Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Если срав. нить метод, излагаемый в этом примере, с методом, данным в примере 1, то мы видим, что вся разница заключается в определении максимальной степени многочленов. Метод примера 1 дает более точное определение степени многочлепов, так как число К вообще говоря, меньше числа 1. В самом деле, сумма всех длин серий, соответствующих собственному значению Л, равна 1. Таким образом, равенсгво и=1 может иметь место лишь в случае, ко~да есть только одна серия, соответствующая собственному значеншо Л. $ !51 Автономные оистсмы ф 16. Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства Здесь будет дана геометрическая интерпретация автономной системы уравнений в виде фазового пространства этой системы.

Эта интерпретация существенно отличается от геометрической интерпретации системы уравнений, указанной в Я 1, 3 и правильнее должна называться не геометрической, а кипематической, так как в этой внгерпретации каждому решению системы уравнений ставится в соответствие не кривая в пространстве, а движение точки по кривой. Кинематическая интерпретация (фазовое пространство) в некоторых отношениях более выразительна, чем геометрическая (система интегральных кривых). Автономные системы Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной, если в нее явно не входит независимое переменное (или, как мы будем говорить, время) 1.

Это значит, что закон изменения неизвестных функций, описываемый системой уравнений не меняется с течением времени, как это обычно и бывает с физи-' ческими законами. Очень легко доказывается„что если х' = у' (1), 1 = 1,..., н, есть решение некоторой звтономной системы уравнений, то х' = р', (1) = <р' (1+ с), 1 = 1,..., и, где с — константа, также есть решение той же автономной системы уравнений. Проведем доказательство этого факта на примере и о рм а л ь ной автономной системы уравнений. А) Пусть х' =У'(х',..., х"), 1 = 1,..., и, — автономная нормальная система уравнений порядка и и х =У(х) — векторная ее запись.

Автономность системы (1) заключается в том, что функции ~'(х',...,х"), 1 =1,...,л, являются функциями переменных х',...,х" и не зависят от времени 1. Относительно функций ~' (х',..., х") мы будем предполагать, что они определены на некотором открытом множестве Ь пространства размерности и, где координатами точки являются переменные х',...,х". Мы будем предполагать, что функции ~'(х',...,х") и их частные производные первого порядка непрерывны на множестве Ь. Оказывается, что если х'=ф'(1), 1=1, ..., и ('2) 104 линвпныв хрлвнвния с постоянными коээфнцивнтлми 1г'.а — решение уравнения (1), то х' = ~',' (г) = »р' (1+ с), 1= 1, ..., л, (3) также есть решение системы (1).

Из правила дифференцирования сложной функции вытекает соотношение ф','(1)=ф'(1+с), 1=1, ..., л. (4) Действительно, 'К(~)= », 'р» (Г)=д~ 9 (г+с)=л(~+ ) ~ (г+ с)" =ф'(» + с) ° 1= ф' (Ю+ с). Докажем теперь, что (3) есть решение системы (1). Так как (2) есть решение, то мы имеем тождества ф'(1)=~'(<р'(1) ..., ~р" (Г)), 1=1, ..., и. Заменяя в этих тождествах г через г+с, мы получаем: ф'(Г+ с)=~" (~Р((+с), ..., ф" (1+с)), 1=1, ..., л.

Из этого в силу (4) и (3) вытекает ф',' (1) = ф' (Ф + с) =7' (»р» (г + с), ..., »р" (1 + с)) = 7 ' (»р„' (Г), ..., »р", (г)), Перейдем теперь к кинематической интерпретации решений системы (1). Формально речь будет идти об интерпретации в л-мерном пространстве, но для наглядности разумно представлять себе случай плоскости (и = 2). Б) Каждому решению х'=7'(г), 1=1, ..., л (5) автономной системы (1) поставим в соответствие движение точки в л-мерном пространстве, задаваемое уравнениями (5), где х', ..., х"— координаты точки в пространстве, а г — время. В процессе своего движения точка описывает некоторую кривую — траектории движения.

Если сопоставить решению (5) не процесс движения, а траекторию движения точки, то мы получим менее полное представление о решении, поэтому желательно на траектории указать хотя бы направление движения, Оказывается, что если наряду с решением (5) имеется другое решение х' = ф' (1), 1= 1, ..., л, (6) то траектории, соответствующие этим решениям, либо не пересекаются в пространстве, либо совпадают.

Именно, если траектории имеют хотя бы одну обшую точку, т. е. »р' А) = Ф' (1»), 1= 1 " ° л, (7) 106 'АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ $ гз1 то ф'(1)=ф'(1+с), где с=1, — Ея Последние равенства показывают, что траектории, описываемые первым и вторым решениями, совпадают между собой, но первое решение описывает ту же самую траекторию, что и второе, с «запозданием» на время с.

Если точка, соответсгвующая первому решению, достигла некоторого положения на траектории в момент времени 1+с, то точка, соответствующая второму решени1о, уже побывала в этом положении в момент времени 1. Для того чтобы вывести из равенства (7) тождество (8), рассмотрим наряду с решением (5) решение ~~ (О = 'у (1+ с) (см. А)). Из равенства (7) при с=1, — 8я следует равенство Ч„йт=р[(ля+с)=Ей(йъ)=%1(1я), 1=1, "., и Таким образом, решения (6) и (9) системы (1) имеют общие начальные условия (а именно, значения в момент времени Г,) и потому в силу теоремы единственности совпадают, так что мы имеем: ('(1)=1."„(Г)=~'(1+с), 1=1, ...,и.

Положения равновесия и замкнутые траектории Поставим вопрос 'о том, может ли траектория, изображающая решение системы, пересекать себя. В) Пусть х' = ср'(1), ! = 1, ..., и (1О) — некоторое решение системы (1). Лопустим, что имеет место ра- венство <~~ (1 ) — ~уа (т ) (11) где числа Ф, и 1„конечно, принадлежат интервалу г,<'1(г, определения решения (10). Оказывается, что при этом условии решение (1О) может быть продолжено на весь бесконечный интервал — со<" (Е(+ со.

Поэтому мы сразу будем считать, что само решение (10) определено на этом интервале — со<" 1< +оо. Оказывается далее, что возможны два следующих взаимно исключающих случая. !) Для всех значений 1 имеет место равенство ~~ (1) = а, 1 = 1,..., и, где (а',..., а") есть точка множества Ь, не зависящая от 1, Таким образом, в этом случае точка (у'(1),..., ~" (1)) в действительности не движется при изменении 1, а стоит на месте.,Само решение (1О) !06 линейныв УРАВнениЯ с постоЯнными коэФФиниентАми 1Гл.

я н точка (а',..., а") в этом случае называются положением равновесии системы (1). 2) Существует такое положительное число т, что при произвольном 8 имеют место равенства у'(!+ Т)=р'(г), 1=1„... и, но при ~~, — тя~ Т хотя бы для одного 1= 1, . „п имеет место неравенство ~'( ) эс: Чр'( ) В этом случае решение (10) называется периодическим с периодом Т, а траектория, описываемая решением (10), называется замкнутой траекторией, или циклом. Докажем предложение В). Как было отмечено в предложении Б), из равенства (11) следуют тождества :р'(!+с)=у'(1), 1=1, ..., и, с=1,— 1,. (12) !1ри этом функции Ф'(г+с), ..., Ф" (!+с) также представляют решение системы (!) (см. А)).

Это решение и первоначальное решение (1О) совпадают там, где они оба определены (теорема 2). Если обьединить этн два решения, мы получим новое решение с ббльшнм интервалом существования, чем исходное, а именно, с интервалом г, — с ( (г(гя при с~0 и г,(г(г,— с прн с(0. Так как 1, и равноправны, то знак величины с можно изменить, так что решение можно продолжить на интервал г, — ~ с~(т(г,+~ с). Так как, кроме гого, для продолженного решения равенство (11) по-прежнему выполнено, то к нему опять можно применить указанный способ расширения интервала существования, и потому мы можем продолжить решение (10) на всю бесконечную прямую с сохранением для него тождества (12).

Каждое число с, для которого выполнено тождество (12), будем называть периодом решения (10); множество всех периодов решения (10) обозначим через Р. Множество Р есть некоторое множество чисел. Установим некоторые его свойства Заменяя в соотношении (12) через г — с, получаем р'(г)=р'(! — с).

Таким образом, если с есть период„то — с также есть период. Лопустим, что с, и с,— периоды, т. е. ~р (г+с,)=~р (!), ЯР'(!+с,)=Р'(!), 1=1, ..., и. Тогда ~р'((г+ ся)+ с,)= ср'(!+ с,) =~р'(Г), ! =1... и. Таким образом, если с, и с, суть периоды, то с, + с, также есть период.

допустим, что сн см ..., с, ... есть последовательность 1О7 $161 АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ периодов, сходящаяся к некоторому числу с,, "тогда мы имеем ~'~1+с )=р'~1), 1=1, ..., и, Так как функции ~1(1) непрерывны, то при гм — эх мы получаем: 11' 11+ со)= Т (г) т.

е. мы видим, что са также есть период, так что множество Р замкнуто. Так как число г в равенстве (12) отлично от нуля 1г1 -~=1,), то множество Р содержит числа, отличные от нуля. Из установленных свойств множества Р легко выводится, что для пего есть только две возможности: 1) множество Р совпадает с множеством всех действительных чисел; 2) в множестве Р имеется минимальное положительное число 7; и тогда Р состоит из всех целочисленных кратных числа Т.

Докажем, что действительно име1отся только эти две возможности. Так как множество Р вместе с каждым числом с содержит число — с и так как в Р имеются числа, отличные от нуля, то в Р имеются положительные числа. Допустим, что в множестве Р нет наименьшего положительного числз, т. е. что для произвольного положительного числа а имеется положительный период с (а. Из доказанных свойств множества Р следует (так как с есть период), что все числа п1с, где гм — целое„ также являются периодами.

Так как с <, а, то для произвольного действительного числа с„можно подобрать такое целое в1, что ~с,— те~<. а. Таким образом, произвольное число с, является предельным для множества Р, и потому, ввиду замкнутости множества Р, вто множество совпадает с множеством всех действительных чисел. Допустим теперь, что Г не есть множесгво всех действительных чисел. В силу доказанного, в Р имеется тогда наименьшее положительное число Т. Пусть с — произвольный период. Можно то~да выбрать такое целое число лп что !с — т Т)< Т, Допустим, что с -е и Т; тогда !г — и Т1 есть отличный от нуля период, а зто невозможно, так как 1с — т Т~< Т, что противоречит минимальности числа 7; Итак, доказано, что каждое число с из Р может быть записано в виде с = и Т, где т — целое число.

Характеристики

Список файлов книги