Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Теперь уже легко проверить, что если Р есть множество всех действительных чисел, то имеет место случай !), а если Г не есть множество действительных чисел, то имеет ашсто случай 2), Таким образом, предложение В) доказано. Кратко предложение В) можно сформулировать, сказав, что имеется три сорта траекторий: 1) положение равновесия; 2) периодические траектории (циклы); 3) траектории без самопересечений. Естественно считать, что последний случай является «наиболее общим». Из теоремы 2 следует, чго через кажду1о точку области Л задания системы (1) проходит траектория, изображающая решение системьь !08 ЛИИЕЙНЫВ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл 2 Таким образом, вся область Ь заполнена траекториями, причем, согласно Б), траектории эти попарно не пересекаются.
Среди всех траекторий особо выделяются самопересекающиеся, которые являются либо положениями равновесия, либо циклами. Зги два сорта траекторий име!от весьма важное значение. Такова кинематическая интерпретация решений автономной системы уравнений. Сама система уравнений также допускает геометрическу!о интерпретацию. Фазовые пространства хм л -! 1=1> ..., и; 1=!Ф Пространство размерности и, в котором интерпретируются решения автономной системы (1) в виде траекторий и сама автономная сис1ема (!) в виде векторного поля, называется фазовим прост- Г) Поскольку автономная система уравнений" (1) определена на открытом множестве Ь, каждой точке (х,', ..., х",) множества Ь поставлена в соответствие последовательность из п чисел, именно последовательност!и г! (х~ .и) Тл (х~ хп) Эти числа можно рассматривать как компоненты вектора )'(х,'...,, х"„), проведенного в и-мерном пространстве и выходящего из точки (х,', ..., х",).
Таким образом, автономной системе ставится в соответствие геометрический образ — в е к т о р н о е п о л е, заданное на открытом множестве Ь. В каждой точке (х,', „, х",) множества Ь определен вектор г(х!, ..., х",), выходящий из этой точки. Связь между геометрической интерпретацией решений и геометрической интерпретацией самой системы уравнений заключается в следующем: Пусть (х,', ..., х",,) — произвольная точка множества сУ. В силу геометрической интерпретации системы уравнений этой точке поставлен в соответствие выходящий из пее вектор у(х„'..... х",), г(алее, в силу теоремы 2 сушествует решение х'=Ф!(Г) системы (1), удовлетворяющее начальным условиям 7' (гО) = х', 1 = 1,, и В силу кинематической интерпретации решению х'=Ф (!)соответствует в пространстве движение точки, описывающее траектори!о, причем в момент времени ! = Т„ движушаяся точка проходит через положение (х„', ..., х",) в пространстве.
Оказывается, что векторная скорость точки, описывающей решение х!=~!(!), в момент ее прохождения через положение (х,', ..., х,") совпадает с вектором ,у(х,', ..., х,'). Именно это совпадение и выражается системой уравнений (1) прн 109 % г51 Автономныв системы раггством системы (1). Траектории называются фазовылггг ггграеггторилми, векторы у(х,', ..., х'„') называются фазовыми скорости.гггг. Связь между обеими интерпретациями заключается в том, что скорость движения точки по траектории в каждый момент времени совпадает с фазовой скоростью, заданной в том месте пространства, где в этот момент находится движущаяся точка. Рассмотрим теперь положения равновесия с точки зрения фазовых скоростей.
Д) Для того чтобы точка (а', ..., а") множества Ь была положением равновесия системы (1), т. е. чтобы имелось решение х'=юг(Ф) системы, для которого гр'(1) = аг, 1 = 1, ..., и, (13) необходимо и достаточно, чтобы фазовая скорость у(а', ..., агг) в точке (а', ..., а") была равна нулю. Таким образом, для отыскания всех положений равновесия системы (1) нужно решить систему уравнений ~г (а'.....
ал) = О, 1 = 1, ..., и. Эта система представляет собой не систему дифференциальных уравнений, а, как говорят, систему к онечн ы х уравнений (производные в нее не входят). Для доказательства утверждения Д) допустим, что (а',, „, а") есть положение равновесия, т. е. что имеется решение хг = уг (1), для которого выполнены соотногнения (13), и подставим в систему (1) это решение, Так как производная постоянной равна нулю, то подстановка дает У' (а'...,, а") = — грг (т) = — аг = О. я гг г ггг ггг Таким образом, вектору(а', ..., а") фазовой скорости действительно обращается в пуль в точке а', ..., а".
Допустим, что, обрагио, вектор у (а'... „а") фазовой скорости обращается в нуль в точке (а', ..., а".), т. е. что Уг(а', ..., а")=О, г=1, ..., и, и покажем, что в этом случае равенства (13) определяют решение системы (1). Подстановка дает ф (г) =.г г (а', ..., а"), ! = 1... и; равенства эти выполнены, так как слева стоит производная константы, а справа — нуль. Е) Геометрическая интерпретация решения (2) системы уравнений (1), указанная в й 3, ставит в соответствие этому решению кривую К в (и + 1)-мерном пространстве переменных 1, х', ..., х", определяемую системой уравнений (2).
Здесь 1 является одной из координат в пространстве Я. Переход к интерпретации в и-мерном фазовсм 110 линейные УРАзнения с постОЯнными козФФиш[ентАми [Гл. 2 пространстве 8 переменных х', ..., х" заключается в том, что мы перестаем считать величину 1 координатой точки, а считаем ее параметром. Таким образом, фазовая траектория 1.
получается из кривой К в результате л р о е к т и р о в а н и я пространства тс на пространство 8 в направлении оси 1. Геометрическую наглядность это проектирование приобретает при л = 2. В этом случае пространство 1с трехмерно, а пространство 8 представляет собой плоскость (см. пример 4). Примеры 1. Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение х=г (х) (14) первого порядка, правая часть которого непрерывна и имеет непрерывную производную на всей прямой Р изменения переменного х. Предположим дополнительно, что пули функции 7'(х) или, что то же самое, положения равновесия уравнения (14), не имеют предельных точек. В этом предположении положения равновесия разбивают прямую Р на систему Е интервалов. Каждый интервал(а,Ь) системы Е обладает тем свойством, что на нем функция у"(х) ие обращается в нуль, а каждый конец а или Ь его является либо нулем функции 7'(х), либо равен '+ оо.
Таким образом, система Е состоит из конечного или счетного числа конечных интервалов и не более чем двух м ° ° ° л ° и~Ф а д с Рис. 17. а< ~р(1)(Ь при г,(1< гм Ит Ф(1)=а, Ит Ф(1)=Ь. (! 5) (16) [ г~ Далее, если число а, или соответственно Ь, конечно, то число г, или соответственно г„бесконечно. Таким образом (рис. 17), каждый интервал (а, Ь) представляет собой одну-единственную фазовую траекторию уравнения (14). полубесконечных интервалов или же содержит только один бескопечный в обе стороны интервал ( — оо, +со). Пусть (а, Ь) — некотоРый интеРвал системы Е, ха — точка этого интеРвала и х=Ф(Г), г,<' 1(га,— непродолжаемое решение уравнения (14) с начальными значениями О, х,. Допустим для определенности, что У(х,) >О; тогда оказывается, что $ г51 Автономные системы Докажем соотношения (15), (16).
Из предположения г (ха) >О следует, что на интервале (а, Ь) функция г(х) положительна и потому каждая точка этого интервала, описывая фазовую траекторию, двмжется слева направо. Таким образом, при возрастающем 5 точка м(Ф) может покинуть интервал (а, Ь), лишь перейдя его правый конец Ь. Допустим, что это происходит при некотором г=г„тогда при 1=15 имеем ~(5,)=Ь, а это значит, что две различные траектории х=4 (Ф) и х=Ь пересекаются, что невозможно. Точно так же доказывается, что точка 4~(1) не может покинуть интервал (а, Ь) при убывающем Ю.
Таким образом, соотношение (15) доказано. Допустим теперь, что 1!т~(()=с(Ь, и пусть ф(1) — рещение уравнения (14) с начальными значениями О, с. Так как г (с):>О, то при некотором отрицательном значении (, имеем ф(т„) <, с, а это значит, что две различные траектории ~(() и ф(Г) пересекаются, что невозможно. Таким образом, доказано, что 1нпа(1)=Ь. Точно так же ! а доказывается и соотношение да р (1) = а. Ф- г1 а г Допустим, наконец, что Ь ( оо, и ' ° Ь) покажем, что тогда г, = + ос.
Допустим противоположное, именно, .го г,~ со. а Ь Определим тогда функцию у(!), положив у(!)=4 (!) при г,(г< гя и т(г)=Ь ири Рис. !8. г ~ г,. Очевидно, что функция;((!) непрерывна и удовлетворяет уравненшо (14), а это невозможно, так как тогда пересекаются две разли щые траектории х=у(г) и х=Ь.
Полученное противоречие показывает, что г,=-~-со. Точно так же доказывается, что при а: — со имеем г,= — со. Пусть Ь вЂ” произвольное положение равповесия уравнения (14), а (а, Ь) и (Ь, с) — два интервала системы Е, примыкающие к нему (соответственно слева и справа). Каждый из интервалов (а, Ь), (Ь, с) представляет собой одну траекторию. Если обе точки, описывающие траектории (а, Ь) и (Ь, с), приближаются (при возрастании г) к положению равновесия Ь, то положение равновесия Ь называется устойчивым (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
