Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Это положение равновесия тогда и только тогда является единственным, когда детерминант матрицы (а ) отличен от нуля, или, что то же, оба собственных значения этой матрицы отличны от нуля. допустим, что собственные значения матрицы А действительны, различны и отличны от нуля. Тогда, как это следует из результатов $ 14 (теорема 1О) произвольное действительное решение уравнения (2) можно записать в виде: .ь = с'В,ел" + с"В,ел".
Здесь Ь, и Вя — действительные линейно независимые собственные векторы матрицы А; 1> и Х, — его действительные собственные значения, а с' и с' — действительные константы. Решение (3) разложим по базису (В„Вя), положив Х= Е>В> + ЕЯЩ тогда мы будем иметь: Е> = с>е'>', ЕЯ = саее". (5) Координаты Е', Е* на фазовой плоскости Р системы (1), вообще говоря, не являются прямоугольными, поэтому отобразим аффинно фазовую плоскость Р на вспомогательную плоскость Ре таким образом, чтгбы при этом векторы Вн Ь, перешли во взаимно ортогональные единичные векторы плоскости Р~, направленные соответственно по оси абсцисс и осн ординат (рис. 22).
Точка х= Е>Ь, + ЕЯЬ, плоскости Р перейдет при этом отображении в точку с декартовыми прямоугольными координатами Е', Е" в плоскости РФ. Таким образом, траектория, заданная параметрическими уравнениями (5) в плоскости Р перейдет в траекторию (которую мы также назовем фазоеой), заданную теми же уравнениями в прямоугольных координатах плоскости Р*. Мы начертим сперва траектории, заданные уравнениями (5) в плоскости Р*", и затем отобразим их обратно в плоскость Р.
Наряду с фазовой траекторией (5) в плоскости РФ имеется траектория, задаваемая уравнениями Е>=с>е ', Р= — с'е > > , лр , я лм (6) 117 Флзовля плоскость линейной системы $ га1 а также траектория, задаваемая уравнениями , Л,г с1 еле, с =се-', (7) Траектория (6) получается из траектории (5) зеркальным отражением относительно оси абсцисс, а траектория (7» — относительно оси ординат.
Таким образом, указанные дна зеркальных отображения оставляют 1'ис. 22. картину траекторий на плоскости Ря инвариантной. Из этого видно, что если вычертить траектории в первом квадранте, то уже легко представить себе всю фазоную картину в плоскости Р"". Заметим, что при с'=с'=О мы получаем движение точки, описывающее положение равновесия (О, О), При с'=О, с' >О голучаем движение, описывающее положительную полуось абсцисс, при с =О, ! — Л с' >О получаем дщ1жеиие, описывающее положительную полуось ординат.
Если )ч ( О, то двилке1н1е, описыва1оплее положительную полуось абсцисс, протекает в направлении к и а ч а л у к о о р д и н а т, если же ),1 >О, то движение это имеет противоположное направление — от начала координат. В первом случае точка движется, неогранцченно приближаясь к началу координат, во втором — неограниченно удаляясь н бесконечность. То же справедливо и относительно движения, описывающего положительную полуось ординат. Если с 1 и с' положительны, то движение точки протекает н первой четверти, пе выходя на ее границу. Дальнейшее, более детальное описание фазовой плоскости проведем отдельно для нескольких случаев — в зависимости от знаков чисел Л,, Ха А) Узел. г1опустих1, что оба числа Х1 и Х, отличны от нуля и имеют один знак, причем 1> ~<!>"! ° 118 линейные эрлвнення с постоянными коэффициентами (гл.а 1'азберем сперва случай, когда л,<о, л,-о.
При этих предположениях движение по .положительной полуоси абсцисс направлено к началу координат, точно так же, как движение по положительной полуоси ординат. Далее, движение по произвольной траектории внутри первого квадранта состоит в асимптотическом приближении точки к началу координат, причем траектория при этом касается оси абсцисс в начале координат. При 1, стремящемся к — со, точка движется так, что абсцисса и ордината ее а! Рис. 23.
бесконечно возрастают, но возрастание ордииаты сильнее, чем возрастание абсциссы, т. е. движение идет в направлении оси ординат. Эта фазовая картина называется устойчпаы.к узлом (рис, 23, а), Если наряду с неравенством (8) выполнены неравенства л,>о, л,>о, то траектории остаются прежними, но движение по ним направлено в противоположном направлении. Мы имеем неустойчивый узел (рис.
23, б). Б) Седло. Допустим, что числа Л, и Ла имеют противоположные знаки. Для определенности предположим, что л,<о<л,. В этом случае движение по положительной полуоси абсцисс идет к началу координат, а движение по положительной полуоси ординат— ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 119 я ы1 где Ь, и й, — действительные векторы.
Векторы Ь, и Ь, линейно независимы, так как в случае линейной зависимости между ними мы имели бы линейную зависимость между Ь и Ь. Итак, векторы й, и й можно принять за базис фазовой плоскости Р уравнения (2). Произвольное действительное решение уравнения (2) можно записать в виде: х=сйе +сйе~, (9) где с — комплексная константа. Пусть ~=у+1ся=се"1 тогда мы имеем: х=Е1Ь, +Уй,. Отобразим аффинно фазовую плоскость Р на вспомогательную плоскость Ра комплексного переменного ь так, чтобы вектор Ь| от начала координат.
Траектории, лежащие внутри первого квадранта, напоминают по своему виду гиперболы, а движения по ним происходят в направлении к началу вдоль оси абсцисс, и в направлении от начала вдоль оси ординат, Эта фазовая картина называется седло,и (рис. 24). Рисунки 23, а, б и 24 дают картину траекторий на вспомогательной фазовой плоскости Р". Расположение траекторий на фазовой плоскости Р получается из этого с помощью аффинного пре- с" образования и зависят от положения собственных векторов (см., например, рис.
25 и 26). Рассмотрим теперь случай, когда собственные значения матрицы А комплексны. В этом случае оии комплексно сопряжены и могут быть обозначены через Рис. 24. Х=р.+1ч и 1, =р — 1ч, причем ч =~: О. Собственные векторы матрицы А могут быть выбраны сопряженными, так что их можно обозначить через Ь и Ь. Положим: 2 ( 1 120 линейные УРАВнения с постОЯнными коэФФициентАми [Гл 2 перешел в единицу, а вектор Ь| — в т'; тогда вектору с' Ь, + РЬ» будет соответствовать комплексное число с=$'+Й~. В силу этого Рис. 25.
Рис, 26. отображения фазовая траектория (О) перейдет в фазовую траекторию па плоскости Р™, описываемую уравнением с = се"'. (10) В) Фокус и центр. Перепишем уравнение (10) в полярных координатах, положив с = ре'т, с = де'". Таким образом получаем: Р = сС'Е", Ф = Ит + а; это есть уравнение движения точки в плоскости Ре. При н ~ 0 каждая траектория оказывается лога рифм ичес кой спиралью.
Соответствующая картина на плоскости Р называется фокусом. Если Р(0, то точка при возрастании Т асимптотически приближается к началу координат, описывая логарифмическую спираль. Это — устойчивый фокус (рис. 27, а), Если и . О, то точка уходит от начала координат в бесконечность, и мы имеем неустойчивый фокус (рис.
27, 6). Если число (с равно нулю, то каждая фавовая траекаория, кроме положения равновесия (О, 0), замкнута, и мы имеем так называемый центр (рис. 28). ФАзОВАя плОскОсть линейной системы $16] Рисунки 27 и 28 дают картину во вспомогательной фазояой плоскости; я плоскости Р картина аффинно искажается (см., например, рис. 29 и 30). Рис. 27.
Выше мы рассматривали так называемые невырожденн не с л у ч а и. корни Л, и Ля различны и отличны от нуля. Малое с' Рис. 23, Рис, 29, изменение элементов матрицы ~п.) не меняет в этих предположениях г общего характера понедення фазовых траекторий. Исключение составляет случай центра: при малом изменении элементов матрицы (а.) 1 122 линепные УРАВнения с постОЯнными козФФициентАми 1гл. т равенство И=О может нарушиться, и центр перейдет в устойчивый или неустойчивый фокус. Включение этого вырожденного случая (центра) в основной текст параграфа объясняется его важностью.
Остальные вырожденные случаи будут рассмотрены в примерах 1 и 3. Примеры 1. (Вырожденны й узел). Если матрица А системы (1) имеет лишь одно собственное значение Х, то возможны два существенно различных слуРпс. 30. чая, при описании которых мы будем обозначать через А преобразование, соответствующее матрице А.
С л у ч а и !. Существуег в плоскости Р, базис Ьп Ьр, состоящий из двух собственных векторов преобразованйя А: АВ, = ),Ьь АЬр — АЬр. (11) Случай !!. Существует в плоскости Р такой базис Ь,, Ьь что АЬ3 ) Ь1 АЬр 'и + Ьн (12) Существование базиса одного из видов (11), (12) непосредственно гытекает из теоремы 30, но здесь мы докажем этог факт непосредственно. Пусть Ь, — собственный вектор преобразования А и Ь,— произвольный вектор, не коллинеарный вектору Ьп Тогда мы имеем: АЬр — — аЬ~ + РЬФ АЬ, =),Ьь !",з этого видно, что преобразование А имеет в базисе Ь„Ьр матрицу (13) так что его собственными значениями являются А и !р, и потому И=1. Если а=О, то для базиса Ьп Ьр выполнены соотношения (11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
