Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Таким образом„фундаментальная матрица Ф(Ф) уравнения (3) удовлетворяет матричному уравнению (26); более того, каждое решение матричного уравнения Х=А(Е)Х, Докажем последнее соотношение. Пусть ФИ)=И/'(~)), Ф(~)=(",(е)). ф,(~)=(~,'(о..... ~,"()). ф,()=(,,'д,....,,"(~)) . тогда 91(о . ф (г) (28) есть фундаментальная. система решений уравнения (3), а так как <р,(() также еггь решение уравнения (3), то Оно может быть выражено через фундаментальную систему (28), так что мы имеем: л 47(0= ч" Л«И). где Х вЂ” неизвестная 'матрица, является фундаментальной матрицей уравнения (3), если только детерминант матрицы Х отличен от нуля.
В дальнейшем под решением уравнения (26) будем подразумевать лишь такую матрицу Х, удовлетворяющую уравнению (26), детерминант которой отличен от нуля. Очевидно, что отыскание одного решения матричного уравнения (26) равносильно отысканию, всех пешений уравнения (3). Отметим, что если Х=Ф(1) и Х=Ф ф —.два решения матричного уравнения (26), то существует такая постоянная матрица Р, что Ф(0= М) Р. (27) 137 нОРмАльнАя системА линейных уРАВнениЙ % Й1 Переписывая это соотношение в скалярной форме, получаем: й Ь" (Е) = „'~, "т'(Е) рЕ «=! Соотношение (27) представляет собой матричную запись соотношения (29) при Р=(рД. Л) В уравнении (3) введем новое векторное неизвестное у при помоши преобразования (29) у=5(Е) х, (30) где 5 (Е) =(г~(Е)) — невырожденная матрица, зависяцгая от Е. Уравнение для новой неизвестной векторной функции у имеет вид: у=(5(Е)+5('Е) А(Е))5 '(Е)у, (31) т, е.
вновь являешься уравнением типа (3). Преобразованию (30) векторного переменного соответствует преобразование У'=5 (Е) Х (32) Для того чтобы установить, что преобразованию (30) векторного неизвестного соответствует преобразование (32) матричного неизвестного, перепишем преобразование (30) в скалярной форме у'= '5,'г„'(Е) х". «=1 Вектору ф~(Е)=(у (Е), ..., о (Е)) фундаментальной системы уравне'- ния (3) преобразование (30) ставит в соответствие вектор фЕ(Е) = =(ф (Е), ..., ф" (Е)) по формуле л Ф'(Е) = Х ° (Е) т-' (Е).
«! Таким образом, фундаментальной матрице Ф (Е) уравнения (3) соответствует фундаментальная матрица чг(Е) уравнения (31) по формуле Ч'(Е) =8(Е) Ф(Е), а это н значит, что матричное неизвестное преобразуется по. формуле (32). матричного переменного (см. К)). Выведем сначала уравнение (31) для неизвестного у. Мы имеем: у = — — (8(Е) х)= 8(Е) х+8(Е) х= =й(Е)+З(Е) А(Е)) =(З(Е)+З(Е) А(Е)) З-'(Е)у. 133 ЛИНЕИНЫВ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ ХОЭФФИПИЕНТАМИ 1гл. а Пример еИ)=Ф(О "-* т" И)) — решение уравнения (3) или, что то же, системы (2).
Будем искать решение уравнения (3) в виде: Х =гнр Я+у, (33) гдв и — неизвестная функция, а у — неизвестный вектор, о котором мы будем предполагать, что первая его компонента равна нулю: у (бу у) Подстановка вектора Х из формулы (33) в уравнение (3) дает иер (1) + иф (1) +у = А (1) (игр (1) +у). Учитывая тот факт, что ~р(Е) есть решение уравнения (3), получаем отсюда р(1)+у= А(1)у.
Выпишем вто уравнение в координатной форме, выделив при этом первое из получаемых уравнений: я'(О=Х '(Оу' (34) -у =,~„а (1)у — ау'(1), 1=2, ..., и, (35) г Определяя й из уравнения (34) и подставляя полученное значение в соотношения (36), получаем: л У! =ХЬс(т)у/, 1=2,...,п, г-г (36) где Ь'(1) = а'(1) — — а'. (1). ~~(с) > ~~ (г) у Гледует помнить, что подстановка значения и из (34) в (35) возможна лишь на том интервале, где функция а,(Ф) не обращается в нуль.
Если теперь ф(Е)=(ф'(1), ..., ф" (1)) — какое-либо решение системы Из предложения В) видно, что для нахождения всех решений уравнения (3) достаточно найти его фундаментальную систему решений, т. е. п линейно независимых решений. Покажем, что, зная одно нетривиальное решение системы (2), можно ма единицу снизить порядок системы (2), т, е. свести ее к решению линейной системы порядка и — 1. Пусть 139 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ в-гв ПОРЯДКА $ ~81 ф 18. Линейное уравнение н-го порядка Здесь будет рассмотрено линейное уравнение порядка и." уон+а,(1)у'" О+...+а„(1)у=Ь(1), (1) коэффициенты а,.(1) и свободный член Ь(1) которого мы будем предполагать определенными и непрерывными на интервале д, (1< ум Исследование уравнения (1) будет производиться здесь путем его сведения к нормальной системе линейных уравнений по методу, указанному в $ 4. Фундаментальная система решений А) Для сведения уравнения (1) к нормальной линейной системе введем новые неизвестные функции х'=у, х' — р, .„, х"=у! Эти новые неизвестные функции х', „„х" удовлетворяют линейной системе (см.
$4, А)): х'=х', х'=х', Ув-1 л х" = — а„(1) х' — а„, (1) х' —... — а, (1) х" + Ь (1). Полученную систему в векторной форме запишем в виде: х= 4(г) х+ Ь(т), (2) где матрица А(1) имеет вид: 0 0 О О 1 0 0 0 О 0 ! О (3) 0 О 0 ... 1 — а.(1) — а- (Г) — а. (Г) ... — а,® (36), то, определяя функцию и из соотношения в Ьт'И) = Ха) Ы) Ф'(1) /=2 при помощи квадратуры, получаем решение исходной системы (2) в виде: х=ир(1)+ $(1). 140 линвиныв травнвння с пвовмвнными коэффициентами 1гл. а а вектор Ь(1) определяется формулой Ь(1)=(О, О,..., Ь(1)).
Уравнения (1) и (2) эквивалрнтиы между собой; именно, каждому решению у=ф(1) уравнения (1) соответствует решение .к=«р(1)=(ф(1) ф(1) " фоь "(1)) уравнения (2), и наоборот, каждому решению х=«р(1)=(ф (1) 'Р (1)~ ° ° ° ~ 'Р (1)) уравнения (2) соответствует решение У='Р (1) уравнения (1), причем соответствие это взаимно однозначно. Если решения ф (1) уравнения (1) и «р(1) уравнения (2) соответствуют в указанном смысле друг другу, то мы будем писать ф (1) Р (1).
Из эквивалентности уравнений (1) и (2), в частности, следует, что любое решение уравнения (1) может быть продолжено иа весь интервал «Р,< 1<. «Ря (см. теорему 3), так что в дальнейшем мы будем считать, что каждое рассматриваемое решение уравнения (1) зада««о из этом интервале и каждое рассматриваемое значение 1 принадлежит ему. В первую очередь изучим однородное уравнение у'"«+ а,(1)у'" "+...+ а„(1)у= О. (4) Пусть х= А (1)х — соответствующая ему система уравнений, данная в векторной записи, где матрица А(1) определяется формулой (3).
Ь) Пусть ф~(1) ф (1) " ф,(1) (6) — некоторая система решений уравнения (4). Неиосредственно проверяется, что функция ф(1)="ф«(1)+ " +с'ф.(1) где с', ..., с' — константы, является решением уравнения (4). Система рщиений (6) называется линейно зависимой, если существуют т «««««е константы с', ..., с', не обраща«ощиеся одновременно в нуль, ч«о с'ф,(1)+ ... + с'ф,(1): — О.
441- линеиное уРАвнейне л-го повядкА а!а 1 Оказывается, что если % (!) °" %(т) (8) ' — 'решения уравнения (5), соответствующие решениям (6): ф;(1)ч~ер;(1), 1=1, „г (см„А)), то решения (8) линейно зависимы (см. 9 17, Б)) тогда и только тогда, когда линейно зависимы решения (6). Докажем это.
Допустим, что решения (6) линейно зависимы, т. е, имеет место соотношение (7). Выписывая соотношение (7) и те соотношения, которые получаются из пего путем дифференцирования, получаем: с'~)~(1)+ ... +с'~),(1)=О, 'у (1) + + 'ф,(~) =О, (9) с'ф~" п(1)+ ...
+ с'ф,'" ''(1) = О. Принимая во внимание, что В(О=%(1) Фг(1) " Ф~ (1)) 'мы ' видим, что соотношения (9) в векторной записи имеют вид: с'тр,(С)+ ... +с'ср,(1)=0, (1О) Ф (1) , г„ (т) (! !) уравнения (4) называется фундальентальной, если она линейно независима (обозначениями предусмотрено, что число решений системы '(! !) равно порядку уравнения (4)). Оказывается, <то фундаментальные системы решений уравнения (4) существуют и чго если система (!!) является фуидамепталыюй, то каждое реп~ение уравнения (4) мо;кет быть чаписапо и виде: ) (т) = с",, (г) —,'- ... + с" )„(т), где с', ..., с" — константы.
Из сказанного видно, что для нахождения всех решений уравнения (4) достаточно найти его фундамепгальпу!о систему решений. (Для линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами фундаментальная система решений была построена в й 7, 8.) так что имеет место линейная зависимость и между решениями (8) Допустим, наоборот, что решения (8) линейно зависимы, т. е, что ,имеют место соотношения (10). Ставя в соотношение (! О) вместо каждого вектора ср; (1) его первую компоненту, получаем соотношениее (7), так что решения (6) линейно зависимы. В) Система решений 142 линейные УРАВнениЯ с певеыенныыи коэФФициентлми 1гл.
3 Покажем прежде всего, что фундаментальная системз решений уравнения (4) существует..Для этого воспользуемся фактом сущесгвования фундаментальной системы решений уравнения (5) (см. й 17, В)). Пусть гр (г) " Ь(0 — фундаментальная система решений уравнения (5) и пусть Ф,(1), ..., („(С) — соответствующие решениям (12) решения уравнения (4): Ф~(1) В(О 1=1..", и (12) (13) (см. А)).
Так как решения (12) линейно независимы, то в силу Б) линейно независимы и решения (13), и потому они составляют фундаментальную систему. Допустим теперь, что система (11) является фундаментальной для уравнения (4) и пусть решения (12) соответствуют решениям (11). Пусть, далее, ф(8) — произвольное решение уравнения (4) и ~р(г) — соответствукицее ему решение уравнения (5). Так как система (11) по предположению фундаментальна, т.
е, линейно независима, то соответствующая ей система (12) также линейно независима, т. е. фундаментальна. Таким образом, в силу предложения В) й 17, получаем: ~р(1) =с'~р,(1)+ ... + с"ф„(1), Ф(О=с'Ф (г)+ " +с"Ф,®. Таким образом„предложение В) доказано. Г) Детермплалтом Вронского системы решений (11) уравнения (4) называется детерминант: б>(1) ,. б„ (1) Й(1) " Ь(') Ф'(1) = (14) Если решения (12) уравнения (5) соответствуют решениям (11) (см. А)), то детерминант Вронского (см. $17, Г)) системы решений (12) уравнения (5) совпадает с детерминаптом (14); это видно непосредственно.
Таким образом, то, что верно для детерминанта Вронского системы (12), верно и для детерминанта (14). Отсюда в силу предложения Г) э 17 заключаем, чго детерминант(14) или не обращается в нуль пи в одной точке, или равен нулю тождественно; для того чтобы система решений (11) была линейно независимой, т. е. фундаментальной, необходимо н достаточно, чтобы детерминант (14) ие обращался в Заменяя в этом соотношении каждый вектор его первой компонентой, получаем: 14З 4 (а1 ДИНЕЯНОЕ УРАВНЕНИЕ л-гл ПОРЯДКА Она получается из формулы (16) $17, если учесть, что след, т.
в. сумма диагональных членов матрицы (3), равен — а,(Г), Ниже, в примере 2, будет дано более нростов непосредственное доказательство формулы (16). Л) Пусть ("'+ а, (г) (л-Н + ... + Пл (() = Ь (1) (16) — неоднородное уравнение и пусть у(л( ~ а((г)у(л Н + + а (г)у (17) — соответствующее ему однородное уравнение. Из предложений Ч 6 непосредственно следует, что если У,(1) есть частное решенив уравнения (16), то произвольное решение уравнения (16) имеет внд: з = Ф(1)+ Хо(1) .где ф(1) — решение ураш(ения (17). Метод вариации постоянных 1.) Пусть ') (() " ".
(() (18) — какая-либо фундалентальная система решений уравнения (17), 1'огда решение уравнения (16) пожег быть получено в виде: '="(Г)Ь(Г)+ ." +с" (1)Ф (1) (19) глс функции с1 ((). . .' (1) (20) получаются как ре(пения системы алгебраических уравнений: (21) т'(" '(г) с'((') -г ...
+ т'„" (1)с" (г) = О, ФГ П(1) с (1)+ ... +ф-н(1) с" (1)= ь(1), нуль. Из предложения Ж) $17 следует формула Лиувилля для детерминанта (14): -( «1(о~и 1Р(1) = 1(УИ«) а (16) 144 линвпныв трлвивния с папемвиными коэффициентами 1г . з Так как детерминант системы уравнений (21) относительно неизвестных величин (20) есть детерминант Вронского системы решений.(18), то в силу предложения Г) оп не обращается в нуль ни при одном значении г, и потому из системы уравнений (21) можно определить величины (20), а по ним определяются квадратурами и нужные пам функции с'(1), ..., с" (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
