Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Если же а ~ О, то, заменив вектор Ь, коллинеарным ему вектором ЯЬп мы получим базис, удовлетворяющий условию (12). Непосредственно проверяется, что в случае 1 общее решение уравнения (2) записывается в виде: ,к = с'Ь,е"'+ с'Ьре' =.кре~. ФАЗОВАя плоскость линейнОЙ системы Ф !а! Написанное решение имеет начальное значение (О, ха). При Л ф 0 каждое решение описывает полупрямую, выходящую из начала координат. При Л(О движение происходит в направлении к началу координат (рис.
31, а), при Л~Π— от начала координат (рнс. 31, 6); относительно случая Л= 0 см. пример 3, Рнс. 3!. Непосредственно проверяется также, что в случае П произвольное решение уравнения (2) имеет вид: х = с'Ь,е + с' (Ь11 + Ь,) е '. Разлагая это решение по базису Ьи Ь, в виде х=УЬ1+!'Ь,„получаем уравнение траекторий в плоскости Р относительно базиса Ь„ Ь»; у = (с'+ с'1) ем, Р = с'е"', (!4) Лффинное отображение фазовой плоскости Р, иереводяшее векторы Ь, и Ь.
в единичные ортогонзльные векторы, направленные по осям координат плоскости Р», переводит траектории плоскости Р в траектории плоскости Р*, в которой уравнения (14) дают траектории уже в прямоугольных координатах. Разберем случай Л ~':0 (случай Л=О см. в примере 3). Пусть сначала Л( О. Рассмотрим траектории, заиолияюшпе плоскость Р", в этом случае. Прежде всего нз уравнений (14) видно, что, меняя одновременно знаки у с' и с'-, мы получим симметрию плоскости Р» относительно начала координат, прн которой траектории переходят в траектории.
Таким образом, достаточно рассмотреть заполнение траекториями верхней полуплоскости. Прн с' = О, с' ф 0 получаем две траектории: одну при с, ) О, другую — ири с,< О. Первая совпадает с положительной полуосью абсцисс, вторая — с отрицательной полуосью абсцисс; движение по обеим направлено к началу координат. Рассмотрим, далее, траекторию с, = О, с„) О. Мы имеем: !1 — сМ» !" — с»ем (1б) 124 линейные УРАВнения с постоянными коэФФициентАми [гл. а ГГри 1=О получаем точку (О, с') на оси ординат.
При 8, возрастающем от нуля, точка сначала движется направо, затем налево, все время опускаясь вниз к началу координат, к которому она подходит по траектории, касающейся положительного направления оси Рис. 32. абсцисс. При 1, убывающем от нуля до — оо, точка движется налево, одновременно поднимаясь вверх, однако налево быстрее, чем вверх, так что общая тенденция ее движения — в отрицательном направлении вдоль осп абсцисс. Если в уравнениях 115) придавать константе с' все положительные значения, то описанные таким образом траектории заполняют всю верхнюю полуплоскость (рис. 32, а).
Мы имеем здесь услгойчнвый вырожденный узел. Если А) О, то траектории получаются из описанных путем зеркального отражения плоскости относит льно оси ординат (рис. 32,б), а движение по ним идет в противоположном направлении, т. е, от начала координат. Зго — неуглгойчпвый ФАзовАЯ плоскость линвйнол системы ..- . 126 4!б] вырожденный узел. На рис. 33, а, б показаны фазовые траектории в плоскости Р, 2. Рассмотрим линейное однородное ураьнение второго порядка с постоянными коэффициентами х + ах + Ьх = О.
(16) х=у, ]] = — Ьх — ау. (17) Фазовую плоскость системы (17) считают фззовой плоскостью уравнения (16). Непосредственно проверяется, что характеристический многочлен системы (17) совпадает с характеристическим многочленом уравнения (16), т. е. равен р'+ ар+ Ь. (18) Таким образом, если корни многочлена (18) комплексны, то фазовая плоскость уравнения (16) представляет собой фокус или центр. Рассмотрим фазовую плоскость в слу ~ае действительных различных м отличных от нуля корней многочлена (18).
Пусть Л вЂ” корень многочлена (18) и 7т=(Ь', Ь') — соответствующий ему собственный вектор. Мы имеем тогда (учитывая вид системы (17)) Ьа = ЛЬ1. Таким образом, собственное направление, соответствукнцее собственному значению Л, определяется прямой линией, имеющей уравнение у=Лх] мы будем называть ее собственной прямой. Если корни Л, н Л, отрицательны, то мы имеем устойчивый узел (см. А)). В этом случае обе собственные прямые проходят во второй и четвертой четвертях; траектории вблизи начала координат касаются той из ннх, которая расположена ближе к оси абсцисс (рис.
34). Если корни Л, и Л, положительны, то мы имеем неустпойчпвый узел (см. А)). Обе собственные прямые проходят в первой и третьей четвертях; вблизи начала координат траектории касаются той из них, которая расположена ближе к оси абсцисс (рис. 35). Если корни Л, и Ля имеют разные знаки, то мы имеем седло; одна собственная прямая проходит во второй и четвертой четвертях, а другая †.в первой и третьей. В направлении первой из этих прямых траектории приближаются к началу координат, а в направлении второй — отходят от него (рис.
36). Заменяя это уравнение нормальной системой по способу, изложенному в й 4, получаем: !26 пинБпные уРАВнения с постоянными коэФФициентАми ггл. я 3. Рассмотрим, наконец, случай, когда хотя бы одно из собственных значений матрицы А обращается в нуль. Рис. 35.
Рпс. 34. Случ ай 1. В нуль обращается лишь одно собственное значение: Л! Ф О, Л~=О, В этом случае решение можно записать в виде (4), где Е! и ся даются формулами 15). Так как Л„=О, то ха =сопз1, и движение про- Рис. 37. Рис, 36, исходит по прямым са=сопя1 в направлении к прямой с!=О или от чее в зависимости от знака числа Л,. Все точки прямой с! = О являются положениями равновесия !рис. 37). Если же имеется единственное собственное значение Л, = Ля = О, то могут представиться два случая, рассмотренные в примере 1. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ЛИНЕПНОЙ СИСТЕМЫ 5 |б1 Случай ! (см.
(11), Л=О). Общее решение записывается в виде (см. (13)): Х = Хб. Этот случай имеет место, если все коэффициенты системы (1) обращаются в нуль; каждая точка плоскости Р является положением равновесия. Рис. 38. Случай 11 (см. (12), Ли=0). Общее решение записывается в виде (см. (14)): $| с|+ са1, 3аи:зсб. Движение происходит равномерно по каждой из прямых ча=сопа1.
Все точки прямой ба=О являются положениями равновесия (рис,33). ГЛАВА ТРЕТЬЯ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В этой главе излагается теория линейных уравнений, сперва для нормальной системы и-го порядка, а затем для одного уравнения л-го порядка, причем почти все результаты, относящиеся к одному уравнению, выводятся из соответствующих результатов о нормальной системе. Третий параграф главы посвящен нормальным линейным однородным системам с периодическими коэффициентами. Главным результатом здесь является теорема Ляпунова о возможности линейным периодическим преобразованием переменных перевести нормальную систему с периодическими коэффициентами в нормальную систему с постоянными коэффициентами.
В дальнейшем этот результат находит важное применение в теории устойчивости, Доказательство его очень просто, но опирается на сравнительно неэлементарную теор:по функций от матриц. Эта теория, не являющаяся частью теории обыкновенных дифференциальных уравнений, излагается для удобства читателей в добавлении Н. Таким образом, третий параграф этой главы (Ч 19) является неэлемептарным благодаря используемому в нем магри пгому исчислению. В 17.
Нормальная система линейных уравнений Здесь будет рассмотрена нормальная система линейнгях уравнений' с переменными коэффициентами '.~ '~~ а,'(Е)х~+Ь'(~), 1=1,...,л. (1) !=! Напомним, что если д,< 1 < т, есть интервал существования и непрерывности коэффициентов а!~1) и свободных членов в'(г) системы ! 11), то, в силу теоремы 3, каждое решение может быть продолжено па весь интервал д,(1(дя В дальнейшем мы будем считать, что каждое рассматриваемое решение задано на этом интервале и каждое рассматриваемое значение 1 принадлежит ему, 12О нормальная система линвпных трявнении 5 !т) Фундаментальная система решений В первую очередь будет рассматриваться однородная система уравнений л !с!= ~,' а (Е)!с~, Е = !, ..., л, Е=! (2) или, в векторной записи, Х= А(Е) Х. (3) А) Установим простейшие свойства уравнения (3). а) Если Х ер(Е) есть решение уравнения (3), обращающееся в нуль при некотором значении Ее: !р(Е,) =О, (4) то решение это тождественно равно нулю !р (Е) = Ою т'1 ( Е ~ т'е.
б) Если р!(Е) ре(Е) " р,(Е) — решения уравнения (3), то векторная функция р(Е)=с'р,(Е)+ ... +с'р,(Е), !р!(Е) «р (Е) " !р,(Е) — система решений уравнения (3). Она называется лпиейно зависимой, если существуют такие константы с', се, ..., с', не все равные нулю, что, с!<р!(Е)+с'!ре(Е)+ ... +с'<р,(Е)— : О.
В противном случае система (5) решений уравнения (3) называется лииеЕЕно независимой, Оказывается„что если хотя бы для одного значения Е=Ее векторы ~е(Ее) !ре(Ее) " !рг(Ее) 5 йо!ирягеи Л. С, где с', ..., с' — константы, также является решением уравнения (3). Свойство б) проверяется непосредственно. Свойство а) вытекает из.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
