1) = Ф (!) Р. Отсюда 'Ф(т+ т) =Ф(1+'с) Р=Ф(1)СР=ФЯР 'СР, что н дает соотношение (3), Б) Уравнение (1) и уравнение У=В(Е) Г с периодической матрицей В (6) того же периода т, что и матрица А (!), называются эквивалентными, если существует линейное преобразование )'= 8(1) Х (см. $ !7, Л)) с периодической матрицей 8(Е) периода т, переводящее уравнение (1) в уравнение (4), Оказывается, что уравнения (!) и (4) тогда и только тогда эквивалентны, когда существуют решения Х=Ф(!) и )'=Ч'(г) этих !уравнений с одной и той же основной матрицей.
Докажем это утверждение. Допустим сначала, что уравпсппа (!) и (4) эквивалентны, Пусть Х= Ф(1) — произвольное решение уравнения (1) с основной матрицей С; тогда у'=Ч'(!)=Я(!)Ф(1) ес>ь решение уравнения (4), и мы имеем: Ч' (!+ ) = 8(!+- ) Ф (г+ ) Л(!) Ф (г -,'- т) = З(!) Ф (!) С = Ч' (!) г:, Таким образом, основная матрица С решения Ф(!) являешься основной и для решения Ч(!). Допустим теперь, что существуют решения Х=Ф(!) и г'= Ч'(г) уравнений (1) и (4) с одной и той же основной матрицей С; тогда мы имеем: , Ф (! + т) = Ф (!) С, 'У (г + т) = '1: (г) С, 148 лннвиныв урЛвпепйя с пврвмвнНЫМН КОНэфнцнвнтлмн 1г.
а Деля второе из этих соотношений справа на первое, получаем; ~'(1+ )Ф 'И+ )=~г(1)Ф'И Таким образом, матрица 8(1)= Ч~(1) Ф-1(1) является периодической с периодом т, и мы имеем; Чт(Г)=В() ф(1) (5) Так как каждое из решений Ф(1) и Ч'(1) однозначно определяет свое уравнение (см. й 17, Д)), то из (5) следует, что уравнение (4) получается из уравнения (1) путем преобразования с матрицей Юф. Как видно из предложений А) и Б), каждому уравнению вида (1), рассматриваемому с точностью до эквивалентноети (см. Б)), соответствует матрица С, определенная с точностью до трансформации (см. (3)).
Более того, совокупность всех инвариантов матрицы С относительно преобразований вида (3) составляет п о л н ую с истему инвариантов уравнения (1), определенного с точностью до вквивалентности. . Следует заметить, что все сказанное в предложениях А) и Б) верно как в случае, когда рассматриваются только действительные матрицы, так и в случае, когда рассматриваются комплексные матрицы. В нижеследующей важной теореме Ляпунова (теорема 12) мы будем различать действительный и комплексный случаи. Т е о р е м а 12. Всякое уравнение (1) эквивалентно (см.
Б)) уравнению У=ВУ, где  — постоянная. матрица. (Л4атрица В, вообще говоря, ко.иплексна.) Если в уравнении (1) матрица А(1) периода т действительна, то это уравнение, рассматриваемое как периодическое, с: периодом 2с, эквивалентно уравнению У=В~У, где матрица В, постоянна сс действительна, причем матрица иерелода 5(1) от уравнения (I) к уравнению 1'= В, У также действительна. Доказательству теоремы ! 2 предпошлем следующее предложение.
В) 11усть У=В)' (6) — система линейных однородных уравнений с постоянными коэффипиен1ами, записанная и магричпой форме. Матрица В здесь постоянна. Оказывается, что матрица У вЂ” е'и (7) (см. й 35, Г)) является решением уравнения (6). Для доказательства того, что (7) есть решение уравнения (6), выпишем функцию е'В в явном виде. Мы имеем: ~!В = Е+ й3+ — Ва+ — В~+ Отсюда для производной — а получаем: !и !г! l гй — е!в В ~В+ гВ+ Вя+ 1 Вв!в 2! Доказательство теоремы 12. Пусть С вЂ” основная матрица некоторого решения Х=Ф(!) уравнения (!). В силу предложения Г) $ 35 существует матрица В, удовлетворяющая условию всВ Доказуем, что уравнения (1) и (8) эквивалентны.
Действительно, в силу предложения В) матрица »"= е'В является решением уравнения (8). Таким образом, если уравнение (8) рассматривать как уравнение с' периодическими коэффициентами с периодом т, то основная матрица решения Э'=е"В есть С, именно (см. формулу (20) % 35): в((+о в агвач — в!ВС. Так как основные матрицы рассматриваемых решений уравнения (1) и уравнения (8) совпадают, то эти уравнения эквивалентны (см:. Б)), ' ':Таким образом, первая часть теоремы 12 доказана. Будем считать теперь, что А (Е) — действительная матрица, Фф — некоторое действительное решение уравнения (1) и С вЂ” основная матрица этого решения, так что Ф (~ + г) = Ф (1) С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
