Л.С. Понтрягин - Обыкновенные дифференциальные уравнения (1032350), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(1)), и пусть 4сс — ее порядок относительно неизвестной функции х', а ю = ь+ и+" + ~. — порядок системы (22), Пусть, далее, ?-,(р) " ? „ (р) (2Э) ?.", (р),. ?-, "(р — матрица системы (22)„а Г?(р) — ее детерминант. Яы покажем, что степень многочлеиз 0(р) не превосходит числа д. Если эта степень равна д, то систему (22) мы будем называть ссор ссалссзуелой. В этом случае ее можно разрешить относительно высших производиьсх ( тс)сес~ (хл) с„1 (24) н потому оиа может быть свезена к нормальной системе (см.
$4, Б)). ?1о прелиоложешио, степень миогочлеиа ?.,'(р) не превосходит числа ст„так что мы можем написать у ~ (р) = а,ре'+..., (25) где многоточием обозначены членьс меньшей, че с сг„ степени. Вычисляя детерминант с7(р) матрицы (23) с уче~ом формулы (25), легко убеждаемся, что О(р)=Ь ре+..„ а это значит, что асс есть собственный вектор матрицы А с собственным значением сс Так как в случае различных собственных значений все собственные векторы с заданным собственным значением коллинеарны между собой, то, выбирая для собственного значения с,с некоторый фиксированный собственный вектор Ьи мы получим асс = = ссЬс, где с' — произвольная константа.
Таким образом, если все собственные значения матрицы А различны, то произвольное решение х уравнения (19) записывается в виде: х с л с х=ссЬ,е ' + ... +с"Ь„е" где с', „с" — произвольные константы. Я. Рассмотрим линейную систему и ~~", ?.с,(р) х~=~'(1), (22) 74 линвпнь[п тглвнения с постоянными коэФФицнгнтлми [Гл.
$ где б есть детерминант матрицы (и,). В этой формуле опущены члены меньшей, чем д, степени. Таким образом, установлено, что максимальная возможная степень многочлена 0(р) есть д, и если эта степень равна д, то Ь ф; О. Выделяя в системе (22) члены со старшими производными (24), мы приходим к системе л 'У" п~(х')[Я [ + — [т(г) т 1 и т-1 Таким образом, если система (22) нормализуема, то и ф О, и система (26) разрешима относительно высших производных (24).
Так как нормализуемая система (22) сводится и нормальной, то согласно сказанному в примере 2 $3 каждое решение нормализуемой системы (22) имеет любое наперед заданное число производных, если только правые части ~[(г) системы (22) достаточное число раз дифференцируемы. 4. Рассмотрим теперь случай, когда детерминант 0(р) системы (22) не равен тождественно нулю, но степень многочлена 0(р) меньше порядка д системы (22).
Мы покажем, что и в этом случае всякое решение системы (22) имеет любое заданное число производных, если только правые части /~(1) достаточное число раз дифференцируем ы. Согласно предположению степень многочлена 0(р) меньше д, и потому детерминант Ь равен нулю. Таким образом, между столбцами матрицы (а ) имеется линейная зависимость; пусть Ь', ..., Ь" — козф. фнциенты, осуществля[ощие эту зависимость.
Среди чисел Ь', ..., Ь" могут оказаться разные нулю. Мы изменим нумерацию функций х', „х" таким образом, чтобы имели место соотношения Ь[ ~О, Ь'~ О, ..., Ь"' ~ О, Ь"'+'= .=Ь"=О; 1(т =л, (27) '7ф ~ 4ь Ь ~ 4а ° ° * Ь ~ Ча. Так как в силу (27) имеем Ь' ~: О, то мы можем считать, что Ь'=1. Введем теперь вместо неизвестных функций х', ..., х" новые неизвестные функции у', . „, у", положив: х'=у', х'=У'+ Ь'р" '[у, 1=2, ..., лг[ х =у', 1=[и+1, ..., и. (28) Соотношения (28) могут быть разрешены относительно новых неизвестных функциИ у',, „, у"; именно мы имеем: у'=х'1 у' =х — Ь'р~' г'х', 1=2, ..., гп; у[=х', 1=т+1, ..., и. (29) Подставляя вместо иеиззестнык функций х', ..., х" новые неизвестные функции у', ..., у" в систему (22), мы получим новую систему МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД уравнений п „-, ~~'',1,~~(р)у'=~~(1), - |=1, ..., и, (ЗО) 11епосредственно видно, что порядок д*, системы (30) относительно функции у' меньше дн а порядки ее относительно остальных неизвестных у~, ..., у" равны соответственно д, ..., а„.
Таким образом, порядок а* системы (ЗО) меньше порядка д системы (22). Бсли рассматривать преобразования (28) и (29) как линейные преобразования переменных у', ..., у" в переменные к'...,. х" н обратно с коэффициентами, являющимися многочленами относительно р, то видно, что детерминант каждого из линейных преобразований (28) и (29) равен +1. Из этого следует, что детерминант В~(р) системы (30) равен детерминанту 0(р) системы (22). Таким образом, равность между порядком и степеншо детерминанта в системе (30) меньше, чем в системе (22)1 применяя описанное преобразование конечное число раз, мы придем к нормализуемой системе, Пусть теперь х' = ч|(1), (3 1) 1=1, .„, и, — некоторое решение системы (22).
Так как порядок системы (22) относительно неизвестной функции х' равен |ун то функция у'(1) предполагается а, раз дифференцируемой. В силу преобразования (29) решению (31) системы (22) соответствует решение у | Ф | ( 1 ) 1 1 (32) ф 12. Метод комплексных амплитуд В различных разделах техники и физики, в которых имеют дело с колебательными процессами, вах|ную роль играют гарл|опвчеекае колебания.
Математически гармоническое колебание задается функцией г сов (а1 + а), г ~ О. Здесь г — амплитуда колебания, а — его начальная фаза, а число ю определяет частоту колебания и обычно называется частота|1. Мы системы (ЗО). Из соотношения (32) видно, что функция ф|(Г) дифференцируема |у; раз. Из сказанного следует, что из каждого решения (31) системы (22) мы получаем некоторое решение (32) снст емы (30), так что прп переходе от системы (22) к системе (30) пи одно решение не теряется. Так как в результате ряда преобразований мы приходим к нормализуемой системе, решения которой име1от любое заданное число производных, то из преобразования (28) видно, что и решение (31) системы (22) имеет любое заданное число производных. 76 линвпныв грАвнвния с постоянными коэффициентами [гл.а уже видели (см. припер 1 $4), что уравнение х+оРх=О (2) (3) Е (р) х = г сов (мт+ а), где в правой части стоит гармоническая функция.
Уравнение (3) легко решить, пользуясь способом, изложенным в теореме 8, так как гармоническая функция является квазимногочленом. В случае, когда коэффициенты многочлена Е (р) действительны, можно использовать теорему 8 несколько иным способом. Способ этот называется в электротехнике лгетодолг ко.нлленснмх о иллплтуд и заключается в следу юшем. А) Наряду с действительной гармонической функцией (1) рассмотрим соответсщвуюнтую ей комплексную гармоническую функцию рв' ', (4) где ар = ге".
(5) Функция (4) обладает тем свойством, что ее действительная часть совпадает с функцией (!); рв~ = ге' ~ " ' = г сов (ьц + а) + 1г з 1п (а1 + а). Комплексное число (5) называется колтленсной амплитудой кочплексной гармонической функции (4); оно обьединяет в себе дев твительную амплитуду г и начальную фазу а. Отметим, что г= — ',р,'. В случае, если коэффициенты многочлена Е (р) действительны, дла решения уравнения (3) решают предварительно уравнение ~(р)а=рв™. (6) Непосредственно видно, что если г=х+(у есть решение уравнения (6), то х есть решение уравнения (3). Предполагая, что па не есть корень мпогочлеца Е (р): 1. (го)) ф О, (7) ишем (см. теорему 8) решение уравнения (6) в виде комплексной гармопичоскои функции г=ае' ' с комплексной амплитудой а=вв'".
имеет в качестве своего общего решения гармоническую функцию(1) частоты а с произвольными амплитудой и фазой. Уравнение (2) называется уравнение.и гарнонпчесного осциллнлтора. При изучении гармонических колебаний нередко приходится иметь дело с уравнением 77 $ га! МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД Подставляя функцию а=г>е' ' в уравнение (б), получаем: (3? 7. (Еи) (см. 9 7, Б)). Таким образом, решение уравнения (3) находится в виде функции Х = З СО5 (га1+ р); (9) амплитуда в и начальная фаза р этого решения определяются из формулы ге" ае'а = — —. 1( .) (см.
(8)). В частности, 5=~а!=<с(. 1. Если многочлен Е(р) устой- $ с(г»>)1' чив, то соотношение (7), очевидно, выполнено. В этом случае любое решение уравнения (3) имеет вид: х=п+ асо5(а>8+р), (10? где и есть решение однородного уравнения 7.()>)гг=0. Решение и этого однородного уравнения стремится к нулю при 1 Оо, и потому любое решение уравнения (3) стремится к решению (9). Решение (9) называется уеггганоеггашггмся; оно соответствует уелгановггагиемуея процессу, в то время как решение (10) описывает переходный процесс.
Установившееся решение (9) является единственным периодическим решением среди всех решений (10), При применении метода комплексных амплитуд обы шо не рассматривают решений действительного уравнения (3), а сразу исходят из комплексного уравнения (6). Изложим теперь метод комплексных амплитуд в применении к системе уравнений. Речь идет об отыскании частного решения системы уравнений е ~~ > Е. (р) х' = г, с 05 (ы1+ в'), / = !..., и (11) г.= ! с действительными коэффициентами, в правых частях которой стоят гармонические колебания одной н той же частоты ьс Б) предположим, что детерминант 0(р) системы (11) (сх!. ч 11, А)) не обращается в пуль при р= 1м, Для отыскания решения системы (11) будем искать сначала решение системы уравнений » ~Ч>~ 7 ~ (р) аа — р Е ~г (12) А ! где р~ = гте>"~. 78 лииепныв имвнвния с постоянными коэеьицивнтлми 1г.,я системы (11), Решение системы (12) ищем в виде (13) Подстановка функиий (13) в систему (12) дает (после сокращения на енв) систему уравнений ~ ь', (1е) а» = р/ которая однозначно разрешима относительно неизвестных о", так как детерминант ее 0(1м) по предположению отличен от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
